分布不確定下的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略及其效用

黃金波，李仲飛

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2. 中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

分布不確定下的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略及其效用

黃金波1，李仲飛2

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2. 中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

為避免參數(shù)法和半?yún)?shù)法的事前模型設(shè)定偏誤和參數(shù)估計(jì)誤差，本文引入無(wú)需做事前分布假設(shè)的非參數(shù)核估計(jì)法對(duì)VaR和CVaR進(jìn)行估計(jì)，并基于VaR和CVaR的核估計(jì)量構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖模型，實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)和風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖同時(shí)進(jìn)行。在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步在核估計(jì)框架內(nèi)引入期望效用理論比較最小方差、最小VaR和最小CVaR對(duì)沖策略的對(duì)沖效率，以期解決傳統(tǒng)文獻(xiàn)將風(fēng)險(xiǎn)下降比率作為風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率指標(biāo)，卻因風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)不同而導(dǎo)致比較結(jié)果不一致的問(wèn)題。最后，將核估計(jì)框架下的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖模型和期望效用理論運(yùn)用到滬深300股指期貨現(xiàn)貨的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題，實(shí)證結(jié)果表明：最小CVaR對(duì)沖策略的對(duì)沖效率優(yōu)于最小方差和最小VaR對(duì)沖策略，且四種效用函數(shù)給出的比較結(jié)果一致。

風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖；期望效用；分布不確定；核估計(jì)

1 引言

風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖技術(shù)是管理金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的基本方法，基于不同的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)往往會(huì)得到不同的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效果。常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)主要包括方差、半方差、安全首要(Safety-First, SF)、下偏矩(Lower Partial Moment, LPM)、平均絕對(duì)離差(Mean Absolute Deviation, MAD)、在險(xiǎn)價(jià)值(Value at Risk, VaR)和條件在險(xiǎn)價(jià)值(Conditional Value at Risk, CVaR)等。其中，方差是最經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，而VaR和CVaR是目前業(yè)界最流行的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，所以本文重點(diǎn)研究這三個(gè)指標(biāo)下的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題，但本文的研究框架很容易擴(kuò)展到其它風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。

最小方差模型的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題早在20世紀(jì)60至80年代就已被研究得非常充分[1-3]，故本文不再贅述；基于VaR和CVaR最小化模型的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題研究近年來(lái)得到快速發(fā)展，但較為成熟的研究主要在正態(tài)分布假設(shè)下進(jìn)行。例如：遲國(guó)泰等[4-6]在正態(tài)假設(shè)下得到最小VaR和最小CVaR對(duì)沖策略的解析表達(dá)式。但隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)持有期比較短時(shí)，正態(tài)分布假設(shè)下的VaR和CVaR計(jì)算誤差不大；而當(dāng)設(shè)定的持有期較長(zhǎng)時(shí)，金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)出非正態(tài)分布特征，此時(shí)正態(tài)分布設(shè)定就不合適。另外在實(shí)踐中，我們事先并不知道市場(chǎng)數(shù)據(jù)的真實(shí)分布，任何的事前分布設(shè)定都可能產(chǎn)生模型設(shè)定偏差。所以，許多學(xué)者在不做事前分布設(shè)定的情況下開(kāi)展研究。Harris和Shen Jian[7]基于歷史數(shù)據(jù)得到收益率的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)得到VaR和CVaR的次序估計(jì)量，然后基于VaR和CVaR的次序估計(jì)量進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖。這種方法不假設(shè)分布函數(shù)形式，直接利用樣本數(shù)據(jù)得到分布函數(shù)的估計(jì)公式，屬于非參數(shù)估計(jì)方法。Cao Zhigang等[8]運(yùn)用Cornish-Fisher展開(kāi)法將VaR和CVaR近似表達(dá)成均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度系數(shù)和峰度系數(shù)的函數(shù)，并基于VaR和CVaR的近似表達(dá)式研究風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題。該方法考慮了前四階矩的信息，是對(duì)正態(tài)分布假設(shè)下VaR和CVaR計(jì)算僅考慮均值和標(biāo)準(zhǔn)差(即前兩階矩)的修正。這兩種方法雖然彌補(bǔ)了正態(tài)分布設(shè)定下的缺陷，但也存在其它缺點(diǎn)，例如：VaR和CVaR次序估計(jì)量是風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖比率的非連續(xù)函數(shù)，不具有良好的光滑性，不便于優(yōu)化處理。VaR和CVaR的Cornish-Fisher展開(kāi)式本質(zhì)上是近似計(jì)算，不具有統(tǒng)計(jì)意義上的大樣本性質(zhì)，即它的估計(jì)誤差不會(huì)隨著樣本量的增加而減少。所以，為克服以上兩種方法的缺陷，同時(shí)繼承它們各自的優(yōu)點(diǎn)，本文引入統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展起來(lái)的核估計(jì)方法。

