高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接問題的探究
——以對數(shù)函數(shù)為例

北京工業(yè)大學(xué)實驗學(xué)院(101101)

甘 艷●

高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接問題的探究
——以對數(shù)函數(shù)為例

北京工業(yè)大學(xué)實驗學(xué)院(101101)

甘 艷●

自19世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)方式日趨形式化.定義、定理、證明、推論等均以簡潔而抽象的方式陳述.《高等數(shù)學(xué)》呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)過程，是一種嚴(yán)密的學(xué)術(shù)形態(tài)，呈現(xiàn)出來的是冰冷的美麗.大學(xué)新生在知識準(zhǔn)備、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)心理、自學(xué)能力等方面容易出現(xiàn)問題.本文將以對數(shù)函數(shù)為例，以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論和認知結(jié)構(gòu)說為指導(dǎo)依據(jù)，探究關(guān)于對數(shù)函數(shù)的定義、運算性質(zhì)、求導(dǎo)等方面的銜接問題，建立高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使學(xué)生盡快順利地適應(yīng)從中學(xué)到大學(xué)的學(xué)習(xí).

初等數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)；銜接

2002年至今，北京市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷了多次改革.部分內(nèi)容進行了刪減，如對數(shù)公式、三角函數(shù)公式、反三角函數(shù)、極坐標(biāo)等；增加了部分內(nèi)容，如極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等內(nèi)容.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式和教學(xué)方法的改革必將直接影響高等數(shù)學(xué)的教學(xué).在近五年的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生高中已學(xué)內(nèi)容仍然存在過渡的困難.為了解決這部分的問題，筆者將以對數(shù)函數(shù)為例，探究高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接存在的問題，并提出解決方案.

一、建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的基本思想是，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動建構(gòu)內(nèi)部心理結(jié)構(gòu)的過程.美國心理學(xué)家維特羅克提出了學(xué)生學(xué)習(xí)的生成過程模式，他認為學(xué)習(xí)的生成過程是學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(即原有認知結(jié)構(gòu))與從環(huán)境中主動選擇和注意的信息相互作用、主動建構(gòu)信息的意義的過程.這一模式說明，學(xué)習(xí)總是要涉及學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，并利用這些經(jīng)驗來理解和建構(gòu)新的知識.

二、學(xué)習(xí)遷移的理論——奧蘇伯爾的認知結(jié)構(gòu)說

奧蘇伯爾提出一切有意義的學(xué)習(xí)都是在原有學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，而過去經(jīng)驗對當(dāng)前學(xué)習(xí)的影響不是直接發(fā)生的，而是通過認知結(jié)構(gòu)的特征發(fā)生影響的，這些特征是指學(xué)生在一定知識領(lǐng)域內(nèi)的認知的組織特性，如清晰性、穩(wěn)定性、概括性和包容性等.如果學(xué)生在某一領(lǐng)域的認知結(jié)構(gòu)清晰度、穩(wěn)定性、概括性和包容性高，遷移發(fā)生的可能性就大.

上面兩種關(guān)于學(xué)習(xí)的理論都提到了學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)，提出了影響新舊知識建構(gòu)和遷移的諸多因素，教師在教學(xué)過程中要注意學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)，學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的認知的清晰性、穩(wěn)定性、概括性和包容性.

三、學(xué)生目前的學(xué)習(xí)狀況

部分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生可以輕松地跨過“抽象”的門檻，嚴(yán)密地按形式化的敘述把握數(shù)學(xué)知識.但是，多數(shù)學(xué)生不能很自然地接受數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)思想和方法看成“天書”，無法和自己的思維掛鉤.下面將以對數(shù)函數(shù)為例，將新舊知識進行羅列，給出教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的建議.

四、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的對數(shù)問題

學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)：

(1)對數(shù)的定義；

(2)對數(shù)的運算性質(zhì)；

(3)對數(shù)的換底公式；

(4)第二個重要極限公式.

學(xué)生要學(xué)習(xí)的新知識：

(1)極限的計算；

(2)等價無窮小.

教學(xué)建議：

(1)知識準(zhǔn)備:教師提前復(fù)習(xí)對數(shù)的定義、運算性質(zhì)、換底公式；

(2)方法要總結(jié)：前面的計算部分是圍繞指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的轉(zhuǎn)換及第二個重要極限的應(yīng)用，所以這里是先變換再計算極限(這種方法經(jīng)常用在不能直接求函數(shù)的極限問題上，有普遍性)；

(3)學(xué)生要主動在已有的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上與從題目的已知部分選擇對數(shù)部分的變換和極限計算的過程，這是能否解出該題的關(guān)鍵.

二、求y=logax的導(dǎo)數(shù).

分析 可以用導(dǎo)數(shù)定義，也可以用反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.這里，筆者建議兩種方法都用，進行比較.

方法二 按反函數(shù)的求導(dǎo)方法，

設(shè)x=ay(a>0,a≠1)為直接函數(shù)，則y=logax是它的反函數(shù)，已知函數(shù)x=ay(a>0,a≠1)在區(qū)間Iy=(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且(ay)′=aylna≠0.

