基于極值理論下ARMA—GARCH模型的實證研究

莊慧敏

摘要：對2012年1月1日至2016年10月30日的上證綜合指數日收益率進行平穩性檢驗、自相關檢驗、偏自相關檢驗和ARCH效應檢驗，可以建立ARMA-GARCH模型。ARMA-GARCH模型的殘差項單獨提取，分別建立正態分布和廣義的Pareto分布模型，對標準殘差進行擬合，并用滾動估計法估計置信水平為95%的VaR值。研究發現：ARMA-GARCH模型可以更好的說明日收益率的波動集聚性，而波動的厚尾性，即殘差項用廣義的Pareto分布可以更好的擬合，得到95%的置信水平下的VaR值的風險更小。為金融市場的研究提供借鑒。

關鍵詞：ARMA-GARCH模型；VaR；廣義Pareto分布；R軟件

一、引言

21世紀以來，隨著科學技術的不斷進步，經濟全球化與金融一體化的趨勢不斷地加快，現代金融理論、金融創新、信息技術等因素在推動全球經濟發展的同時，也給金融業帶來了巨大挑戰。股票市場債務危機的頻繁出現、經濟危機的不斷發生，正在潛移默化的改變著世界的經濟格局，特別是世界經濟的重心開始逐漸的轉向發展中國家，與此同時各國大力提倡金融改革，使得全球金融市場面臨巨大的不確定性，金融市場風險日益嚴重。因此對股票市場和金融風險的研究尤為重要。

自Engle在1982年提出ARCH模型以來，國內外學者對自回歸條件異常方差模型進行了大量的擴展性研究，構成了GARCH模型的一個家族體系，主要有GARCH、EGARCH、TGARCH模型等。

基于GARCH模型的VaR估計方法的研究也有很多。So和Yu（2007）對于基于七種GARCH模型的VaR估計方法進行了實證研究，包括RiskMetries模型以及兩類長記憶GARCH模型，發現基于GARCH模型的VaR估計比RiskMetries方法得到的VaR估計值具有更好的預測效果。但是基于極值理論下建立ARMA-GARCH模型的研究還很少。因此，本文基于正態分布和極值理論分別對上證綜合指數日收益率建立ARMA-GARCH模型，比較兩種方法的優劣，為金融市場研究提供借鑒。

二、理論基礎

（一）ARMA模型

三、模型建立

本文提取2012年1月1日至2016年10月30日的日收盤價，共1174個數據，數據來源Yahoo財經網。數據處理采用R軟件3.3.1。

對日收盤價取對數得到日收益率，即計算公式為：yt=ln（pt）-ln（pt-1）

式中，yt代表第t日的收益率，（pt代表第t日的上證綜合收盤指數。

（一）數據檢驗

1. 平穩性檢驗

本文采用ADF單位根檢驗。ADF值小于給定顯著性水平下的臨界值，說明該時間序列沒有單位根，也即是該序列是平穩時間序列。反之，則為非平穩時間序列，需要對其進行差分處理，使序列平穩。

使用R軟件對日收益率序列進行單位根檢驗，其中ADF=-24.7563 ，小于5%顯著性水平下的臨界值-1.95。表明日收益率時間序列不存在單位根，因此日收益率時間序列是平穩序列。可對其建立ARMA模型。

2. 自相關性檢驗

Box-Ljung檢驗法。檢驗的，明顯小于0.05，可以認為日收益率平方序列存在自相關性。即原序列存在ARCH效應。

3. ARCH效應檢驗

ARCH LM-test檢驗法。檢驗的，小于0.05拒絕原假設，所以在5%的顯著性水平下，認為日收益率序列具有ARCH效應。

（二）ARMA-GARCH模型的建立

通過R軟件中篩選出的最優擬合模型是ARIMA（3，0，2）和GARCH（1，1）。模型系數如圖1所示。

1. 模型檢驗

標準化殘差是否存在顯著的ARCH效應。

根據Weighted ARCH LM Tests檢驗結果可知，p-value值明顯大于0.05，因此接受原假設，所以在5%的顯著性水平下，認為日收益率序列不具有ARCH效應。說明建立的ARMA（3，0，2）GARCH（1，1）模型已捕捉了數據的條件異方差。

