勾股數及其活動課教學研究

江蘇省揚州市竹西中學(225000)

宋 揚●

勾股數及其活動課教學研究

江蘇省揚州市竹西中學(225000)

宋 揚●

勾股定理是數學的一個很重要的定理，在人類的文明史中有著杰出的貢獻，由勾股定理引出的“勾股數”也因此嶄露頭角，繼而聲名遠揚．本文在文【1】的基礎上作了修改、補充和拓展，并運用到數學綜合與實踐的教學活動中，引發了同學們極大的興趣，取得了令人滿意的教學效果．現將活動課的內容和教學要點展示如下，主要是闡明了勾股數的三種計算公式的由來、產生過程及其內在聯系，用幾種不同的方法探尋勾股數的規律，并形成各種各樣的勾股數表達式．同時，明確回答了文【1】和文【2】中相關內容提出的疑難問題，而且有所增強，從理論上和活動課教學實踐上都作了較為充分的研究．

數學活動課；勾股數；勾股數計算公式；勾股數表達式；勾股數的性質；活動創新

一、課題：探尋勾股數的規律

二、事前準備：

1．自備計算器一臺．

2．熟悉勾股數的基本概念．

3．了解并初步掌握古代數學家給出的勾股數計算公式．

三、活動內容和實施過程

1．從任一大于1的奇數出發，尋求一組勾股數中的另兩個數

設a為大于1的奇數，(a，b，c)為一組勾股數，填表：

表1

(1)在表1中，b和c之間的數量關系是____；b、c與a2之間的關系式是____．根據以上規律，寫出勾股數(19，____，____)；(75，____，____)．

(2)一般地，從a=2n+1(n∈Z+)出發，請你推導出計算勾股數的一組公式．

2．從任一大于2的偶數出發，尋求一組勾股數中的另兩個數

設a為大于2的偶數，(a，b，c)為一組勾股數，填表：

(1)在表2中，b和c之間的數量關系是____；b、c與a2之間的關系式是____．根據以上規律，寫出勾股數(18，____，____)；(40，____，____)．

(2)一般地，從a=2n(n∈Z+，n>1) 出發，請你推導出計算勾股數的一組公式．

3．嘗試從乘法公式入手探索構造勾股數的方法

構造勾股數，就是要尋找三個正整數，使它們滿足( )2+( )2=( )2的形式．

(1)聯想到乘法公式，顯然有(x-y)2+4xy=(x+y)2，從這個恒等式出發，請你推導出計算勾股數的一組公式．

提示：為了使等式左邊的4xy也能寫成( )2的形式，可令x=m2,y=n2(m,n∈Z+，且m>n)．

(2)根據上述探索得到的勾股數表達式，構建下列表格，并填寫勾股數，你一定能有所發現．

表3

mnm2-n22mnm2+n2213141516171

(3)觀察勾股數：3，4，5；…；16，63，65；20，99，101；…(*)這里的每組勾股數中都有兩個數是連續的奇數，你能借助3.(1)中推導出的勾股數計算公式，探索并構造這樣的勾股數嗎？請試一試．

提示：可先構建下列表格并填寫，然后推導出與(*)相應的勾股數表達式(計算公式)．

表5

表6

四、活動創新素材

1．探討勾股數的三種計算公式之間的內在聯系

(1)畢達哥拉斯給出的計算公式：

(2)古希臘哲學家柏拉圖給出的計算公式：

n2-1，2n，n2+1.(n∈Z+，n>1)②

(3)古希臘數學家丟番圖給出的計算公式：

m2-n2，2mn，m2+n2.(m,n∈Z+，m>n)③

2．一位數學家在他找到的勾股數表達式中，用2n2+2n+1(n∈Z+)表示勾股數中最大的一個數，請你找出另兩個數的表達式．

3．如果用2n2+2n+1(n∈Z+)表示勾股數(表達式)中最小的一個數，你能找出另外兩個數的表達式嗎？

4．觀察勾股數6，8，10；10，24，26；…；22，120，122；26，168，170；… 這里的每組勾股數中都有兩個數是連續的偶數，你能借助1．③探索并求出相應的勾股數表達式嗎？

