手腦并用“話”路徑

周豪敏

[摘 要] 探索動點(diǎn)路徑的形狀和計算路徑的長是學(xué)生解決的難點(diǎn)，要求學(xué)生具有較高的空間想象能力和分析問題的能力. 本文旨在通過學(xué)生自主的“手腦”活動，初步探究解決動點(diǎn)路徑問題的基本方法.

[關(guān)鍵詞] 動點(diǎn)；路徑；解析法；數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

本題的難點(diǎn)為確定動點(diǎn)的路徑及計算長度，要求學(xué)生具有較高的空間想象能力和分析問題的能力. 教師單純地講授與學(xué)生模仿很難讓學(xué)生形成真正有效的基本活動經(jīng)驗(yàn)，對學(xué)生上述兩種能力很難起到鍛煉作用，他們面對同類問題也就不會有好的解決方案. 基于以上考慮，筆者以動點(diǎn)路徑為專題，通過學(xué)生的自主活動，從中獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以提高學(xué)生的動手能力和思維能力.

引入情景

試題引入 如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，動點(diǎn)E沿線段AB由點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B，動點(diǎn)F沿線段BC由點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)C. 已知點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動的過程中始終保持EF=4，則點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長=______.

小結(jié) （1）本題從學(xué)生熟悉的圖形切入，經(jīng)歷學(xué)生動手作圖、大膽猜想、嚴(yán)謹(jǐn)求證的過程，讓學(xué)生體驗(yàn)尋找動點(diǎn)路徑的過程及思考如何證明.

（2）由于學(xué)生普遍存在缺乏對特殊位置的關(guān)注，往往只選取一個或幾個一般位置，使得作圖繁雜不易于觀察、猜想，所以筆者在問題中適當(dāng)放入提醒與引導(dǎo). 學(xué)生則在同一個圖形中畫出了多個不同位置的圖形.

（3）通過畫圖與觀察得到的結(jié)論是基于猜想的，這種猜想只有通過演繹推理才能讓人信服.

變式1 如圖3，已知正方形ABCD的邊長為4，動點(diǎn)E沿線段AB由點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B，動點(diǎn)F沿線段BC由點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)C，它們同時運(yùn)動，且運(yùn)動的速度相同，點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，求點(diǎn)P運(yùn)動的路徑的長.

小結(jié) （1）在試題引入的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，筆者趁熱打鐵，通過改變條件，讓學(xué)生自主探索，經(jīng)歷一次路徑形狀和計算的過程. 一方面鞏固探究的方法，另一方面也給學(xué)生呈現(xiàn)一種不同的路徑形狀，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

（2）通過建立合適的平面直角坐標(biāo)系，借助一次函數(shù)知識，利用解析法巧妙地證明三點(diǎn)共線問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，開闊了學(xué)生的視野.

（3）適時總結(jié)有助于學(xué)生鞏固已有的活動經(jīng)驗(yàn).

變式2 在變式1的條件下，如圖4，連接AF，ED交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動過程中點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長.

生：運(yùn)動過程中始終有∠AQD=90°，所以我認(rèn)為點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑為圓弧，圓心為AD的中點(diǎn)，半徑為2，路徑長為π.

變式3 如圖5，等邊三角形ABC的邊長為4，在AB，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE交于點(diǎn)P，若AE=BF，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑是什么形狀？

生：同變式2，有△ABF≌△CAE. 在運(yùn)動的過程中始終有∠APC=120°，所以我認(rèn)為此時AC不是直徑而是一條弦，圓心在三角形外面，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑是一條弧線，是以AC為弦，∠APC=120°的圓中的弧AC.

師：若AE=CF，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑是什么形狀？

生：因?yàn)锳E=CF，所以易得△AEC≌△CFA，所以點(diǎn)P始終在AC邊的高上.

小結(jié) （1）經(jīng)歷試題引入及變式1，學(xué)生已有部分經(jīng)驗(yàn)和積累，能對條件進(jìn)行分析，從而給出相應(yīng)的猜想和證明. 在變式2的探究過程中，有一部分學(xué)生通過分析獲得結(jié)論，說明空間想象能力和分析問題的能力有一定的提升.

（2）變式2、變式3中條件的改變獲得不同的路徑形狀，能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的變化和魅力.

解決問題，鞏固升華

下面我們解決開篇所提的問題（圖1）.

師：課后小作業(yè)為思考本題是否可用解析法證明三點(diǎn)共線.

課后思考及延伸

思路 運(yùn)用解析法：點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足所在直線的函數(shù)解析式.

常規(guī)想法 求出直線B0Bn的函數(shù)解析式，繼而求得交點(diǎn)坐標(biāo)B，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線B0Bn的函數(shù)解析式的兩邊，驗(yàn)證相等.

困惑 運(yùn)算量大.

調(diào)整后的想法一 如圖7，利用△ADP∽△BEA，可獲得點(diǎn)B的坐標(biāo)，觀察橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)減去橫坐標(biāo)為一定值，即yB-xB為定值，繼而可獲得點(diǎn)B在直線上運(yùn)動的結(jié)論.

回顧和總結(jié)

教師需要認(rèn)識到學(xué)生在掌握“雙基”的同時，還要增強(qiáng)數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn). 比如動手作圖、大膽猜想、嚴(yán)謹(jǐn)求證. 教師在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要有意識地通過一類數(shù)學(xué)問題及其變式，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，提高其分析問題和解決問題的能力.

必要的反思有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn). 作為教師，應(yīng)在實(shí)際教學(xué)過程中讓學(xué)生多經(jīng)歷相應(yīng)的反思活動. 例如對活動過程的反思；對某一解法的總結(jié)和比較；課后的思考和延伸.

教師要善于利用基本圖形，能進(jìn)行適當(dāng)變式. 學(xué)生面對教師的一講到底，被動地接受，做大量的類似題，效率往往大打折扣. 如能經(jīng)常進(jìn)行變式和拓展，就能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、探索的自主性，從而提高上課效率. 正是老教師所說：做題不在于多，而在于精！