解x=ay(a>0,a≠1)在區(qū)間?Iy=(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，

學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)：(1)對數(shù)的定義；(2)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；(3)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；(4)第二個重要極限公式.

學(xué)生要學(xué)習(xí)的新知識：對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

三、求y=xsinx(x>0)的導(dǎo)數(shù)

分析 這個函數(shù)是冪指函數(shù)，為了分離底數(shù)和指數(shù)，我們最先考慮的是對數(shù)公式，這里有兩個方法：

方法一 y=xsinx(x>0)，兩邊同時取對數(shù)，

學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)：(1)對數(shù)的定義；(2)導(dǎo)數(shù)的乘法法則；(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.學(xué)生要學(xué)習(xí)的新知識：對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

教學(xué)建議：(1)引導(dǎo)學(xué)生思考分離底數(shù)和指數(shù)的方法，寫出對數(shù)公式；(2)教師要指出這里lny是y的函數(shù)，而y是x的函數(shù).所以，對于lny的求導(dǎo)，應(yīng)該用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；(3)冪指函數(shù)形式的計算問題可以考慮用取對數(shù)的方法.

教學(xué)是一個復(fù)合詞，包括教和學(xué)兩個方面，是由教師的教和學(xué)生的學(xué)所組成的雙邊活動過程.教學(xué)是一個非常復(fù)雜的過程，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考、學(xué)會提問，學(xué)會總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)活動中來.通過高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，教師要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力.

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

師的指導(dǎo)下，重復(fù)專業(yè)研究人員的科學(xué)探究過程.這個活動又叫做獲得間接經(jīng)驗，但這間接經(jīng)驗的獲得，卻因為大腦鏡像神經(jīng)元的“模仿”，形同“親歷”.

二、“直觀”教學(xué)情景創(chuàng)設(shè)的原則：直觀

依據(jù)“鏡像神經(jīng)元”的功能及相關(guān)教育教學(xué)理論，在化學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)“直觀”情境，重視學(xué)生的視覺的思維能力，把知識教學(xué)中遇到的重點、難點、疑點，盡可能轉(zhuǎn)化為符號、圖形、圖表等直觀方來呈現(xiàn)，再合適不過.本文所指“直觀”教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)是基于“鏡像神經(jīng)元理論”啟示下的“直觀”教學(xué)情境創(chuàng)設(shè).(以下簡稱“直觀”教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)).

筆者認為在進行相關(guān)教學(xué)設(shè)計和實際教學(xué)應(yīng)用中，“直觀”是最重要的關(guān)鍵詞.因此直觀性原則應(yīng)該是“直觀”教學(xué)情景創(chuàng)設(shè)的總原則.直觀原則包括兩個方面，一是教師方面，教學(xué)過程的直觀、可視化，教學(xué)語言的直接，教學(xué)測試的可視化.二是學(xué)生方面，學(xué)習(xí)過程注意其“眼睛”的學(xué)習(xí)能力的發(fā)揮和發(fā)展，協(xié)調(diào)視覺對其感性與理性的共同影響.

三、“直觀”情景創(chuàng)設(shè)應(yīng)用之“物質(zhì)的量”教學(xué)設(shè)計

“物質(zhì)的量”是高中化學(xué)的核心概念之一，也是具有功能價值的工具性的概念.

1.教學(xué)策略選擇

教學(xué)策略分為三點，即：創(chuàng)設(shè)“直觀”教學(xué)情境凸顯學(xué)習(xí)意義(為何學(xué))→運用一定思維方法(如何學(xué))→運用新知識解決問題(如何用)

(1)為何學(xué)：創(chuàng)設(shè)用微觀粒子數(shù)描述宏觀物質(zhì)很困難的情境；

(2)如何學(xué)：利用聯(lián)想、類比、歸納的方法學(xué)習(xí)物質(zhì)的量、阿伏加德羅常數(shù)和摩爾質(zhì)量.

(3)如何用：在如何用中，利用所學(xué)新知識思考他們之間的關(guān)系.

2.教學(xué)流程

環(huán)節(jié)一：為何學(xué)

舉一個例子：1滴水，10億人來數(shù)其中的水分子，每人每分鐘數(shù)100個，日夜不停，需要3萬多年才能數(shù)完.來說明如果我們用微觀的粒子數(shù)來描述宏觀物質(zhì)很不方便.那我們怎么辦呢？

教師提出在生活中我們也遇到過類似的問題，但是問題都不攻自破，比如，這么多啤酒，你一下子想到的一定是一箱啤酒，類似，一打鉛筆、一雙鞋子等，他們都是把微小物質(zhì)擴大倍數(shù)形成一定數(shù)目的集體，以方便研究.物質(zhì)是由大量的分子、原子或離子構(gòu)成的.類比到微觀世界，我們也可以用這種打包的思想，把粒子打包成一堆兒，用多少堆兒來描述宏觀物質(zhì).這樣就順理成章的提出物質(zhì)的量的概念.