5．設 2n(n∈Z+，n≥2)是勾股數組中的一個數，但不是最大的一個，試尋求勾股數組中的另兩個數．

(1)當n=2，3，4，5，6時，請分別求出含有2n的所有勾股數組；

(2)當n=k時，含有2k的全部勾股數組有什么規律？

6．如圖1，已知四邊形ABCD是長方形，AC為對角線．

圖1 圖2

如圖2，ABCD-A1B1C1D1是長方體．圖1中的線段AB、BC、AC分別對應圖2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1．設這三個面的面積分別為α、β、γ，試問α、β、γ是否滿足勾股定理？為什么？α、β、γ是不是一組勾股數？又為什么？

7．是否存在這樣的3個非零的整數a、b、c，使得a3+b3=c3成立？你能進行一番探索嗎？試一試．

五、部分答案或析解

活動1．(1)c=b+1；b+c=a2；180，181；2812，2813．

(2)解法一：a=2n+1，根據(1)中的兩個關系式，有2b+1=a2=(2n+1)2,得b=2n2+2n，c=2n2+2n+1．

解法二：由c=b+1和勾股數定義，有(2n+1)2+b2=(b+1)2，

得b=2n2+2n，c=2n2+2n+1．

(3)從填表結果可以看到，表5和表6實際上是完全相同的，這說明勾股數表達式

也可由直接進行理論推導而得到：設勾股數中兩個連續的奇數為2m-1和2m+1，則顯然有(2m+1)2-(2m-1)2=8m，令m=2n2，有(4n2+1)2-(4n2-1)2=(4n)2,故所求勾股數表達式(計算公式)為(4n2-1，4n，4n2+1)(n∈Z+)．

活動創新1．①是③當m=n+1時的特殊情形．用集合的觀點看，把每一組勾股數看作一個元素，則由①表示的集合是由③表示的集合的子集．類似地，②也是③的特殊情形，集合②也是集合③的子集．

即(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2．故所求為2n+1和2n2+2n．

(1)當n=2時，求得1組勾股數：(4，3，5)．

當n=3時，求得2組勾股數：(8，17，15)，(8，10，6)．

當n=4時，求得3組勾股數：(16，65，63)，(16，34，30)，(16，20，12)．

當n=5時，求得4組勾股數：(32，257，255)，(32，130，126)，(32，68，60)，(32，40，24)．

當n=6時，求得5組勾股數：(64，1025，1023)，(64，1014，1010)，(64，260，252)，(64，136，120)，(64，80，48)．

(2)當n=k時，可求得k-1組含有2k的勾股數．能否寫出一般的勾股數表達式？留作練習．

當2n為勾股數組中最大的一個數時，能否求出另外兩個數？也留作練習．

6．α、β、γ滿足勾股定理．證：設AB=a，BC=b，AC=c，BB1=h，則可推得α2+β2=γ2．但α，β，γ不一定是勾股數，因為α，β，γ未必都是整數．

7．先了解一下著名的費馬最后定理：“對于任何自然數n(n>2)，方程xn+yn=zn關于x，y，z無正整數解”．根據費馬最后定理，方程x3+y3=z3沒有正整數解．以下分三種情形討論：

(ⅰ)當a、b都為正整數時，由關系式a3+b3=c3知，c也為正整數，這與費馬最后定理相矛盾．

(ⅱ)當a、b都為負整數時，由關系式知，c必為負整數．設a=-u，b=-v，c=-w，則有 (-u)3+(-v)3=(-w)3，從而有u3+v3=w3(其中u、v、w都是正整數)，這也與費馬最后定理相矛盾．

(ⅲ)當a、b中有一個為負整數時，不妨設a為正整數，b為負整數，設b=-v，則有a3+(-v)3=c3，若a>v，則c>0，從而有c3+v3=a3(其中c、v、a都是正整數)，這仍然與費馬最后定理相矛盾；若a

