例談數學教學中追問的時機與作用

追問是指針對某一內容或問題，在已有提問和回答的基礎上，順應學生思維發展的再次提問。追問是課堂提問的一種重要形式，可以拓展學生的思維，深化學生的理解。

從一定意義上說，沒有追問的課堂是教師教與學生學缺位的課堂，教師追得不深或問得不準將導致學生思維始終在同一層次徘徊。基于數學學科的特性，數學教學中的追問有利于培養學生思維的深刻性、靈活性、批判性、創新性等，對于優化學生的認知結構、提升學生的情感態度等也具有重要的價值。需要注意的是，教師要準確把握追問的時機，善于順應學生的思維，適時而追，相機而問，才能真正促進學生思維品質的提升。

一、在認知粗淺或困惑時追問，培養思維的深刻性

學生（尤其是小學生）身心發展的特點決定了他們在分析、解決數學問題時，對很多知識和經驗的理解和感悟是受到一定限制的、粗略的、膚淺的、有困難的、有疑惑的，因此思維經常表現出表層化乃至片面化的傾向，缺乏深刻性與概括性。此時，教師的追問如果切合學生思維發展的線索，將能夠指引學生突破原有認知，幫助學生提升思維層次，打開思維路徑。此外，教師可以通過追問不斷設置思維障礙，反復打破認知平衡，促進學生的思維不斷攀升，促使學生對數學普遍規律的認識由粗淺走向深刻，由困惑走向厘清。

【案例1】 “圖形的分割”教學片段

教師布置操作任務：“將一個正方形分成面積相等的兩個部分。”學生基于原有經驗，通過對稱軸很快找到了相應的直線。教師追問：“除了這4條直線，還有其他直線能將正方形分成面積相等的兩個部分嗎？”學生通過實踐操作，找到了一些符合條件的直線，并且發現這些直線都經過正方形的中心點。教師追問：如果不剪、拼，你能試著分析證明經過中心點的直線將正方形分成面積相等的兩個部分嗎？”學生基于操作與論證，確認了這一規律，并且發現其他正多邊形也具有這樣的規律。教師追問：“這條規律是不是對所有的正多邊形都適用，能不能找到反例？”……

這里，教師通過三次針對性追問，幫助學生在操作中感悟方法，概括規律。第一次追問打破了學生的固有思維，激起了學生的認知沖突。第二次追問聚焦于圖形的特征分析，即對兩個部分圖形各對應邊的觀察理解，幫助學生探究所得結論的原因，初步體驗幾何證明的過程。第三次追問再一次打破了學生的固有思維，引導學生在質疑中形成反思意識。正是在這三次追問中，教師不斷引導學生分析現象，逐步由對稱軸走向過中心點的任意直線，由操作走向證明，由正方形走向正多邊形，不斷提高學生的思維深度，豐富學生的思考內容。

【案例2】 “多邊形內角和”教學片段

教師提問：“三角形內角和是多少度？長方形和正方形內角和是多少度？”學生回答后，教師追問：“那么一般的四邊形內角和是多少度？”在三角形、四邊形內角和的探索中，學生隱約地感覺到多邊形的內角和與多邊形的邊數有一定的關系，但是這個認知是淺顯的、模糊的。教師追問：“n邊形的內角和是多少度？你能證明你的猜想嗎？”在多邊形內角和的一般規律的探索中，學生的認知逐漸深入、清楚。教師追問：“六邊形、十邊形的內角和分別是多少度？內角和是1080度的多邊形是幾邊形？”……

這里，教師通過三次針對性追問，幫助學生感悟和概括多邊形內角和的一般規律。首先，由基礎的三角形內角和遷移到特殊的四邊形內角和，再拓展到一般的四邊形內角和。其次，直接拋出一般的n邊形內角和問題，讓學生在猜想、證明的基礎上嘗試概括多邊形內角和的一般規律。最后，引導學生對剛剛概括出的規律進行具體的應用驗證。在這一過程中，學生從三角形內角和的知識出發，通過觀察、操作、類比、概括等數學活動，從復雜現象中尋找了普遍規律，提升了思維的深刻性，也使得認知從迷惑走向清晰。

二、在認知關聯或延伸時追問，培養思維的靈活性

數學知識具有整體結構，知識之間存在著千絲萬縷的聯系。教師需要在知識交匯處組織追問，引導學生在聚焦核心知識的同時，尋找相應的知識關聯，并且在構建知識之間縱向聯系的基礎上，尋找知識之間的橫向聯系，從而以此為線索，實現認知結構的延伸以及思維靈活性的提升。此外，數學問題的解決具有多樣化、多元性特點。教師需要基于問題解決的元認知活動組織追問，引導學生挖掘問題的各種關聯，突破已有的思維模式，不斷變換思維的角度，調整思維的方式，從而尋找更加有效、便捷的解決過程，同時培養思維的靈活性。

