對(duì)離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的探索與思考

張軍好+胡軍浩

[摘 要]離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系的一門重要的基礎(chǔ)課程。它可以為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、操作系統(tǒng)、可計(jì)算性理論、人工智能、形式語(yǔ)言與自動(dòng)機(jī)、信息管理與檢索以及開關(guān)理論等專業(yè)課程作必要的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)備。同時(shí)離散數(shù)學(xué)也是研究自動(dòng)控制、管理科學(xué)、電子工程等重要的數(shù)學(xué)工具。在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可根據(jù)不同專業(yè)的不同要求，合理地選擇教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，同時(shí)再結(jié)合一些有效的教學(xué)方法，可以解決課時(shí)少與教學(xué)內(nèi)容繁多的矛盾。

[關(guān)鍵詞]離散數(shù)學(xué)；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)方法

[中圖分類號(hào)] G642.3 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2017）04-0009-02

一、離散數(shù)學(xué)的重要性

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。它是以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系為主要目的的一門計(jì)算機(jī)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。它不僅為計(jì)算機(jī)有關(guān)專業(yè)課如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、操作系統(tǒng)、可計(jì)算性理論、人工智能、形式語(yǔ)言與自動(dòng)機(jī)、信息管理與檢索以及開關(guān)理論作必要的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)備，而且為學(xué)生今后從事計(jì)算機(jī)科學(xué)各方面的工作提供重要的理論工具。此外離散數(shù)學(xué)也是研究自動(dòng)控制、管理科學(xué)、電子工程等重要的數(shù)學(xué)工具。因此通過對(duì)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不但可以為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，同時(shí)還可以進(jìn)一步培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，使自己具有較強(qiáng)的獨(dú)立學(xué)習(xí)與工作的能力。

二、教學(xué)內(nèi)容

離散數(shù)學(xué)課程具有概念多、內(nèi)容廣泛、知識(shí)點(diǎn)分、理論性強(qiáng)而不系統(tǒng)、高度抽象等特點(diǎn)。

從著眼于為計(jì)算機(jī)與自動(dòng)化等專業(yè)的學(xué)生的后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)工具，同時(shí)遵循有利于教學(xué)、有利于學(xué)生學(xué)習(xí)、有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力的原則，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容從大體系上可以分為四部分：集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)論）、圖論、數(shù)理邏輯論。

（一）集合論

集合論主要包含集合的概念、運(yùn)算、成員表、分劃、關(guān)系及其性質(zhì)、幾種重要的二元關(guān)系、函數(shù)等。集合論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、開關(guān)理論、有限自動(dòng)機(jī)、形式語(yǔ)言、人工智能等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。

（二）代數(shù)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)論）

系統(tǒng)論主要包含代數(shù)系統(tǒng)、群環(huán)域、格與布爾代數(shù)。代數(shù)系統(tǒng)是研究元素的運(yùn)算規(guī)律和與這些運(yùn)算相關(guān)的理論及定義的各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，其中群論在代碼的差錯(cuò)、糾錯(cuò)及自動(dòng)機(jī)理論等方面有著重要的應(yīng)用。格與布爾代數(shù)在有限自動(dòng)機(jī)、開關(guān)理論等方面有著重要的應(yīng)用。

（三）圖論

圖論主要包含圖的基本概念、圖的矩陣表示。有向圖、樹、有向樹、最小生成樹、最優(yōu)樹、關(guān)鍵路徑、平面圖、歐拉圖與哈密而頓圖等方面的內(nèi)容。圖論在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、形式語(yǔ)言、管理科學(xué)、信息論、操作系統(tǒng)、編譯程序等方面有著重要的應(yīng)用。

（四）數(shù)理邏輯論

邏輯論主要包含命題、謂詞、公式與范式及邏輯推理理論。通過對(duì)數(shù)理邏輯的學(xué)習(xí)不但可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，而且這些理論在機(jī)器證明、自動(dòng)程序設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等方面有著重要的理論應(yīng)用。

對(duì)以上的知識(shí)框架體系應(yīng)本著“精簡(jiǎn)、實(shí)用、夠用”的原則，同時(shí)根據(jù)不同專業(yè)要求組織教學(xué)內(nèi)容，并對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行必要的優(yōu)化整合。既要考慮到相關(guān)內(nèi)容的層次銜接，又要考慮到與后續(xù)課程的聯(lián)系，同時(shí)還要突出重點(diǎn)內(nèi)容。簡(jiǎn)而言之，就是既要注意課程內(nèi)容的縱向與橫向聯(lián)系，又要注意培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。

三、教學(xué)方法

（一）推行相互聯(lián)系式教學(xué)

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師不但要傳授基本知識(shí)及講授各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈，還要將離散數(shù)學(xué)最基本的方法及與其他學(xué)科的聯(lián)系講授給學(xué)生。通過典型問題、典型方法的講解，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決問題方法與其他學(xué)科進(jìn)行廣泛式聯(lián)系，提出自己的想法。例如在講解函數(shù)復(fù)合時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生注意其與高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)復(fù)合的區(qū)別與聯(lián)系。

（二）注意培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

我們知道，“興趣是最好的老師”，因而在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要始終貫徹以培養(yǎng)學(xué)生的興趣來增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力的方針，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，從而保證教師的教學(xué)質(zhì)量。例如對(duì)離散數(shù)學(xué)中的蘇格拉底三段論、哥尼斯堡城七橋問題、周游世界問題、四著色問題等這些典型問題進(jìn)行透徹的講解能喚起學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生感受到離散數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中有著重要而廣泛的應(yīng)用，而不是空洞的理論，同時(shí)也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美之所在，力量之所在。

