軌跡問題的合情推理和演繹推理

宮明

[摘 要] 合情推理與演繹推理是相輔相成的關系，兩者既對立，又統一，是辯證的統一體. 在數學教學中，學生需要親身經歷用合情推理發現結論、用演繹推理證明結論的完整推理過程. 本文以軌跡問題中考題為例，談數學解題教學中如何堅持演繹推理與合情推理并重.

[關鍵詞] 軌跡問題；合情推理；演繹推理

傳統的數學解題教學強調演繹推理的作用，忽視了對學生進行合情推理的訓練和培養，從而使學生錯誤地認為數學就是一門純粹的演繹科學，從而產生畏難情緒. 究其原因，主要是教師沒有為學生探求知識創設合適的情境，沒有讓學生通過觀察、實驗、歸納等數學活動，在已有知識的基礎上產生數學聯想，進而找到解決問題的方法. 本文就如何在數學解題教學中有機結合合情推理與演繹推理作一些探索.

試題 （2016年日照中考）閱讀理解 我們把滿足某種條件的所有點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡. 例如角的平分線就是到角的兩邊距離相等的點的軌跡.

問題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動點，連接AM交EF于點P，那么動點P為線段AM的中點.

理由：因為線段EF為△ABC的中位線，所以EF∥BC. 由平行線分線段成比例得動點P為線段AM的中點. 由此你得到動點P的運動軌跡是______.

知識應用 如圖2，已知EF為等邊三角形ABC的邊AB，AC上的動點，連接EF，若AF=BE，且等邊三角形ABC的邊長為8，求線段EF的中點Q的運動軌跡的長.

拓展提高 如圖3，P為線段AB上一動點（點P不與點A，B重合），在線段AB的同側分別作等邊三角形APC和等邊三角形PBD，連接AD，BC，交點為Q.

（1）求∠AQB的度數；（2）若AB=6，求動點Q運動軌跡的長.

運動軌跡是線段

閱讀理解中，動點P是AM與EF的交點，根據軌跡的定義易知，動點P的運動軌跡是線段EF.

1. 合情推理三點共線

知識應用中，因為點E可與點B，A重合，點F可與點A，C重合，要判斷線段EF的中點Q的運動軌跡，可以通過畫出起點、終點、中間點進行探索.

2. 演繹推理證明平角

運動軌跡是圓弧

拓展提高（1）中，通過證明△APD≌△CPB易知∠AQB=120°.

1. 合情推理三點不共線

拓展提高（2）中，因為點P不與點A，B重合，要判斷AD，BC交點Q的運動軌跡，可以通過畫出兩個極限點和中間點進行探索.

當點P無限接近點A時，動點Q也無限接近點A，將點A記為運動軌跡的一個極限點；當點P無限接近點B時，動點Q也無限接近點B，將點B記為運動軌跡的另一個極限點；當點P在AB上時，滿足條件的任意一點記為中間點Q. 通過觀察發現A，Q，B不在同一條直線上，因此可以猜想出動點Q的運動軌跡是圓弧.

2. 演繹推理計算角度

猜想之后，同樣需要演繹推理判斷猜想的正確性. 通過拓展提高（1），可以發現∠AQB=120°，這正好是點Q軌跡為圓弧的演繹推理，說明了∠AQB是120°的圓周角. 而對運動軌跡長度的計算，可以利用作△AQB外心的方法找到圓心O補齊圓求解，如圖6.

以上中考題包含了初中數學軌跡問題的兩種典型情況：線段和圓弧. 研究軌跡問題時，需要找到三個靜止的點，合情推理出軌跡形狀，然后演繹推理計算角的度數，最后計算出軌跡長度.