利用數(shù)學(xué)模型巧解初中物理電學(xué)中的極值問題

西北師范大學(xué)第二附屬中學(xué)(730070)

范勝邦●

利用數(shù)學(xué)模型巧解初中物理電學(xué)中的極值問題

西北師范大學(xué)第二附屬中學(xué)(730070)

范勝邦●

針對(duì)初中學(xué)生在求解物理電學(xué)中的極值問題時(shí)出現(xiàn)的“一聽就懂，一做就錯(cuò)”現(xiàn)象，本文以相對(duì)較難的初中電學(xué)極值問題為例，提出了一種利用數(shù)學(xué)模型的方法巧解初中物理電學(xué)中的極值問題，讓學(xué)生體會(huì)如何通過物理公式建立數(shù)學(xué)模型，達(dá)到應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的目的.

數(shù)學(xué)模型；物理電學(xué)；極值；應(yīng)用

本文提出了一種利用數(shù)學(xué)模型的方法巧解初中物理電學(xué)中的極值問題，以相對(duì)較難的初中電學(xué)極值問題為例，通過教學(xué)一方面讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生較高的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)如何通過物理公式建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)方法解決用物理方法無法解決的物理問題，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)方法在解決物理問題中的重要性.

初中電學(xué)求極值問題例析

1.利用基本不等式或二次函數(shù)求電功率的極值

例1 如圖1所示，一標(biāo)有“50Ω1A”字樣的滑動(dòng)變阻器R1與一個(gè)20Ω的定值電阻R2串聯(lián)，接在一個(gè)電壓為12V的穩(wěn)壓電源上，求滑動(dòng)變阻器接入電路的阻值為多大時(shí)它消耗的功率最大？最大功率是多少？

解析 在電源電壓和定值電阻R2不變的情況下，隨著R1電阻的增大，通過它的電流減小，但它兩端的電壓會(huì)增大，根據(jù)P=UI，學(xué)生很難確定什么時(shí)候它的功率最大，更無法求出它的最大功率.此時(shí)，數(shù)學(xué)方法就凸顯優(yōu)勢(shì).根據(jù)自變量設(shè)定的不同，可用兩種數(shù)學(xué)模型求解這道題.

解法一 基本不等式(a-b)2≥0的拓展應(yīng)用設(shè)滑動(dòng)變阻器接入電路的電阻為Rx，則電路中的電流為I=U/

解法二 二次函數(shù)的極值

設(shè)電路中的電流為I，則R2兩端的電壓為U2=IR2，根據(jù)串聯(lián)電路的電壓關(guān)系，R1兩端的電壓為U=U-U2=U-IR2.則R1消耗的電功率為P1=U1I=(U-IR2)I=I2R2+UI.因?yàn)?R2<0，所以當(dāng)I=-U/2(-R2)=U/(2R2)=12V/(220Ω)=0.3A時(shí)，P1最大.P1m=R2I2+UI=-20Ω×(0.3A)2+12V×0.3A=1.8W.

此時(shí)，滑動(dòng)變阻器的電阻為R1=U/I-R2=12V/0.3A-20Ω=20Ω .

點(diǎn)撥 在滑動(dòng)變阻器跟一個(gè)定值電阻串聯(lián)的電路中，當(dāng)滑動(dòng)變阻器的電阻跟定值電阻的阻值相等時(shí)，滑動(dòng)變阻器消耗的電功率最大.同時(shí)，比較這兩種方法，基本不等式法在八年級(jí)就有所涉及，學(xué)生能夠理解，但過程比較復(fù)雜.而二次函數(shù)在九年級(jí)數(shù)學(xué)中才涉及到，對(duì)新課教學(xué)過程的學(xué)生來講難度較大，但過程相對(duì)簡(jiǎn)單，在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)完后能夠更好地理解.

2.利用函數(shù)定義域和值域求電流的極值

例2 如圖2所示，已知定值電阻R1=10Ω，R2=20Ω，電源電壓恒定.開關(guān)S1閉合、S2斷開時(shí)電流表的示數(shù)為0.3A，試判斷開關(guān)S1斷開、S2閉合時(shí)電流表的示數(shù).

解析 當(dāng)開關(guān)S1斷開、S2閉合時(shí)R2和R0串聯(lián)，由于定值電阻R0未知，電源電壓未知，因此，電流表的示數(shù)是無法準(zhǔn)確計(jì)算的.這對(duì)很多初中學(xué)生來講，分析到這個(gè)地方就進(jìn)行不下去了，是一道難度較大的電學(xué)極值求解問題.實(shí)際上，在電源電壓不變的情況下，電流表的示數(shù)顯然與R2和R0的取值有關(guān)，R2是已知的；R0作為一個(gè)定值電阻，其取值范圍為0

當(dāng)開關(guān)S1閉合、S2斷開時(shí)，電流表的示數(shù)為0.3A，則電源電壓為U=I1(R1+R0)=0.3A×(10Ω+R0).當(dāng)開關(guān)S1斷開、S2閉合時(shí)，R2和R0串聯(lián)，電流表的示數(shù)為I2=U/(R2+R0)=0.3A×(10Ω+R0)/(20Ω+R0).其中0

點(diǎn)撥 從題型上來講，屬于電學(xué)中最常見的開關(guān)引起電路變化的題目，解題時(shí)應(yīng)抓住電源電壓和定值電阻R0不變，把變化前后聯(lián)系起來，用已知量和不變量把待求量表示出來，就會(huì)建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)函數(shù)模型求解極值問題.

3.利用一元二次方程有實(shí)數(shù)解的條件求電功率的極值

例3 如圖3所示，是小勇設(shè)計(jì)的某電器設(shè)備的部分電路.電源電壓9V保持不變，燈泡L標(biāo)有“8V4W”字樣，電流表的量程為0～3A，電壓表的量程為0～15V，滑動(dòng)變阻器R2的最大阻值為20Ω.閉合開關(guān)S和S1時(shí)，電路消耗的功率為4.05W，小燈泡L的電阻是16Ω，開關(guān)S、S1、S2都閉合時(shí)，通過電流表的最小電流是0.9A.(不計(jì)燈絲電阻隨溫度的變化)求：在不超過電表量程和燈泡額定電壓的條件下，只閉合開關(guān)S2時(shí)滑動(dòng)變阻器R2的電功率變化范圍.

要使式(14)中的RX有實(shí)數(shù)解，需滿足條件：

解得：PX≤1.27W.

所以滑動(dòng)變阻器R2的電功率變化范圍是：0.5W≤PX≤1.27W.

點(diǎn)撥 求解極值的解題方法不是唯一的，如果要求不高，也可以直接采用例1的方法，當(dāng)滑動(dòng)變阻器的電阻跟燈泡的電阻相等時(shí)，滑動(dòng)變阻器的功率最大求解.

綜合以上幾道例題的解法，我們可以體會(huì)到建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決電學(xué)極值問題時(shí)邏輯嚴(yán)密，學(xué)生容易理解，比單純的利用物理方法分析有說服力.但這種方法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高，需要教師多次訓(xùn)練和示范，學(xué)生才能逐漸體會(huì)并掌握，因此教師要善于捕捉這樣的機(jī)會(huì)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練，同時(shí)也讓這方面有特長(zhǎng)的同學(xué)體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)和創(chuàng)新的興趣.

[1]2015年第11期 總第379期 教育論壇

[2]程敏. 初中生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)能力及評(píng)價(jià)方法[J]. 新校園(中旬), 2015, 11:31.

[3]葛付平. 初中電學(xué)中的極值問題[J]. 數(shù)理化解題研究(初中版), 2014, 09:43-44.

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