例析導數在高中數學題目解答中的典型應用

盛星衡

G633.6

在高中數學的學習過程中，導數與函數是兩個非常重要同事也是不可或缺的部分，并且在高考數學試題中也占有比較大的比重。其中導數是高考數學學習中的重要基礎之一，但是對于大多數同學來說，這同時也是在數學學習中的一個重點和難點。導數的學習包含了高中數學學習中的很多重要的思想，比如轉化思想、劃歸思想、數形結合思想以及分類討論思想等，是建立在一次函數、二次函數、指數函數、冪函數、正比例函數以及冪函數等中，通過對這些函數的單調性、極值以及最值的理解和掌握，可以更快更好的解決數學問題。從這幾年高考來看，導數在數學中的地位越來越重要。

導函數的簡稱就即為導數，他的定義是在瞬時速度上發展而來的，其具體的含義就是，如果函數f（x）在開區間（a，b）內可導，對于開區間（a，b）內的每一個x0，都對應著一個導數f（x0），這樣f（x）在開區間（a，b）內構成一個新的函數，這一新的函數叫做f（x）在開區間（a，b）內的導函數。函數f（x）在點x0出導數的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點p（x0，f（0））出的切線的斜率，即曲線y=f（x）在點p（x0，f（0））出的切線的斜率就是f（x0），相應地切線的方程式y-y0= f（x0）（x-x0）。總的來說，導數的物理意義是瞬時速率和變化率，幾何意義是切線的斜率f（x0），代數意義就是函數的增減速率。

一、函數單調性中導數的應用

導數單調性是指在某個固定區間內，函數隨自變量的變化而變化，如在增函數區間中，因變量隨自變量的增大而增大；在減函數區間中，因變量隨自變量的增大而減小。通常在做題中，通常根據定義對函數單調性進行判斷，若在較為復雜的函數中使用該方法進行判斷，易發生判斷錯誤，因此通過導數的應用，可以較為準確且容易地判斷函數單調性。

二、不等式中導數的應用

通過分析近幾年的高考題我們可以發現導數常結合不等式出現在高中數學題中，借助導數解答不等式，可簡化我們的解題方法，且不等式用導數求解的過程中可以加強并幫助我們更加快速準確的解答類似的題目，是我們的學習更加系統化、整體化。不等式運用導數求解時，其解題思路是將不等式與函數進行互相轉換，從而變為判斷函數大小的問題，再進行建立輔助函數以判斷函數單調性，進而間接地判斷不等式是否正確。

三、函數最值中導數的應用

關于函數最大值的問題應該是高中數學問題中最常見的問題之一，也是我們學習的重點，其解答方法有很多，且對于求解部分題目時常采取導數解答。二次函數求最值為典型的運用導數求解題，他指的是在固定區間內求得最大或者最小值的問題，且在有參數的條件下，若按常規的解題思路，通常是運用數形結合的方法，但是在求解過程中需參照圖形和數據，但很多同學在用此方法是容易出錯，通過求解導數，判斷導數在區間內的單調性，再把區間和求得的最值對應即可。在求復合函數的最值問題時，可通過確定定義域范圍，即可求得最值。

四、利用導數解決切線問題

在幾何題目的解答中，合理的應用導數可以使計算方法變得更加簡單，通過這種方式可以提高數學題目解答的效率。在高中數學中我們經常會遇到坐標系中切線方程求解題目，一般的題目都是給出曲線外的一個坐標點，讓我們來求解這個點的曲線的切線方程，這些題目的解答都是通過導數來實現的。比如一直曲線C為y= f（x），求通過點P（x0，y0）的曲線的切線方程。在這道題目的解答中就應用了導數的相關概念和方法。在解題中，首先，我們要對點P是否在相應的曲線C上作出判斷，再次之后再求出相應的導數f（x），最后再進行計算求解。在這個過程中需要特別注意的是需要進行分情況討論，當點P在C上的時候，需要求取相應的切線方程，就可以得到答案了；然而如果點P不在C上的時候，就需要求相鄰切點，這樣我們就得到了一條直線所經過的兩個點的坐標，那么就可以得出相應的經過點P的曲線C的相應的切線方程了。

在高中數學的學習中也常常遇到考察特殊曲線切線求解的問題，如三角形曲線切線等問題，若使用傳統方法求解切線，其畫圖過程復雜，且極其容易出錯，導數實質上是一種函數，同時也是曲線上任意某點的斜率，若將導數用于切線的求解過程中，可以開拓我們的解題思路，簡化解題方法，且可以準備快速的求得答案，并且此類問題在高考考試中所占的比重較大，我們應特別關注。

五、結語

總的來說，導數要想在數學解題中得到良好的應用，必須是建立在對導數的概念、性質以及法則等有深刻理解的基礎上。導數可用于三角函數求導、函數極值以及曲線切線方程等解答中，同時在立體幾何、向量以及解析幾何等題目中的解答中具有很好的應用，具有時效性和廣泛性，通過對導數典型性的應用，可以使一些題目變得一題多解，幫助學生對各個知識點有更加深層的掌握，并在此基礎上選擇較為簡單的方法，更好的解決問題。