數學函數圖像中的對稱性問題淺析

曹逸帆

G633.6

函數是我在高中數學的學習過程中非常重要的一部分，因為函數的應用幾乎貫穿了整個高中數學學習中，它也是整個高中數學的核心內容，而高考中對于函數的考查也特別多，甚至考查的內容可能會比課本上的知識更深一點，因此我覺得能不能學好函數是在高考中數學是否能拿到高分的關鍵所在。

學好函數就要了解函數的概念和定義，還要熟練掌握函數的性質——單調性、周期性以及對稱性。在這里，我想主要談一下我對函數對稱性的理解。我對于函數的對稱性還是比較感興趣的，從表面上看，函數的對稱關系體現了數學之美，因為對稱的圖形總是比較美觀的；往深里說，函數的對稱性一直都是各種數學類考試的重點和熱點，而且利用好函數的對稱性還能很巧妙地解決數學問題。

我把函數的對稱性問題進行了歸納和總結后，分成了兩大類，除了常見的自身對稱（奇偶函數的對稱性），兩函數圖像對稱（原函數與反函數的對稱性）以外，函數圖像的對稱性還有一些圖像關于點對稱和關于直線對稱的兩類問題。

雖然將函數的對稱性這樣分成兩大類更容易理解與掌握，但其實在實際的學習過程中，兩函數圖像關于某直線對稱或關于某點成中心對稱，還有函數自身的對稱軸或對稱中心這兩種情況，我們總是容易混淆，從而造成解題失誤。事實上，這兩種類型是有本質區別的，我想就這個問題總結一下相關的一些結論。

函數的對稱性主要是講奇偶函數圖像的對稱性，函數與反函數圖像的對稱性。前者是函數自身的性質，而后者則是函數的變換問題。

課本中的定理都很明確，那為什么我們總是不能較好地掌握函數圖象的對稱性呢？分析一下其中的原因，我覺得有兩個方面：一個是在學習的過程中我們沒有把“函數的圖像關于某點或某直線對稱”、“兩個函數的圖像關于某點或某直線對稱”、“平移、周期與對稱”等這幾個概念區分清楚；另一方面就是我們對函數圖像的對稱性沒有進行更加系統的學習，知識點都太分散，所以不能把學到的性質都用到解題的過程中。

所以，當我們在解決一個函數問題時，首先可以根據題目畫出函數的圖像，這一點是很重要的，也是解題的關鍵所在，我們在學習數學的過程中應當養成這個數形結合的習慣。因為，有的時候一旦圖像有了，就會覺得一目了然，問題也就迎刃而解。有些題目，只看函數的解析式可能不能得出什么，但是當我們畫出函數的曲線，更加直觀地展示出變量間關系時，才會發現問題并不是很復雜，可以根據曲線得出更多的條件，進一步得出結論。所以遇到這樣的題目，一定不能“懶惰”，多畫圖還是有好處的。

對稱是數學高考中的常見問題之一，函數圖像對稱和幾何中講的曲線對稱都屬于圖像的對稱，也都是關于點、直線的對稱。用對稱方法解決高考題中函數的運算問題，在一定程度上可以降低難度，不但可以更容易解出題目，還可以提高解題速度。因此，掌握好函數圖像的對稱性也是很重要的。