（三）注意理論聯(lián)系實(shí)際

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要始終貫徹理論聯(lián)系實(shí)際的教學(xué)理念。例如在集合論部分可以對(duì)集合等式與不等式的證明注意集合成員表的應(yīng)用。在講解幾種特殊的二元關(guān)系時(shí)要注意與現(xiàn)實(shí)生活的事實(shí)相聯(lián)系。例如鄰居關(guān)系是相容關(guān)系，三角形的相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系等。再例如圖論中郵路問題是歐拉圖問題，通信線路的架設(shè)、水渠的布置是最小生成樹問題，以及張三、李四、王五說真話問題是邏輯推理問題等。通過對(duì)這些現(xiàn)實(shí)問題的講解，學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)知識(shí)與方法可以很好地解決某些現(xiàn)實(shí)生活問題，從而體現(xiàn)出離散數(shù)學(xué)廣泛而現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用；學(xué)生也感受到可以學(xué)以致用，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，故而學(xué)好也就不難了。

（四）注意圖示法的應(yīng)用

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要注重圖形法在某些章節(jié)的應(yīng)用。例如在集合論的部分，表示集合的關(guān)系與運(yùn)算可以利用文氏圖來解決；在求關(guān)系的冪、關(guān)系的傳遞閉包時(shí)可以利用關(guān)系圖的復(fù)合規(guī)則來解決。當(dāng)然在圖論部分圖形的應(yīng)用的重要性是不言而喻的。圖形法形象直觀，圖文并茂，在某些情況下可以解決復(fù)雜而繁瑣的理論問題。

（五）注意生動(dòng)形象語(yǔ)言的應(yīng)用

在課堂教學(xué)過程中，對(duì)于某些知識(shí)點(diǎn)的講解利用生動(dòng)形象的語(yǔ)言可以使問題簡(jiǎn)單明了，達(dá)到事半功倍的效果。例如在講解關(guān)系復(fù)合時(shí)可用尾首對(duì)應(yīng)劃去法即“過河拆橋”方法來講解；在畫偏序關(guān)系的次序圖（哈斯圖）時(shí)可用傳遞的結(jié)點(diǎn)間不連線的語(yǔ)言來講解；在求最小生成樹時(shí)可以利用加邊法（蓋房子）或去邊法（拆房子）的語(yǔ)言來講述；在判斷一個(gè)偏序集是否是格時(shí)，對(duì)次序圖可以利用只判斷平行結(jié)點(diǎn)（兄弟結(jié)點(diǎn)）的語(yǔ)言來講解。通過一些生動(dòng)形象的語(yǔ)言來講解某些難點(diǎn)問題，可以使問題深入淺出，讓學(xué)生形成深刻的記憶，從而不容易忘記。

（六）注意反例法與類比法的應(yīng)用

在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，正面掌握和理解知識(shí)點(diǎn)當(dāng)然重要，但在某些情況下，適當(dāng)引入一些反例可以指出某些知識(shí)點(diǎn)的此正彼非，以反輔正。利用反例可幫助學(xué)生辨別復(fù)雜概念，深化知識(shí)理解，建立起主動(dòng)思考和學(xué)習(xí)的模式，從而提高學(xué)習(xí)效果。另一方面，在教學(xué)過程中還要注意類比法的應(yīng)用。例如將集合論中的集合運(yùn)算的十條定律與布爾代數(shù)以及邏輯論中的運(yùn)算定律、命題公式的運(yùn)算定律做類比可以發(fā)現(xiàn)它們基本是相同的。這樣通過類比教學(xué)，可以有效簡(jiǎn)化知識(shí)的學(xué)習(xí)和證明，從而使學(xué)生學(xué)起來更輕松、更有效。

（七）注意現(xiàn)代化教學(xué)手段的應(yīng)用

一方面，有效利用多媒體教學(xué)，可以使一些知識(shí)點(diǎn)在教授過程中更加形象、直觀、有效。例如在某些算法編程演算時(shí)，教師可以充分利用多媒體進(jìn)行演示、演算，使學(xué)生理解起來更輕松，學(xué)習(xí)起來更有效。另一方面，要充分利用網(wǎng)絡(luò)資源建立網(wǎng)絡(luò)課堂。將離散數(shù)學(xué)的教學(xué)資料上傳網(wǎng)絡(luò)，包含教學(xué)大綱、考試大綱、教學(xué)計(jì)劃、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)、課件習(xí)題以及主要的算法演示。將這些內(nèi)容上傳網(wǎng)絡(luò)，建立起教師與學(xué)生的課下交流平臺(tái)，以最大限度地滿足學(xué)生的課外學(xué)習(xí)要求，從而達(dá)到及時(shí)交流問題、及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、及時(shí)解決問題的目的。

四、結(jié)語(yǔ)

經(jīng)過以上闡述，我們可以看出，在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可根據(jù)不同專業(yè)的不同要求，合理地選擇教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，同時(shí)再結(jié)合一些有效的教學(xué)方法，可以解決課時(shí)少與教學(xué)內(nèi)容繁多的矛盾?？偠灾ㄟ^對(duì)教學(xué)內(nèi)容的合理選擇以及教學(xué)方法的有效實(shí)施，可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，進(jìn)而提高教師的教學(xué)效果，保證課程的教學(xué)質(zhì)量。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[責(zé)任編輯：劉鳳華]