【案例3】 “小數除以小數計算”教學片段

教師出示計題：0.12÷0.03，3.6÷0.8，7.98÷4.2。學生獨立計算，然后交流。多數學生根據小數除以整數的計算經驗初步完成了前兩題。教師圍繞算理辨析，進行啟發式追問，引導學生探究出小數除以小數的算法：首先將除數擴大一定的倍數，轉化為整數，其次根據商不變性質，將被除數擴大相同的倍數，最后利用除數是整數的除法計算方法計算。接著，教師追問：“這三道計算題有什么共同的特點？計算中運用了什么共同的策略？”學生討論得出：都是將未知的除數是小數的除法轉化成已知的除數是整數的除法，再進行計算。由此，學生總結得出轉化的數學思想：遇到一個未知問題時，可以借助原有的知識和方法，將其轉化為已知問題來解決。接著，教師追問：“還有哪些知識在獲得時運用了轉化的思想？”……

這里，教師通過追問，幫助學生探究小數除以小數的計算方法，并從中概括、總結轉化的數學思想，再尋找、感受這一思想的普遍運用和價值。也就是說，教師借助知識的整體性，針對內容的關聯性，從知識的類比和方法的遷移入手，通過適切的追問，有效地激活學生的思維，提升學生思維的靈活性。這樣的追問比起直接講授和簡單提問更貼近學生實際，更容易引發數學思考。

【案例4】 “12+14+18+116計算”教學片段

出示問題后，教師引導學生觀察數據的特點（后一個數是前一個數的一半），然后提供可操作的圖形（正方形，看作“1”），并且提問：“12、14、18、116分別可以如何表示？”當學生化數為形，并且具備一定的感知經驗時，教師追問：“是否可以換個角度來思考計算問題？”在學生構造圖形，轉化計算的基礎上，教師繼續追問：“如果是13+16+112+124或14+18+116+132，又可以怎樣操作分析呢？從中可以發現哪些規律？”……

這里，教師不是直接讓學生在一個單位正方形中依次表示出各個分數，然后操作分析，計算出結果；而是在學生嘗試利用圖形表示出各個分數的基礎上進行追問，引發學生對“為什么要數形結合”“怎樣實現數形結合”的解決問題方式進行思考。也就是說，教師在學生解決問題的過程中，以學生的知識學習為基礎，從學生認知發展的角度，聚焦知識產生與運用過程中的基本思想，有的放矢地追問，引導學生轉換思維角度，轉變思維方式，培養思維的靈活性，最終形成認識上的飛躍。

三、在課堂動態生成中追問，培養思維的創新性

“問題是數學的心臟。有了問題，思維才有方向、動力和創新。”基于問題的課堂在本質上是一個動態生成的過程。在解決問題的過程中，學生的思維會處于一個相對開放的狀態，會生成對舊知識的重新認知和對新知識的自我建構。教師如果能夠在這個過程中的“無疑之處”“無意之處”另辟蹊徑，深入設疑，適時追問，則必將推進學生思維的發展，實現學生思維的創新。

【案例5】 “圓柱的表面積”教學片段

教師提問：“圓柱的表面積可以如何計算？”學生普遍回答：分別計算上下底面兩個圓的面積和側面長方形的面積，再求和。然后，教師引導學生用字母表示出圓柱表面積的計算公式：

2πr2+2πrh。這時，一位學生提問：“這個公式中，求圓柱底面積和側面積都用到了‘2πr’，也就是底面圓的周長，那么能不能根據乘法分配律，讓計算簡便一些呢？”由此，筆者追問：“利用乘法分配律，怎樣簡便計算？”學生很快指出：可以利用公式2πr（r+h）來簡便計算。筆者繼續追問：“計算的確更簡便了，那么能不能借助圖形，對這一公式作出解釋呢？”學生興奮地畫圖、思考、表達……他們發現：如圖1所示，圓柱的側面是一個長方形，這個長方形的長就是圓柱底面圓的周長（2πr），而圓柱的底面圓可以轉化成一個長方形，這個長方形的長是圓周長的一半（πr），兩個圓轉化成的長方形拼在一起得到的長方形的長就是圓的周長（2πr），所以圓柱的表面可以轉化成一個大長方形。

這里，由于涉及圓周率的計算的復雜性，學生關注了計算的簡便化。而教師關注著學生思維的發展，抓住了這個動態生成的資源，在學生思考的“無意之處”適時追問，誘發了學生思維的創新，讓學生不僅發現了乘法分配律給計算帶來的便利，而且尋找合理解釋的過程中發展了空間觀念。

參考文獻：

[1] 田秀亭.在有效追問中提升學生的思維品質[J].數學教學通訊，2012（6）.

[2] 蔣敏杰.課堂追問：助推學生數學思維發展[J]. 課程教學研究，2015（7）.

[3] 李步良.小學數學課堂追問的價值厘析及實施策略[J].中小學教師培訓，2014（6）.