利用數(shù)學模型巧解初中物理電學中的極值問題

西北師范大學第二附屬中學(730070)

范勝邦●

利用數(shù)學模型巧解初中物理電學中的極值問題

西北師范大學第二附屬中學(730070)

范勝邦●

針對初中學生在求解物理電學中的極值問題時出現(xiàn)的“一聽就懂，一做就錯”現(xiàn)象，本文以相對較難的初中電學極值問題為例，提出了一種利用數(shù)學模型的方法巧解初中物理電學中的極值問題，讓學生體會如何通過物理公式建立數(shù)學模型，達到應用數(shù)學方法解決物理問題的目的.

數(shù)學模型；物理電學；極值；應用

本文提出了一種利用數(shù)學模型的方法巧解初中物理電學中的極值問題，以相對較難的初中電學極值問題為例，通過教學一方面讓學生深入理解數(shù)學在實際中的應用，培養(yǎng)學生較高的數(shù)學應用能力，同時也讓學生體會如何通過物理公式建立數(shù)學模型，用數(shù)學方法解決用物理方法無法解決的物理問題，認識到數(shù)學方法在解決物理問題中的重要性.

初中電學求極值問題例析

1.利用基本不等式或二次函數(shù)求電功率的極值

例1 如圖1所示，一標有“50Ω1A”字樣的滑動變阻器R1與一個20Ω的定值電阻R2串聯(lián)，接在一個電壓為12V的穩(wěn)壓電源上，求滑動變阻器接入電路的阻值為多大時它消耗的功率最大？最大功率是多少？

解析 在電源電壓和定值電阻R2不變的情況下，隨著R1電阻的增大，通過它的電流減小，但它兩端的電壓會增大，根據(jù)P=UI，學生很難確定什么時候它的功率最大，更無法求出它的最大功率.此時，數(shù)學方法就凸顯優(yōu)勢.根據(jù)自變量設定的不同，可用兩種數(shù)學模型求解這道題.

解法一 基本不等式(a-b)2≥0的拓展應用設滑動變阻器接入電路的電阻為Rx，則電路中的電流為I=U/

解法二 二次函數(shù)的極值

設電路中的電流為I，則R2兩端的電壓為U2=IR2，根據(jù)串聯(lián)電路的電壓關系，R1兩端的電壓為U=U-U2=U-IR2.則R1消耗的電功率為P1=U1I=(U-IR2)I=I2R2+UI.因為-R2<0，所以當I=-U/2(-R2)=U/(2R2)=12V/(220Ω)=0.3A時，P1最大.P1m=R2I2+UI=-20Ω×(0.3A)2+12V×0.3A=1.8W.

此時，滑動變阻器的電阻為R1=U/I-R2=12V/0.3A-20Ω=20Ω .

點撥 在滑動變阻器跟一個定值電阻串聯(lián)的電路中，當滑動變阻器的電阻跟定值電阻的阻值相等時，滑動變阻器消耗的電功率最大.同時，比較這兩種方法，基本不等式法在八年級就有所涉及，學生能夠理解，但過程比較復雜.而二次函數(shù)在九年級數(shù)學中才涉及到，對新課教學過程的學生來講難度較大，但過程相對簡單，在數(shù)學知識學完后能夠更好地理解.

2.利用函數(shù)定義域和值域求電流的極值

例2 如圖2所示，已知定值電阻R1=10Ω，R2=20Ω，電源電壓恒定.開關S1閉合、S2斷開時電流表的示數(shù)為0.3A，試判斷開關S1斷開、S2閉合時電流表的示數(shù).

解析 當開關S1斷開、S2閉合時R2和R0串聯(lián)，由于定值電阻R0未知，電源電壓未知，因此，電流表的示數(shù)是無法準確計算的.這對很多初中學生來講，分析到這個地方就進行不下去了，是一道難度較大的電學極值求解問題.實際上，在電源電壓不變的情況下，電流表的示數(shù)顯然與R2和R0的取值有關，R2是已知的；R0作為一個定值電阻，其取值范圍為0

當開關S1閉合、S2斷開時，電流表的示數(shù)為0.3A，則電源電壓為U=I1(R1+R0)=0.3A×(10Ω+R0).當開關S1斷開、S2閉合時，R2和R0串聯(lián)，電流表的示數(shù)為I2=U/(R2+R0)=0.3A×(10Ω+R0)/(20Ω+R0).其中0

點撥 從題型上來講，屬于電學中最常見的開關引起電路變化的題目，解題時應抓住電源電壓和定值電阻R0不變，把變化前后聯(lián)系起來，用已知量和不變量把待求量表示出來，就會建立起相應的數(shù)學函數(shù)模型求解極值問題.

3.利用一元二次方程有實數(shù)解的條件求電功率的極值

例3 如圖3所示，是小勇設計的某電器設備的部分電路.電源電壓9V保持不變，燈泡L標有“8V4W”字樣，電流表的量程為0～3A，電壓表的量程為0～15V，滑動變阻器R2的最大阻值為20Ω.閉合開關S和S1時，電路消耗的功率為4.05W，小燈泡L的電阻是16Ω，開關S、S1、S2都閉合時，通過電流表的最小電流是0.9A.(不計燈絲電阻隨溫度的變化)求：在不超過電表量程和燈泡額定電壓的條件下，只閉合開關S2時滑動變阻器R2的電功率變化范圍.

要使式(14)中的RX有實數(shù)解，需滿足條件：

解得：PX≤1.27W.

所以滑動變阻器R2的電功率變化范圍是：0.5W≤PX≤1.27W.

點撥 求解極值的解題方法不是唯一的，如果要求不高，也可以直接采用例1的方法，當滑動變阻器的電阻跟燈泡的電阻相等時，滑動變阻器的功率最大求解.

綜合以上幾道例題的解法，我們可以體會到建立數(shù)學模型，運用數(shù)學方法解決電學極值問題時邏輯嚴密，學生容易理解，比單純的利用物理方法分析有說服力.但這種方法對學生的數(shù)學能力要求較高，需要教師多次訓練和示范，學生才能逐漸體會并掌握，因此教師要善于捕捉這樣的機會，對學生進行數(shù)學能力的訓練，同時也讓這方面有特長的同學體驗成功的喜悅，激發(fā)學習和創(chuàng)新的興趣.

[1]2015年第11期 總第379期 教育論壇

[2]程敏. 初中生應具備的數(shù)學能力及評價方法[J]. 新校園(中旬), 2015, 11:31.

[3]葛付平. 初中電學中的極值問題[J]. 數(shù)理化解題研究(初中版), 2014, 09:43-44.

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