基于Matlab的食堂就餐排隊系統的建模與分析

吳亞男+孫雷鳴+張莎+謝鵬英+吳秉衡

【摘要】：良好的餐飲服務體系是學生良好的校園生活保障，是學校后勤服務系統的最重要環節之一，但學生食堂排隊擁擠現象仍是現在各大高校急需解決的問題，我們對此進行了長期的研究與分析。主要應用排隊論的思想，排隊論又稱隨機服務系統理論，能夠解決相應排隊系統的最優設計和最優控制問題【1】。運用概率論中的正態分布函數【2】和優化組合原理進行調整，從而解決食堂問題。用MATLAB軟件繪出各菜種人數與時間的關系，通過建立數學模型，得出食堂排隊系統最優化方案，解決食堂就餐擁擠問題，從而優化食堂資源，提高經濟效益。

【關鍵字】：數學建模，就餐效率，正態分布，菜組窗口數，優化配置

【中圖分類號】G647

一、建立模型目的及意義

食品安全一直受到學校領導及廣大學生的高度重視，食堂體系也反映出學校的管理體系優化與否，所以深層次的挖掘與分析，科學處理合理利用這次的調查與研究，可以更好地服務于學生，提高學校后勤服務質量。

二、建立模型過程分析

我們運用MATLAB數學工具進行分析，繪制了時間與人數的關系圖，此高級語言還可用于技術計算，其中的二維和三維圖形函數主要作用是可視化數據，將數據通過圖像變現出來其走勢。【3】在食堂統計過程中得到一系列的離散數據，為了利用這些數據得到一個平滑的曲線來更加直觀形象的反映其變化規律，我們運用matlab進行了曲線擬合。matlab中提供了polyfit函數來實現曲線擬合最小二乘法，它是曲線擬合最常用的一種方法。interp1一維數據插值，該函數對數據點之間計算內插值，它可以找出一元函數f（x）在中間點的數值，其中函數表達式由所給數據決定。

三、模型的建立及運算解析

根據調查的實際數據，通過MATLAB軟件繪出人流量走勢圖，方便直觀的看出隨著時間變化，人數的變化趨勢。可以看出，抽查的這個食堂窗口擁擠時間保持在12分鐘左右，人數從11：30到11：44一直在增加，從11：45到12：05人數逐漸減少。

本次調查的食堂窗口種類有：大米、鍋仔、特色面食、接待和面食。為了求出每個菜種合理窗口數，我們建立的數學模型是：H=擁擠時間段的總人數/每分鐘窗口合理人流量×窗口數×擁擠時間，用字母表示該數學公式：H'=（H1+H2）/2 H=M/（N*F*T）

其中：M擁擠時間段的總人數，N每分鐘窗口合理人流量，F窗口數，T擁擠時間，H'平均參數，

F'合理窗口數，H為參變量，用來衡量菜組窗口是否合理，希望預期值為1，通過計算得出的H大于1，則視為擁擠，需要增設窗口；小于1，則應該減少窗口。

以下是詳細的計算合理窗口數的過程：

假設擁擠時間段為每天的11：36-11：47

例：大米窗口，4月21日H1=493/（10×4×10）=1.23

4月25日H2=88/（10×2×10）=0.44

求合理窗口數時的H=1，假設合理窗口數為X，則：

4月21日H1=493/（10×X×10）=1，解出X=4.93

4月25日H2=88/（10×X×10）=1，解出X=0.88

現在餐廳工作日大米窗口有4個，需增設1個；周末大米窗口有2個，需要減1個窗口。

其他窗口求合理窗口數的過程與這個相同，經計算，得出餐廳工作日鍋仔窗口數不需要變動，周末需要增設1個；餐廳工作日接待窗口數需要增設1個，周末需要增設1個；餐廳工作日特色面食窗口數需要增設1個，周末需要減設1個；餐廳工作日面食窗口數需要增設1個，周末無需變動。

經過對各個菜種窗口數的調整，分別用H1，H2，H3，H4，H5這5個指標來衡量這5個菜組是否擁擠，同時引入一個總的可以衡量食堂擁擠程度的參數H總，H總=（H1+H2+H3+H4+H5）/5，通過計算得出，H總=0.908，它可以看出窗口調整后對整個餐廳就餐擁擠程度總的效果，同樣以H=1作為參考值，大于1則擁擠，小于1則不擁擠，計算得出的H總小于1，說明經過調整，餐廳就餐情況得到改善，窗口數得到優化。

接下來，為了更深入的研究調整后的每個菜種與餐廳總水平的偏離程度，引入方差分析。方差分析通過檢驗個體與總體之差來判斷影響效果是否顯著，使用方差分析時，必須滿足一定的條件，被稱作方差分析的基本假定【4】。假定如下：

1、每個總體必須服從正態分布。

2、每個總體的標準差必須相同。

四、影響函數變化的指標分析

1、窗口數F的變化會對數學函數產生影響。當窗口數F增加時，擁擠時間T就會縮短，相應的擁擠時間段的總人數M下降，擁擠程度下降，H也會隨之下降。

2、擁擠時間的總人數M的變化會對數學函數產生影響。當窗口數F一定，每分鐘的各窗口合理人流量N一定，擁擠時間T一定時，擁擠時間段的總人數M減少，H也會隨之下降。

3、每分鐘的各窗口合理人流量N的變化會對數學函數產生影響。當窗口數F一定，擁擠時間的總人數M一定，擁擠時間T一定時，每分鐘各窗口的合理人流量增大，H則減小。

五、結論

在生產和科學研究中，人們往往要按照預定的目標去實現過程的控制，這就是說，在客觀條件允許范圍內，選擇最好的措施控制某過程的發展，以便更好地實現預定的目標，這就是過程最優化。【5】該項目的核心思想就是最優化，將得出數學模型方案，運用到學校的食堂就餐排隊中，實踐證明，這套方案確實可以減緩食堂的擁擠情況，有效利用學校的資源，實現該模型預期的目標。該模型雖然已經有效的解決了食堂擁擠情況，但是仍存在不足之處：

1、文中只是給出了有限的幾個影響因素，對系統的優化仍然不夠高，鑒與此，接下來應該實地調查更多的學校，統計更多的數據，使研究結果和方案更具有代表性。

2、由于學習的專業水平有限，對最優化理論了解的還是不夠深入，以后我們應該繼續深入學習，提出更多的改進方案，從而可以更優化食堂就餐系統，使效果更為明顯。

參考文獻

【1】運籌學/熊偉編著.—2版.—北京：機械工業出版社，2009.9

【2】概率論與數理統計/同濟大學數學系編著.4版. —上海：同濟大學出版社，2009

【3】MATLAB概率與數理統計/周品 編著. —北京.清華大學出版社，2012.11

【4】應用統計學/潘鴻，張小宇，吳勇民 編著.-北京：人民郵電出版社，2011

【5】最優化方法及其MATLAB程序設計/馬昌鳳 編著.—北京：科學出版社，2010