高中三角函數概念建構的思考

楊玉杰

G633.6

在高中數學概念的學習中，有些概念是可以通過與環境的聯系來習得的，如大部分基本圖形的定義，很容易就能在現實中找到相應的例子，但也有一些數學概念是不能通過這種途徑習得的，如高中數學中三角函數的概念，這類概念只能用語言來作出界定，只能依靠高中生門對這些語言的“內涵”與“外延”的理解與學習。這就造成了三角函數概念的抽象性，很多學生包括我在內在角、函數、任意角三角函數等概念的認知上與老師要求的程度還存在不小的差距，同學們普遍反映三角函數的學習很困難，很多學生寧愿使用建立代數函數的方法解決三角形相關問題。可以說，三角函數是高中生數學學習的一個難點。針對這種現象，我結合自自己的學習經驗，對造成這種現象的原因進行了分析，并總結了高中三角函數概念的建構方法，希望能對在三角函數概念上有所困惑的同學有所幫助。

一、三角函數的教學難點及其原因

三角函數是高中生接觸到的第一個有多對一對應關系的函數，也是高中數學的教學重點之一，更是溝通代數與幾何的橋梁。對高中學生而言，三角函數概念的學習存在困難已經成為不可爭辯的事實，那么，這些困難具體有哪些方面的表現呢？為此，我對班內的同學們進行了調查，結果表明絕大部分學生都能使用初中學到的銳角三角函數知識解直角三角形，但普遍不理解銳角三角函數的定義，如回答“在直角三角形△ABC中，∠C為直角，則∠A的三角函數是只與∠A有關，還是與Rt△ABC有關？”這個問題時，有接近80%的學生回答與Rt△ABC有關。

為了探討產生這種現象的原因，我查閱了初中教材上對三角函數的定義。發現在初中數學教材中，三角函數都是在直角三角形中來定義的，利用直角三角形邊與邊的比來定義銳角的正弦、余弦與正切函數，雖然教材也對高中三角函數的引入進行了一定的鋪墊，但從當前高中階段在三角函數方面的學習效果來看，這些鋪墊很顯然沒有起到多大效果。究其原因，首先是部分初中數學老師們在教學時偏重于對解題的教學，忽視對定義的教學，其次是很多教材在章頭問題上存在不少先入為主的影響。在本次調查中，發現能準確理解并掌握三角函數概念的學生，只占了不到班內總人數的20%，有接近50%的學生在三角函數概念的理解上存在不同程度的困難。在調查中，很多學生都談到了以下兩個問題：（1）為何高中教材要用坐標法來定義三角函數概念呢？（2）在用坐標法定義三角函數概念時，為何∠α中邊上的點P能夠任意選取呢？那么如何幫助同學們建構三角函數這一概念結構呢？為此我積極向老師請教，和同學們探討，思考出了以下幾點采取措施。

二、高中三角函數概念的建構方法

1.復習初中三角函數的定義，建構三角函數的新定義

從復習初中教材入手，有助于激活學生對相關內容的記憶。再利用高中函數觀點來解析初中三角函數概念，即“高中三角函數概念是對初中三角函數概念的深化，也是對初中三角函數概念的局限性（主要指定義域上的局限性）的揭示，是建構三角函數新定義的‘催化劑”。函數思想是高中數學學習的重要內容，對幫助學生理解三角函數新定義具有很大的幫助，是學生實現從舊定義向新定義轉化的有力保證。在高中函數定義的解釋下，學生能準確的看到初中定義的不足：舊定義中的自變量局限為銳角，只能解決銳角三角函數的相關問題，而高中三角函數概念中，角的范圍變大了，因此，三角函數的定義域也必須相應擴大才行，將角納入到直角坐標系中，在規定了始邊與終邊之后，用“坐標法”來定義三角函數概念的方法也就更加容易理解了。將角納入到直角坐標系中之后，角就變得更加富有“生命力”了，新定義也不再那么抽象，而是在涵蓋舊定義的基礎上有了新的內涵。

2.鞏固新定義，重視數學思想方法

在三角函數概念的定義中，舊定義內容少、淺、易，而新定義內容豐富，外延廣泛，概括程度高，理解難度大，學生在學習新定義時，常對新定義的把握不夠穩定，容易還原，因此，不間斷、及時的幫助學生鞏固新定義是老師們不得不考慮的問題。

我們知道，三角函數舊定義的最大優點就是直觀性和情境性較好，“形”的特征突出，而新定義則是“數”、“形”兼備：距離、坐標、比值屬于“數”的范疇，而坐標系的引進，角的旋轉，則屬于“形”的范疇，以“數”解“形”、以“形”助“數”、“數”“形”結合是我們幫助學生理解新定義的有力武器，轉變學生的數學思想方法，培養學生數學思想方法，無疑是幫助學生鞏固三角函數新定義的明智途徑。

3.課堂上注重教學情境，挖掘問題本質，引出三角函數的定義

在數學課堂上，老師們可以向學生講述數學悠久的歷史，并由此引出三角函數的定義，這樣在學生的心中就能夠其出現的背景以及發展的歷程，同時還能夠開發學生的智力，也就是由具體的問題到抽象的概念。選擇較為恰當的教學情境，讓學生能夠在學習的過程中體會到樂趣，如此他們才會對這個概念在充分理解的情況下有更深刻的記憶。

三、結語

在新的數學課程標準中，明確的標定要掌握三角函數，也就是說，能夠將三角函數的相關內容全部理解并且能夠準確無誤的應用在實際的例子中。可以說，三角函數的應用價值非常高，僅僅是利用其圖像和性質，在數形結合使用方面體現為：求解三角不等式、三角方程，證明三角不等式、恒等式，倘若將“數”“形”分開對待，能夠成為三角函數研究其基本問題的重要工具。三角函數對于老師們來說，詳細準確的講解也是非常困難的，倘若老師們在講解之前進行足夠的鋪墊渲染，那么相信我們學生理解起來就會容易多了。

總而言之，在高中教學階段，定義性的數學概念的教學與學習是存在較大難度的，以上方法也只是我自身的探討，具體的效果還需要同學們自己去感悟和理解。我相信，只要切實理解高中生門的學習難處，加強新舊知識的銜接，做好師生間的溝通，就一定能使學生更好的掌握三角函數的新定義，為后續學習打下良好的基礎。 。