例析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)題目解答中的典型應(yīng)用

盛星衡

G633.6

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)是兩個(gè)非常重要同事也是不可或缺的部分，并且在高考數(shù)學(xué)試題中也占有比較大的比重。其中導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要基礎(chǔ)之一，但是對(duì)于大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)，這同時(shí)也是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)包含了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的很多重要的思想，比如轉(zhuǎn)化思想、劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分類(lèi)討論思想等，是建立在一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、正比例函數(shù)以及冪函數(shù)等中，通過(guò)對(duì)這些函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值的理解和掌握，可以更快更好的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。從這幾年高考來(lái)看，導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位越來(lái)越重要。

導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)就即為導(dǎo)數(shù)，他的定義是在瞬時(shí)速度上發(fā)展而來(lái)的，其具體的含義就是，如果函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)于開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一個(gè)x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù)f（x0），這樣f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫做f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（0））出的切線(xiàn)的斜率，即曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（0））出的切線(xiàn)的斜率就是f（x0），相應(yīng)地切線(xiàn)的方程式y(tǒng)-y0= f（x0）（x-x0）。總的來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)的物理意義是瞬時(shí)速率和變化率，幾何意義是切線(xiàn)的斜率f（x0），代數(shù)意義就是函數(shù)的增減速率。

一、函數(shù)單調(diào)性中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)單調(diào)性是指在某個(gè)固定區(qū)間內(nèi)，函數(shù)隨自變量的變化而變化，如在增函數(shù)區(qū)間中，因變量隨自變量的增大而增大；在減函數(shù)區(qū)間中，因變量隨自變量的增大而減小。通常在做題中，通常根據(jù)定義對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷，若在較為復(fù)雜的函數(shù)中使用該方法進(jìn)行判斷，易發(fā)生判斷錯(cuò)誤，因此通過(guò)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，可以較為準(zhǔn)確且容易地判斷函數(shù)單調(diào)性。

二、不等式中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

通過(guò)分析近幾年的高考題我們可以發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)常結(jié)合不等式出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)題中，借助導(dǎo)數(shù)解答不等式，可簡(jiǎn)化我們的解題方法，且不等式用導(dǎo)數(shù)求解的過(guò)程中可以加強(qiáng)并幫助我們更加快速準(zhǔn)確的解答類(lèi)似的題目，是我們的學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)化、整體化。不等式運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，其解題思路是將不等式與函數(shù)進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換，從而變?yōu)榕袛嗪瘮?shù)大小的問(wèn)題，再進(jìn)行建立輔助函數(shù)以判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而間接地判斷不等式是否正確。

三、函數(shù)最值中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

關(guān)于函數(shù)最大值的問(wèn)題應(yīng)該是高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中最常見(jiàn)的問(wèn)題之一，也是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，其解答方法有很多，且對(duì)于求解部分題目時(shí)常采取導(dǎo)數(shù)解答。二次函數(shù)求最值為典型的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解題，他指的是在固定區(qū)間內(nèi)求得最大或者最小值的問(wèn)題，且在有參數(shù)的條件下，若按常規(guī)的解題思路，通常是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，但是在求解過(guò)程中需參照?qǐng)D形和數(shù)據(jù)，但很多同學(xué)在用此方法是容易出錯(cuò)，通過(guò)求解導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，再把區(qū)間和求得的最值對(duì)應(yīng)即可。在求復(fù)合函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)確定定義域范圍，即可求得最值。

四、利用導(dǎo)數(shù)解決切線(xiàn)問(wèn)題

在幾何題目的解答中，合理的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以使計(jì)算方法變得更加簡(jiǎn)單，通過(guò)這種方式可以提高數(shù)學(xué)題目解答的效率。在高中數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)遇到坐標(biāo)系中切線(xiàn)方程求解題目，一般的題目都是給出曲線(xiàn)外的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，讓我們來(lái)求解這個(gè)點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，這些題目的解答都是通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。比如一直曲線(xiàn)C為y= f（x），求通過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程。在這道題目的解答中就應(yīng)用了導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念和方法。在解題中，首先，我們要對(duì)點(diǎn)P是否在相應(yīng)的曲線(xiàn)C上作出判斷，再次之后再求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f（x），最后再進(jìn)行計(jì)算求解。在這個(gè)過(guò)程中需要特別注意的是需要進(jìn)行分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在C上的時(shí)候，需要求取相應(yīng)的切線(xiàn)方程，就可以得到答案了；然而如果點(diǎn)P不在C上的時(shí)候，就需要求相鄰切點(diǎn)，這樣我們就得到了一條直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么就可以得出相應(yīng)的經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的曲線(xiàn)C的相應(yīng)的切線(xiàn)方程了。

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也常常遇到考察特殊曲線(xiàn)切線(xiàn)求解的問(wèn)題，如三角形曲線(xiàn)切線(xiàn)等問(wèn)題，若使用傳統(tǒng)方法求解切線(xiàn)，其畫(huà)圖過(guò)程復(fù)雜，且極其容易出錯(cuò)，導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是一種函數(shù)，同時(shí)也是曲線(xiàn)上任意某點(diǎn)的斜率，若將導(dǎo)數(shù)用于切線(xiàn)的求解過(guò)程中，可以開(kāi)拓我們的解題思路，簡(jiǎn)化解題方法，且可以準(zhǔn)備快速的求得答案，并且此類(lèi)問(wèn)題在高考考試中所占的比重較大，我們應(yīng)特別關(guān)注。

五、結(jié)語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)要想在數(shù)學(xué)解題中得到良好的應(yīng)用，必須是建立在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)以及法則等有深刻理解的基礎(chǔ)上。導(dǎo)數(shù)可用于三角函數(shù)求導(dǎo)、函數(shù)極值以及曲線(xiàn)切線(xiàn)方程等解答中，同時(shí)在立體幾何、向量以及解析幾何等題目中的解答中具有很好的應(yīng)用，具有時(shí)效性和廣泛性，通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)典型性的應(yīng)用，可以使一些題目變得一題多解，幫助學(xué)生對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)有更加深層的掌握，并在此基礎(chǔ)上選擇較為簡(jiǎn)單的方法，更好的解決問(wèn)題。