手腦并用“話”路徑

周豪敏

[摘 要] 探索動點路徑的形狀和計算路徑的長是學生解決的難點，要求學生具有較高的空間想象能力和分析問題的能力. 本文旨在通過學生自主的“手腦”活動，初步探究解決動點路徑問題的基本方法.

[關鍵詞] 動點；路徑；解析法；數學活動經驗

本題的難點為確定動點的路徑及計算長度，要求學生具有較高的空間想象能力和分析問題的能力. 教師單純地講授與學生模仿很難讓學生形成真正有效的基本活動經驗，對學生上述兩種能力很難起到鍛煉作用，他們面對同類問題也就不會有好的解決方案. 基于以上考慮，筆者以動點路徑為專題，通過學生的自主活動，從中獲得相應的數學經驗，以提高學生的動手能力和思維能力.

引入情景

試題引入 如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，動點E沿線段AB由點A運動至點B，動點F沿線段BC由點B運動至點C. 已知點P為線段EF的中點，點E，F在運動的過程中始終保持EF=4，則點P運動的路徑長=______.

小結 （1）本題從學生熟悉的圖形切入，經歷學生動手作圖、大膽猜想、嚴謹求證的過程，讓學生體驗尋找動點路徑的過程及思考如何證明.

（2）由于學生普遍存在缺乏對特殊位置的關注，往往只選取一個或幾個一般位置，使得作圖繁雜不易于觀察、猜想，所以筆者在問題中適當放入提醒與引導. 學生則在同一個圖形中畫出了多個不同位置的圖形.

（3）通過畫圖與觀察得到的結論是基于猜想的，這種猜想只有通過演繹推理才能讓人信服.

變式1 如圖3，已知正方形ABCD的邊長為4，動點E沿線段AB由點A運動至點B，動點F沿線段BC由點B運動至點C，它們同時運動，且運動的速度相同，點P為線段EF的中點，求點P運動的路徑的長.

小結 （1）在試題引入的經驗基礎上，筆者趁熱打鐵，通過改變條件，讓學生自主探索，經歷一次路徑形狀和計算的過程. 一方面鞏固探究的方法，另一方面也給學生呈現一種不同的路徑形狀，激發學生的學習熱情.

（2）通過建立合適的平面直角坐標系，借助一次函數知識，利用解析法巧妙地證明三點共線問題，體現了數形結合的數學思想，開闊了學生的視野.

（3）適時總結有助于學生鞏固已有的活動經驗.

變式2 在變式1的條件下，如圖4，連接AF，ED交于點Q，求點E，F在運動過程中點Q運動的路徑長.

生：運動過程中始終有∠AQD=90°，所以我認為點Q的運動路徑為圓弧，圓心為AD的中點，半徑為2，路徑長為π.

變式3 如圖5，等邊三角形ABC的邊長為4，在AB，BC邊上各取一點E，F，連接AF，CE交于點P，若AE=BF，當點E從點A運動到點B時，點P經過的路徑是什么形狀？

生：同變式2，有△ABF≌△CAE. 在運動的過程中始終有∠APC=120°，所以我認為此時AC不是直徑而是一條弦，圓心在三角形外面，點P經過的路徑是一條弧線，是以AC為弦，∠APC=120°的圓中的弧AC.

師：若AE=CF，當點E從點A運動到點B時，點P經過的路徑是什么形狀？

生：因為AE=CF，所以易得△AEC≌△CFA，所以點P始終在AC邊的高上.

小結 （1）經歷試題引入及變式1，學生已有部分經驗和積累，能對條件進行分析，從而給出相應的猜想和證明. 在變式2的探究過程中，有一部分學生通過分析獲得結論，說明空間想象能力和分析問題的能力有一定的提升.

（2）變式2、變式3中條件的改變獲得不同的路徑形狀，能讓學生體驗到數學的變化和魅力.

解決問題，鞏固升華

下面我們解決開篇所提的問題（圖1）.

師：課后小作業為思考本題是否可用解析法證明三點共線.

課后思考及延伸

思路 運用解析法：點在直線上，則點的坐標滿足所在直線的函數解析式.

常規想法 求出直線B0Bn的函數解析式，繼而求得交點坐標B，將點B的坐標代入直線B0Bn的函數解析式的兩邊，驗證相等.

困惑 運算量大.

調整后的想法一 如圖7，利用△ADP∽△BEA，可獲得點B的坐標，觀察橫坐標和縱坐標之間的聯系，發現點B的縱坐標減去橫坐標為一定值，即yB-xB為定值，繼而可獲得點B在直線上運動的結論.

回顧和總結

教師需要認識到學生在掌握“雙基”的同時，還要增強數學基本活動經驗. 比如動手作圖、大膽猜想、嚴謹求證. 教師在平時的數學教學過程中，要有意識地通過一類數學問題及其變式，加強學生的數學基本活動經驗，提高其分析問題和解決問題的能力.

必要的反思有助于增強學生的數學活動經驗. 作為教師，應在實際教學過程中讓學生多經歷相應的反思活動. 例如對活動過程的反思；對某一解法的總結和比較；課后的思考和延伸.

教師要善于利用基本圖形，能進行適當變式. 學生面對教師的一講到底，被動地接受，做大量的類似題，效率往往大打折扣. 如能經常進行變式和拓展，就能調動學生學習的積極性、探索的自主性，從而提高上課效率. 正是老教師所說：做題不在于多，而在于精！