綜上所述，不存在這樣的非零整數a、b、c，使得a3+b3=c3成立．

六、勾股數的基本概念

1．勾股數的定義

定義1．直角三角形三條邊的長a、b、c如果都是整數，則稱a，b，c為一組勾股數．

定義2．滿足關系式a2+b2=c2的3個正整數a，b，c稱為一組勾股數，記為(a，b，c)．例如(3，4，5)就是一組最簡單的勾股數．

定義3．方程x2+y2=z2的任一正整數解(a，b，c)，稱為一組勾股數．

顯然，上述三個定義是等價的．

2．勾股數的性質

(1)勾股數中的三個數不可能全是奇數．

(2)勾股數中的三個數只有下列兩種類型：要么三個全是偶數，要么只有一個偶數．

思路點睛：根據定義2，等式兩邊必須同為奇數或同為偶數，即可證得．

(3)滿足關系式a2-b2=c2的3個正整數a，b，c，是一組勾股數．

(4)若(a，b，c)是勾股數，則(ka，kb，kc)(k∈Z+)也是勾股數．

(5)勾股數有無數組．

(6)對大于2的任何一個整數，都可以找到至少一組勾股數．

(7)如果一組勾股數中兩個較大的數相差1，那么這兩個數的和就是第三個數的平方．

(8)如果兩個較大的數相差2，那么這兩個數中間所夾的整數是第三個數的一半的平方．

(9)任一勾股數表達式都不能覆蓋所有的勾股數．例如，勾股數表達式

(m2-n2，2mn，m2+n2)(m,n∈Z+且m>n)盡管可表示無數組勾股數，但不能表示所有的勾股數，比如，勾股數(9，12，15)就不能由該表達式算出．

七、本次活動課教學要領

1．認真籌劃好活動課事前準備工作．可提前3～5天印發活動課預習單，明確預習要求，讓全班每個同學都有所準備．

2．預習單上的主要內容有(1)勾股數的概念：定義和幾個有趣的性質；(2)古代數學家給出的計算勾股數的三個公式，要求學生根據勾股數定義分別加以驗證；(3)活動1和活動2的內容，包括觀察表中數字的規律、填表、填空等．這樣，可為活動課大容量教學贏得許多時間．

3．充分發揮數學興趣小組的助手、先行和引領作用．興趣小組成員可適當分工，每2～3人領一個專題(比如，對勾股數某個性質的論證)或一項活動內容，各自做好重點準備，以確保活動課順暢進行．

4．利用板報、墻報或數學之窗(數學角)，分階段公布活動課相關內容，緊密配合活動課的開展．

5．教學方式主要是引導、探究式．采用頂層設計、分項實施，逐步引導、共同探究，舉一反三、層層遞進，最終到達目標．老師指點少而精，及時、準確到位，并運用好多媒體教學手段，及時展現當前所要解決的問題、解決的過程和結果．讓同學們自主探究、分組討論的時間既緊湊又充分．

6．對具體的勾股數，讓同學們適時使用計算器進行演算，幫助探尋規律，以節省時間．

7．與本次活動課鏈接的課本基礎知識有：勾股定理、代數式、乘法公式、恒等變形、方程(組)、不定方程及正整數解、集合、簡單的推理論證等．

8．活動創新素材的收集、整理待課后完成．可發動全班同學每人收集1～2項，經匯總、整理、去重、甄別、修訂后，印發補充講義，實現成果共享，擴大教學效應．

實踐又一次表明，數學活動課的教學豐富多彩、成效顯著，探究性學習越來越展現出強大的生命力．數學新課標已經為我們照亮了勝利前進的航程，乘風破浪、勇敢向前，就一定能夠到達理想的境界．

[1]《數學綜合與實踐活動》編寫組. 勾股數的探索，數學綜合與實踐活動(八年級上冊).南京：江蘇科學技術出版社，2010．

[2]楊裕前，董林偉．勾股定理，數學教師教學用書(八年級上冊)．南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016．

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