在深度“對話”中自然建構

法國教育家保羅·弗萊雷說過：“沒有對話，就沒有了交流，也就沒有了真正的教育。”古希臘哲學家蘇格拉底更是以“蘇格拉底方法”成為啟發式教學的先驅：他在與學生談話的過程中，并不直截了當地告訴學生所應知道的知識，而是通過問答、討論甚至辯論的方式來揭露學生認識中的矛盾，逐步引導學生自己得出正確答案。教學實踐表明，“對話”不僅是一種調動學生的教學手段，更是一種尊重學生的教育思想；不僅是教師和學生通過語言進行的交流與討論，更是學生之間觀點與想法的碰撞與爭鳴。

數學教學本質上是數學思維的教學，而思維最直接、最基本的體現就是語言。因此，數學教學必須通過深度“對話”，在思維的自然建構中實現知識的深入理解。下面，以《簡單的邏輯聯結詞》一課為例，談談筆者的實踐與思考。

一、課堂實錄

（一）創設問題情境

師 請大家欣賞一個偵探故事。A、B、C、D四位小朋友在李大爺家院內踢足球。只聽見“啪”的一聲，足球飛向了李大爺家的窗戶，頓時玻璃碎了一地。李大爺趕緊出來問他們：“誰踢壞了玻璃？”小朋友A說：“是B踢的。”小朋友B說：“是A踢的。”小朋友C說：“A沒有說實話且B也沒有說實話。”小朋友D說：“反正不是我踢的。”如果四位小朋友中只有一個人說了實話，那么你能告訴李大爺是誰踢壞了玻璃嗎？

生 答案是C。

師 你能解釋一下嗎？

生 我猜的。

師 有沒有不同答案？

生 答案是D。

師 為什么呢？

生 首先可以排除A和B；如果是C，那么就有C和D兩個人說了實話，與條件不符；而如果是D的話，那么就只有C一個人說了實話。

師 解釋得很明白吧！接下來，請同學們再思考：這個實例中用到了我們以前學過的哪些知識呀？

生 命題、命題真假的判斷。

師 還有我們沒學過的內容嗎？

生 “A沒有說實話且B也沒有說實話”和“反正不是我踢的”不是以前學過的命題形式。

師 觀察得很仔細！這些命題中涉及一些邏輯聯結詞。我們今天就來研究由這些邏輯聯結詞構成的復雜命題。

（教師板書課題。）

（二）組織學生活動

師 觀察以下三個命題，并回答問題：（同步出示）①6是2的倍數或6是3的倍數；②6是2的倍數且6是3的倍數；③π不是無理數。

（教師出示問題1：命題①、②、③是否與某些命題有關聯？你能說出這些關聯的命題嗎？）

生 命題①是用“或”將命題“6是2的倍數”與“6是3的倍數”聯結而成的新命題；命題②是用“且”將命題“6是2的倍數”與“6是3的倍數”聯結而成的新命題；命題③是命題“π是無理數”的否定。

師 回答得非常好！在邏輯上對一個命題的否定是用哪個字來表示的？哪位同學知道？

生 非。

師 很好！

（教師出示問題2：你還能舉出一些具有上述結構特點的命題嗎？）

生 △ABC是等腰三角形或△ABC是直角三角形。

生 2是偶數且2是質數。

生 2不是無理數。

生 3≤5。

師 “3≤5”是用哪個詞聯結的呀？

生 是“或”：“3≤5”表示“3<5或3=5”。

生 不對。應該是“且”：3≤5表示“3<5且3=5”。

師 請大家討論一下，你贊同誰的觀點？

生 還應該是“或”。

生 是的。

師 這樣的觀點碰撞很有意義，因為真理愈辯愈明！

（三）建構數學概念

師 你知道這里的“或”“且”“非”在數學上稱作什么嗎？

生 應該稱為“邏輯詞”。

師 稍微改一下：稱為“邏輯聯結詞”。如果用小寫拉丁字母p、q、r表示命題，則以上各命題的構成形式分別是“p或q”“p且q”“非r”。（同步板書數學符號）其中“p或q”可記作“p∨q”，“p且q”可記作“p∧q”，“非r”可記作“r”。

