運用轉化拓展開創新思維

江蘇省揚州市邗江區方巷鎮中心中學(225118)

楊 群●

運用轉化拓展開創新思維

江蘇省揚州市邗江區方巷鎮中心中學(225118)

楊 群●

二十世紀最偉大的數學教育家波利亞曾經說過，解數學題，轉化是關鍵.就是把那些陌生的、較為困難或復雜抽象的數學問題，通過某種方式轉化為某些熟悉的、已經解決的或容易解決的數學問題.

轉化是解題的靈魂，解題的全過程實質上就是一個不斷轉化的過程.由于思維角度，方法技巧的不同，轉化種類，形式多種多樣，當直接以題設條件到結論的推理，演繹復雜，繁瑣或無法進行時，可對命題的條件或結論的表達式進行等價轉化，或轉化為結論的反面.或將原命題轉化為與之等價的逆否命題，另辟蹊徑，換個角度重新認識，接近本質，使命題趨于簡潔、明朗，起到以簡馭繁作用.

一、轉化策略

解題即意味著把原問題逐步轉化為可解的目標問題的過程.學習中從數與式、數與形、特殊與一般等的轉化中培養自己把復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化，抽象問題具體化，非常規問題常規化的能力.

分析 結論沒有用數學式子表示，很難直接證明.首先將結論用數學式子表示，轉化成我們熟悉的形式.a,b,c中至少有一個等于1，也就是說a-1,b-1,c-1中至少有一個等于零，這樣，問題就容易解決了.

于是(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+ac+bc)-1+(a+b+c)=0.

∴a-1,b-1,c-1中至少有一個等于0，即a,b,c中至少有一個等于1.

評注 不少同學會只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個等于1，其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數學式子，把陌生問題變為熟悉問題.因此，多練習這種“翻譯”是提高轉化能力的一種有效手段.

二、條件的轉化

例2a、b為實數，滿足a2+b2+ab=1,ab-a2-b2=t,試求t的取值范圍.

三、動態與靜態的轉化

動點與定點、動直線與定直線等等，都有動態和靜態的特征，從靜態中探求結論，為動態情形提供證明或計算的目標，促使矛盾轉化，可以簡化解題過程.

例3 一游泳者沿河逆游而上，于A處將攜帶的物品(可漂浮)遺失，在繼續前游30分鐘后發現物品遺失，即記得返回順游，距A處3千米的B處追到物品，問此河水流速多少？

不妨先假設人在靜水里游泳，30分鐘后發現物品遺失，即刻返回追取，物品應在A處，而人回游也需30分鐘，現回共用了1小時.

再考慮運動狀態，由于物品是漂浮的，它順水而下，移動了3 km，這段距離是在人來回共用去1小時內完成的，故河水的流速為3km/小時.答：略.

四、一般與特殊的轉化

1.特殊化.由于特殊問題常常比較簡單，并且特殊問題的解法孕育著一般問題的解決.因此，特殊化是一種常用的解題思想方法.

2.一般化.也許有人會感到：特殊問題比一般問題容易解決.但事實卻并非盡然，有時一般問題的解決反會比特殊問題的解決來得簡單、明快、奇妙，這是因為帶有普遍規律的一般問題揭示了問題的本質屬性，而在帶有個別特性的特殊問題中，這種本質屬性常常被個別特征所掩蓋，使人不易發覺，而未能開發利用.

五、善于發掘，化隱為顯

例4 計算3(22+1)(24+1)…(264+1)+1.

分析 此題看起來難于動筆，但只要仔細觀察結構，很快發掘出隱含條件：3=22-1再逐次運用平方差公式即可.

點評 本例通過仔細觀察，挖掘出隱含條件，巧妙運用了平方差公式，培養了學生的創新能力.

六、觀察探索，化末知為已知

例5 設a、b為不相等的實數，且a2+2a-5=0,b2+2b-5=0,求a2b+ab2的值.

分析 若用常規方法，需先解一元二次方程分別求a、b的值，再代入求代數式的值.但由已知a2+2a-5=0和b2+2b-5=0的結論特征，可發現a、b是方程x2+2x-5=0的兩個不相等的實數根，從而轉化成一元二次方程根與系數的關系，很容易求得a2b+ab2的值.

點評 本題的關鍵是將a,b轉化成x2+2x-5=0的兩個實數根，將末知的問題向已知轉化，達到能用熟悉的知識和方法解決末知問題的目的.

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1008-0333(2017)08-0054-01