巧解有理數運算

江西省贛州市安遠縣鶴子初級中學(342100)

魏煌勝●

巧解有理數運算

江西省贛州市安遠縣鶴子初級中學(342100)

魏煌勝●

本文根據筆者根據多年的教學經驗，對初中數學有理數相關的幾種常見解題技巧進行了歸納.

有理數運算；解題技巧；觀察

一、 “化零為整”法

例1 計算：99+999+9999+102+1002+10002.

分析：通過觀察可以發現，上式中的每個數都與其相鄰的整數很接近，如99與100相差1,…, 9999與10000相差1；而102比100多2，…，10002比10000多2.因此可以湊成整百、整千、整萬……的方式來快速求解.

解 原式=(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100+2)+(1000+2)+(10000+2)=(100+1000+10000+100+1000+10000)+(2+2+2-1-1-1)=22200+3=22203.

“化零為整”法是將一個算式中能夠近似為整數的部分湊整后，進行計算.目的是簡化計算步驟，利用口算來解決復雜有理數的運算.其難點是在“化零為整”的過程中，用來湊整的簡單整數的個數和加減關系注意不要混淆.

二、“化整為零”法

分析：上式是一個整數與分數相乘的過程，一般我們先考慮約分，但觀察發現，原式無法約分.我們通過將整數部分根據分數的分母“化整為零”，將99轉化為(98+1)，97轉化為(98-1)，轉變為可約分的數來進行計算.

“化整為零”法一般應對整數與分數相乘的習題，將整數部分“化整為零”，拆解為與分數部分可以約分的倆部分來計算.難點是計算過程中要注意分析整數和分數的關系，“化整為零”要恰如其分.

三、結合法

例3 計算：1-2+4-6+8-10+12-…-98+100.

分析 對于上式這類習題，直接計算肯定非常復雜，考察的目的就在于對簡便算法的掌握.通過觀察發現，從1到100，依次加減的過程，可轉化為1+(-2)+4+(-6)+8…，那么從第二個數開始，相鄰倆個數的和為-2，可將和為-2的組進行歸納，快速計算出結果.

解 原式=1+(-2+4)+(-6+8)+…+(-98+100)=1+(-2)× 25=-49.

結合法所涉及的題目一般如例3所示，題目較長，這就暗示著題目有一定的規律性.其實結合法就是將題目中有規律部分總結歸納的過程.其難點在于規律的發掘和重疊個數的計算.

四、公式法

例4 計算：

分析 當我們遇到較為復雜的有理數的混合運算時，應首先想到對公式的運用.有理數的混合運算，我們首先應找到公因子，如本題提出公因子0.3和1.2；其次轉變運算符號，將÷轉變為×；最后運用分配律進行計算.

公式法解決有理數的混合運算，除了考察對題目的轉化能力外，還需掌握分配律、結合律、除法的性質這類基本的運算法則.此類題難點在于針對所運用公式，進行試題的轉化過程.

五、替換法

分析 觀察發現，上式的后一項是前一項的三分之一，單純的通分計算繁瑣且易錯，則考慮用替換的方式來解題.

這類題目的規律很明顯，題目的各個部分存在是重復或比例關系，用替換法解決這類題目，大大減少運算的步驟和出錯的可能.此類題的難點在于識別題目的內在規律并成功替換轉化.

六、添項法

例6 計算(1+2)(1+22)(1+24)(1+28).

分析：因為題目涉及平方，通過觀察，我們發現題目與平方差公式相似，但缺少項目.所以我們可以進行添項，因為1=2-1，恰能和(2+1)進行組合.

解 因為1=2-1，所以，原式=(2-1)(2+1)(1+22)(1+24)(1+28)=(22-1)(22+1)(1+24)(1+28)=(24-1)(24+1)(1+28)=(28-1)(28+1)=216-1.

添項法的目的在于可以使復雜題目轉化成有規律可循的題型，這樣有利于快速準確的計算.掌握這個方法的難點在于發掘題目可能遵循的內在規律，設計簡便合理的添項.

總之，有理數的運算雖然變化方式多，但百變不離其中.針對每種方法的難點，最有效的解決方式就是通過習題來強化方法的運用.今后若教師能在教學中歸納和引入恰當的解題技巧，學生在學習可以自主的分析題目規律、懂得活學活用.那么師生定能夠在有理數運算中各有所獲.我們也希望今后的教研和學習中，老師和學生相輔相成，設計更加靈活多變的方法，共克難題.

[1]易思源.有理數計算的常用方法[J]. 初中數學教與學，2011(06)

[2]丁式清.有理數的運算技巧歸納[J]. 數學學習與研究，2014(12)

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1008-0333(2017)08-0036-01