（教師出示問題3：你能從集合運算的角度，分別描述“p∨q”“p∧q”及“r”這三種形式的命題嗎？）

生 “p∨q”對應于并集，“p∧q”對應于交集，“r”對應于補集。

（教師出示問題4：對于邏輯聯結詞“或”“且”“非”，你能用開關電路圖表示它們的“聯結”關系嗎？一位學生在黑板上依次畫出圖1、圖2、圖3，并指出它們分別與邏輯聯結詞“或”“且”“非”對應。）

（四）建立數學理論

（教師出示問題5：說出下列命題的形式以及相應的命題p、q。（1）8≥7；（2）2是偶數且2是11的約數；（3）π不是整數。三位學生分別口答。）

師 （追問回答最后一小題的學生）你認為一個命題的否定與這個命題的否命題有區別嗎？

生 命題的否定只否定命題的結論；否命題是命題的條件和結論都否定。

師 請大家注意，他的觀點是正確的。也就是說，原命題是真命題，則它的否定一定是假命題，而否命題真假不確定。

（教師出示問題6：問題5中的幾個命題真假性如何？它們的真假性與命題p、q的真假性有關系嗎？你能猜想出怎樣的結論？）

生 8≥7是假命題。

師 有沒有不同意見呢？

生 我認為“8≥7”是真命題，其中命題“p：8>7”是真命題，“q：8=7”是假命題。我猜想“p∨q”形式復合命題是“一真則真”。

師 大家認可誰的觀點？

生 （眾）后者。

師 確實，他說得很有道理，對我們的常識“8≥7”從邏輯的角度給出了合理的解釋；而且猜想了“p∨q”形式復合命題的真假性，總結的四個字言簡意賅。掌聲祝賀！

生 “2是偶數且2是11的約數”是假命題，其中“p：2是偶數”是真命題，“q：2是11的約數”是假命題。猜想：“p∧q”形式復合命題是“一假則假”。

師 類比學習，很棒！

生 “π不是整數”是真命題，其中“r：π是整數”是假命題。猜想：“r”形式復合命題是“真假相反”。

師 剛才幾位同學猜想的結論都是正確的。這是我們判斷由邏輯聯結詞“或”“且”“非”構成的復合命題的真假性的重要依據。

（五）展示數學運用

（教師出示問題7：寫出由下列命題構成的“p或q”“p且q”以及“非p（q）”形式的命題，并判斷它們的真假。（1）p：3是質數，q：3是偶數；（2）p：5<5，q：5=5；（3）p：方程x2+x-2=0的解是x=-2，q：方程x2+x-2=0的解是x=1。三位學生分別板演。）

師 請看最后一小題的板演。這位同學認為，命題“p或q”應該是“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”，這是一個真命題。你們同意嗎？

生 我不同意。我認為，應該是“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”，這是一個假命題。

師 請各位同學發表不同意見。

（通過激烈爭辯，大家最終都同意后一位學生的觀點。）

（六）學會回顧反思

師 本節課我們學習了哪些簡單的邏輯聯結詞？各自的含義是什么？（學生回答。）

師 如何判斷含有邏輯聯結詞的復合命題的真假性？

生 利用復合命題的真值表。

師 在得出含有邏輯聯結詞的復合命題真假性的過程中，我們運用了哪些數學思想方法？

生 由特殊到一般的歸納猜想方法以及類比方法。

師 課后作業：課本第11頁習題1、2、3。

二、教學評析

本節課的教學目標主要是了解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義，學會利用它們表達相關的復合命題，并能夠正確判斷含有邏輯聯結詞的復合命題的真假性，進一步認識命題之間的邏輯關系。學生在初中階段已經學習了“簡單命題及其關系”，能夠判斷命題的真假性，這為學習本節課打下了很好的基礎。但是，含有邏輯聯結詞的復合命題的構成要素以及真假性辨別還是學生的易錯點，加之語言表達能力要求較高，學習本節課也是有困難的。基于教材內容與學情分析，筆者認為通過設置高質量的問題串，采取師生與生生對話的方式演繹教學過程，才能夠達到預期的教學目標。

（一）對話：基于生活情境，充分發揮先行組織者的作用

奧蘇伯爾認為，有意義學習發生和保持的最有效策略就是利用適當的引導性材料對當前所學習的新內容加以定向與引導，唯有如此才能確保新舊知識之間建立實質性的、非人為的聯系，把這種引導性材料稱為“先行組織者”。