2. ARMA-GARCH模型的風險價值VaR

ARMA-GARCH模型共進行了573次回測，實際損失超過VaR估計值的突破事件發生了30次，Actual %是5.2，說明突破事件發生率比設定的概率水平（5%）大，初步判斷采用的模型有待改善。Kupiec檢驗將突破事件發生率與估計VaR值的左尾概率進行比較，如果二者無顯著差異，則表示估計出來的VaR值是有效的；如果相差很大，則說明采用的VaR估計模型是不適當的，應拒絕。根據Kupiec檢驗的P值結果（0.797），不能拒絕原假設，即采用的VaR估計模型是有效的。 Christoffersen檢驗是來查看突破事件是否獨立，主要檢驗的是在當天已經發生突破的條件下突第二天再發生突破事件的概率是否與當天未發生突破事件、第二天發生突破事件的概率相同，簡單來說，Christoffersen檢驗是來查看突破事件是否會接連發生。根據P值結果（0.539），需要接受Christoffersen檢驗的原假設：突破事件是獨立的。通過以上的回測過程，證明構建的模型是可以接受的、可以用于預測。

3. 基于正態分布下ARMA-GARCH模型的VaR

由于對數收益率乘100，因此當上尾概率τ=0.05時求出的持有期為1天的 VaR為0.037483，當上尾概率τ=0.01時求出的持有期為1天的VaR為0.04856。

由于殘差是用正態分布擬合得，導致最后構建的模型不夠理想，因此改變殘差的擬合分布尤為重要，因此，選擇具有廣義的Pareto分布對殘差進行擬合。

（三）標準殘差建立Pareto分布模型

1. 標準殘差的獨立性檢驗

標準化殘差進行檢驗是否存在自相關

根據標準化殘差進行Weighted Ljung-Box Test檢驗可知滯后十階中最小的p-value值為0.5228，明顯然大于0.05，接受原假設，即標準化殘差進行檢驗不存在自相關性，因此假定殘差是獨立的。

2. 標準殘差建立Pareto分布模型

標準殘差平均超出散點圖

由圖2中可知，閾值選取2.00（由于對數收益率乘100）比較合適。

在閾值為2.00的情況下用GPD分布擬合日對數收益率得到的診斷檢驗圖

在圖3中，左上角為超出量的分布函數圖，右上角為殘差的散點圖，左下角為分布的尾概率估計圖，右下方為殘差的Q-Q圖，從圖可以看出，尾概率估計和殘差的Q-Q圖基本與直線重合，說明選取的閾值為2.00比較合適。

由R軟件輸出的結果可知標準殘差建立Pareto分布模型為：

3. 標準殘差基于Pareto分布模型的VaR和ES值

由于對數收益率乘100，因此當上尾概率τ=0.05時求出的持有期為1天的 VaR為0.02385，ES為0.03289，當上尾概率τ=0.01時求出的持有期為1天的VaR為0.03856，ES為0.04668。

四、研究結論

通過正態分布和極值理論分別對上證綜合指數日收益率建立ARMA-GARCH模型進行比較得出：基于Pareto分布下ARMA-GARCH模型可以更好的說明日收益率的波動集聚性，而波動的厚尾性，即殘差項用廣義的Pareto分布可以更好的擬合，得到95%的置信水平下的VaR值的風險更小。置信水平下的VaR可以衡量日收益率的最大損失值。基于極值理論下的ARMA-GARCH模型比基于正態分布更好的說明日收益率的厚尾性，并且對VaR的預測效果更好。為金融市場的研究提供借鑒。

參考文獻：

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[4]許啟發，蔣翠俠.R軟件及其在金融定量分析中的應用[M].清華大學出版社，2015.

（作者單位：貴州大學經濟學院）