環(huán)節(jié)二：如何學(xué)

利用聯(lián)想、類比、歸納的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)物質(zhì)的量、阿伏加德羅常數(shù)和摩爾質(zhì)量這三個概念.

任務(wù)一：提出物質(zhì)的量的定義

物質(zhì)的量表示的是一定數(shù)目粒子的集合體，物質(zhì)的量的定義過于抽象，當(dāng)定義不容易理解的時候，這種外延性的解釋就顯得尤為重要.

任務(wù)二：提出物質(zhì)的量的單位——摩爾

物質(zhì)的量是七大國際物理量之一.(簡單介紹摩爾其人.)

任務(wù)三：解釋阿伏加德羅常數(shù)

教師提出：箱是24個，打是12個，那么1 mol有多少個呢？國際規(guī)定：1mol任何粒子所含的粒子數(shù)與0.012 kg12C中所含的碳原子數(shù)相同，約為6.02×1023.把1mol任何粒子的粒子數(shù)叫做阿伏加德羅常數(shù)，符號為NA.

任務(wù)四：提出摩爾質(zhì)量的概念

教師引導(dǎo)：0.012 kg12C跟初中學(xué)習(xí)的相對原子質(zhì)量的概念很類似，引出相對原子質(zhì)量的回顧.

教師再次提出為什么國際規(guī)定一摩爾任何粒子的粒子數(shù)約為6.02×1023呢？既然是人為規(guī)定，為什么會規(guī)定這么一個不容易記的常數(shù)，而不規(guī)定一個容易記的常數(shù)呢？

給出一個表格，進行1mol物質(zhì)的計算，發(fā)現(xiàn)，只有這么規(guī)定，1mol粒子的質(zhì)量在數(shù)值上恰好等于其相對原子質(zhì)量或者相對分子質(zhì)量.而規(guī)定別的容易的任何數(shù)字為1mol粒子的數(shù)量時，成百上千的宏觀物質(zhì)的摩爾質(zhì)量很不好記.表格最下面是一摩爾物質(zhì)的質(zhì)量，也是用微觀描述宏觀的另一個角度，從而引出摩爾質(zhì)量的學(xué)習(xí).

摩爾質(zhì)量：單位物質(zhì)的量的物質(zhì)所具有的的質(zhì)量叫做摩爾質(zhì)量，用M來表示.1mol任何粒子的質(zhì)量以克為單位時，其數(shù)值與該粒子的相對原子質(zhì)量或者相對分子質(zhì)量相等.教師再次說明這并非一種巧合，在規(guī)定NA的時候就注定有這樣的結(jié)果.

環(huán)節(jié)三，如何用

我們利用m(物質(zhì))=粒子數(shù)×每一個粒子的質(zhì)量來計算，粒子數(shù)太大，每一個粒子的質(zhì)量太小，不利于計算.通過一個表格呈現(xiàn)，剛剛學(xué)習(xí)了的粒子數(shù)和物質(zhì)的量之間的關(guān)系，可以把粒子數(shù)轉(zhuǎn)化成物質(zhì)的量，然后為了讓等式兩邊相等，還必須得把每一個粒子的質(zhì)量乘以NA，這樣總結(jié)出物質(zhì)的量和宏觀質(zhì)量的關(guān)系.

3.教學(xué)設(shè)計分析

本節(jié)課注重學(xué)生思維能力的方法，面對特別抽象的概念的時候，運用直觀的教學(xué)形式呈現(xiàn)，減輕學(xué)生思維壓力，同時，“看透”概念本質(zhì).也體現(xiàn)了“直觀”教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的“直觀”性原則.主要解決物質(zhì)的量，阿伏加德羅常數(shù)，摩爾質(zhì)量三個抽象概念的抽象關(guān)系.并在宏觀的物質(zhì)和微觀的粒子之間建立起化學(xué)計量的橋梁.

課堂教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)特定的“直觀”情境，首先吸引住學(xué)生的注意力，再根據(jù)情境的意義，引發(fā)學(xué)生的興趣.學(xué)生只要“看到”就會有思考，這是有效教學(xué)的前提.總的來說，“鏡像神經(jīng)元理論”告訴我們，人的視覺是有思考能力的，有著高級的智慧，所以一個合適的“直觀”情境會引發(fā)學(xué)生頓悟的思考，甚至可以讓學(xué)生一眼就看到知識的本質(zhì).

參考文獻

[1-4]陳建翔.“鏡像教育”:一個教育新主題的開始——論鏡像神經(jīng)元的教育內(nèi)涵及對教育變革與創(chuàng)新的啟發(fā)[J]. 教育科學(xué). 2011(05)

[5]Giacomo Rizzolatti&Laila Craighero.The Mirror NeuronSystem [J].Annual Review of Neuroscience，2004 (27) ．

[6]魯?shù)婪颉ぐ⒍骱Ｄ?視覺思維[M].光明日報出版社.1987.

?

G632

B

1008-0333(2017)09-0023-02