本節課中，教師通過一個偵探故事創設問題情境，既符合學生的認知心理與年齡特點，激發了學生的好奇心與求知欲，又拉近了現實生活與數學內容的距離，為學習新知識拋錨。

其中“A沒有說實話且B也沒有說實話”以及“反正不是我踢的”等語句不是學生以前學過的命題形式，又剛好涉及邏輯聯結詞“且”“非”，可以水到渠成地引出本節課的課題。

因此，問題情境起到了先行組織者的作用。而基于問題情境的對話讓學生真切地體驗到，知識來源于生活又高于生活，生活中的一切都充滿知識、蘊含知識，從而讓生活走進課堂，將課堂引向生活，使得生活的一切時間和空間都是學習的課堂。

（二）對話：基于問題串，把靜態的內容變成探究性活動

問題是數學教學的心臟，是引發學生思維與探究活動的向導。有了問題，學生的好奇心與求知欲才能激發；有了問題，學生的思維閘門才能開啟；有了問題，學生的探究活動才有載體。同時，“孤立的問題對學生思維的發展幾乎沒有什么作用，只有讓問題以問題串的形式出現，讓學生進行系列的、連續的思維活動，學生的思維才能不斷攀升到新的高度”。教師只有通過設計恰當的問題串，展開師生之間流暢的對話，才能使知識的邏輯結構轉化為學生的認知結構，才能把冰冷的知識轉化為火熱的思考，才能把教材中靜態的知識轉化為課堂上動態的活動，讓學生獲得思維的經歷與實踐的經驗，讓數學思想在課堂中流淌。

本節課中，教師為了讓學生真正理解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義，連續拋出了問題3和問題4。通過這兩個問題的研討與解決，學生對于“或”“且”“非”的內涵既有了集合知識的同化作用，又有了物理學上電路圖的直觀模型，實現了“感受意義、形成表象、自我表征”的有效建構。此外，在學生完成問題5中的簡單練習后，教師提出了一個辨析性追問，并拋出了具有探究性和概括性的問題6。由此，讓學生在解決具體數學問題后，通過歸納概括，自主地總結出復合命題的真值表，形成理性思維。縱觀整節課，教師始終通過不斷地追問，促發師生之間自然的對話，讓學生的認知活動從感性走向理性，數學思維也從膚淺走向深刻。

（三）對話：基于困惑思辨，實現數學思維的碰撞與提升

課堂教學的藝術性主要體現在懸念叢生，高潮迭起，不斷地產生創新的火花與智慧的接力。

這節課在某些復合命題的選取上可謂獨具匠心，讓學生之間形成爭議，通過交鋒與爭辯，最終達成對真理的共識與共享，讓課堂充滿了智趣。譬如，對于問題5中的命題“8≥7”的真假性辨析，從乍看時的假命題到細致分解后的真命題，學生不但做到了以理服人，而且學會了處理復合命題真假性的辨析方法。又如，對于問題7中由命題“p：方程x2+x-2=0的解是x=-2”和命題“q：方程x2+x-2=0的解是x=1”構成的“p或q”形式的復合命題怎么寫、真假性如何的爭論更是形成了本節課的高潮，也正是在激烈的爭論、說服、接納過程中，學生對于邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義以及復合命題真值表的歸納才留下了深刻的體驗感悟與經驗積累，并借助同化與順應的過程把新知識牢固地建立到已有的認知結構中。

當然，課堂教學永遠是一門遺憾的藝術。這節課也有一點瑕疵。譬如，對于由命題“p：方程x2+x-2=0的解是x=-2”和命題“q：方程x2+x-2=0的解是x=1”構成的“p或q”形式的復合命題怎么寫、真假性如何這個教學難點的處理，一方面教師應該指出，命題“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”不能夠簡寫成“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”，因為這兩個命題不一樣；另一方面教師還要講清楚，命題“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”中的“或”不是邏輯聯結詞，因此這一命題不是“p或q”形式的復合命題。

參考文獻：

[1] 曹才翰，章建躍.數學教育心理學（第二版）[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[2] 卓斌.例談數學教學中問題串的設計與使用[J].數學通報，2013（6）.