“換元法”在初中數學解題中的應用

賈永亮

(江蘇省灌云縣魯河中學 222200)

“換元法”是現代初中數學解題教學當中，應用效果非常好的一種解題思路和方法，它主要是利用輔助元素的形式，來替換掉原有數學題目當中的一些元素，即通過初中學生自己設計新的變量的方式，替換掉原本分散的破碎條件，進而使其形成一個新的整體變量，并發掘出隱形條件，最終使得原本復雜的數學題目，變成了一道思路非常清晰、條件非常清楚的簡單題目形式.數學是一種高等學科教育，它是所有學科當中，對于學生邏輯思維能力和轉換思考能力要求最高的學科之一.因此，初中學生教師應當認識到換元法的教學效果，并且積極教學初中學生學習和掌握換元法，并最終能夠將換元法在實際的數學解題當中使用出來，真正意義上地提升初中學生的數學解題能力和水平.

一、把握初中數學“換元法”的概念特點

“換元法”作為現代初中數學解題教學當中，各種方法中的一種解題方法，從方法應用理念上來講，換元法實質上就是一種化歸與轉換的數學解題思想，它的關鍵應用手段就在于設立元素和轉換元素.在日常的數學解題當中，很多初中學生會遇到這樣的情況，原有問題的條件不足，或者原有問題的條件比較分散，如果直接對其進行已知條件的解析的話，很有可能會遇到解題困難，條件不足無法進行下去的情況.在這種情況下，“換元法”的效果便可以得以體現，初中學生可以根據換元法的解題理念，通過設計一個或者若干個新的“新元素”的方式，去到原有題目當中去替換掉“舊元素”，使得整個題目可以在原有的基礎上加強聯系，更好地理清思路進行解題求解.對于初中學生而言，“換元法”并沒有那么的神秘，晦澀難懂，初中學生只需要抓住“換元法”的核心內容——“轉化”，便可以實現對困難問題的簡單化，或者將原有問題的不利條件轉化為有利條件，進而達到最快最好解答題目的目的.與此同時，近年來我國教育部推行的“新課標標準”和素質教育當中，都明確地提出了現代初中數學的教學應當注重學生解題技能和實際應用能力的教學，而不是簡單的理論知識灌輸，因此，初中數學教師應當深刻地認識到“換元法”在初中數學解題教學當中的重要性，并且積極教會初中學生學習和掌握“換元法”，從而有效地提升初中學生的數學解題能力，提升初中學生的創新思維能力.

二、落實初中數學“換元法”的解題應用

下面以初中數學解題教學當中的因式分解解題的教學為例.因式分解是初中數學解題當中，非常常見的一種解題形式，它在初中數學解題知識點組成當中，占據著非常大的比例，因此，它對于學生數學知識點的掌握和培養，有著不可替代的作用.本文以蘇教版初中二年級教科書當中的關于因式分解的例題教學為例，詳細地分析“換元法”在因式分解當中的應用策略.

例題1 將以下題目進行因式分解：

(1)(x2+ 2x+ 4 )(x2+ 2x+ 8 ) + 4；

(2)(x+y)(x+ 2xy+y)+ (xy+ 1 )(xy- 1 ).

對于剛剛學習因式分解的初中學生而言，上述例題1中的兩個問題在元素和解題步驟方面，是相對而言較為復雜的，想要一下子直接解析出來不是非常的容易，尤其是第二題，涉及兩個未知元素，解題起來，是比較困難的.而通過應用“換元法”的解題方式，初中學生可以將題目當中的復雜元素進行簡單元素代替，比如說，第二題當中，原本x、y、元素就已經有兩個了，后面又多了xy的組成因素，解題非常困難，而這時，初中學生可以通過預設x+y=m，xy=n的方式，對其進行化繁為簡，從而使得原本多項的多項式轉化為簡單的二元式，內部結構極大程度上地簡化了，更加方便初中學生進行因式分解.

(1)解設x2+2x+4=y，那么通過計算可以得到x2+2x+8=x2+2x+4+4=y+4，這樣，原式便可以轉化為y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2.再將原本預設的x2+2x+4=y代入到(y+2)2當中，便可以得出(x2+2x+4)(x2+2x+8)+4=(x2+2x+6)2.

(2)解設x+y=m，xy=n，那么通過換元法代入，原式這可以變為：

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=m(m+2n)+(n+1)(n-1)=m2+2mn+n2-1=(m+n)2-1.再將原本預設的x+y=m，xy=n代入到(m+n)2-1當中，便可以得出：(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1).

綜上所述，“換元法”是現代初中數學解題教學當中，應用效果非常好的一種解題思路和方法，它對于初中學生的數學解題思維培養，數學解題能力的提高以及邏輯思維能力的強化等，都具有著不可替代的影響.因此，初中數學教師應當積極在初中數學解題的教學當中教學“換元法”，教會初中學生學習和掌握換元法，從而真正意義上地提升初中學生的數學解題能力和水平.

[1]嚴昌東. 例談解題中換元法的應用[J]. 數理化解題研究， 2015(15).

[2]黃慧. 淺談換元法及其應用發展思維能力[J]. 數理化解題研究, 2015(16).

[3]鄭燕.整體思想與換元法[J]. 新課程(中學), 2015(11).