核估計(jì)方法運(yùn)用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)來(lái)獲得真實(shí)分布的核估計(jì)量，對(duì)先驗(yàn)信息要求很少，屬于非參數(shù)估計(jì)方法。基于核估計(jì)法得到的分布函數(shù)可以看作對(duì)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的光滑化處理，所以基于核估計(jì)方法得到的VaR和CVaR估計(jì)量是對(duì)沖比率的連續(xù)且可導(dǎo)函數(shù)，便于優(yōu)化處理。同時(shí)，與Cornish-Fisher展開(kāi)法相比，VaR和CVaR的核估計(jì)量是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論得到的估計(jì)量，具有較好的大樣本性質(zhì)[9-13]。實(shí)際上，因?yàn)閂aR和CVaR核估計(jì)量具有上述優(yōu)良性質(zhì)，許多學(xué)者已關(guān)注和研究VaR和CVaR的核估計(jì)及其優(yōu)化問(wèn)題，并產(chǎn)生了許多優(yōu)秀的成果。例如：Taylor等[14-20]運(yùn)用核估計(jì)方法研究VaR和CVaR或動(dòng)態(tài)VaR和CVaR的估計(jì)量；Yao Haixiang等[21-27]將VaR和CVaR的核估計(jì)量運(yùn)用到金融風(fēng)險(xiǎn)管理和投資組合優(yōu)化問(wèn)題中去。雖然這些研究就如何結(jié)合VaR和CVaR的核估計(jì)量與優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了很好的探索，但仍存在許多關(guān)鍵問(wèn)題亟需解決。與已有研究的區(qū)別在于，本文將VaR和CVaR的核估計(jì)量引入具體的期貨現(xiàn)貨風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題，并討論風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖模型的一階必要條件和二階充分條件，同時(shí)在核估計(jì)框架內(nèi)比較最小方差、最小VaR和最小CVaR對(duì)沖策略的對(duì)沖效率。此外，傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題研究將風(fēng)險(xiǎn)下降比率作為風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率指標(biāo)，但風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)至今仍是學(xué)術(shù)界爭(zhēng)論的焦點(diǎn)，沒(méi)有形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，基于不同風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)會(huì)得出不一致甚至相左的結(jié)論。因此需要一個(gè)獨(dú)立于各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的方法來(lái)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率進(jìn)行測(cè)算和比較。雖然對(duì)效用函數(shù)的具體函數(shù)形式仍存在許多爭(zhēng)論，但期望效用理論是不確定環(huán)境下的基本決策理論卻是不爭(zhēng)的事實(shí)。所以本文進(jìn)一步在核估計(jì)框架內(nèi)引用金融經(jīng)濟(jì)學(xué)上廣被認(rèn)可的期望效用理論來(lái)比較對(duì)沖效率，以期能夠得到較為一致的結(jié)論。

2 分布不確定下的最優(yōu)對(duì)沖比率

在實(shí)際金融市場(chǎng)中，我們對(duì)資產(chǎn)收益率的分布形式知之甚少，因此，如何在分布不確定環(huán)境下構(gòu)建最小VaR和CVaR對(duì)沖模型是準(zhǔn)確求解最優(yōu)對(duì)沖比率的關(guān)鍵。眾所周知，經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)中的非參數(shù)核估計(jì)方法不需要事先對(duì)分布函數(shù)類型作假定，對(duì)先驗(yàn)信息的要求非常低，計(jì)算結(jié)果完全由市場(chǎng)樣本數(shù)據(jù)來(lái)驅(qū)動(dòng)[28]，所以可以適應(yīng)變幻莫測(cè)的金融市場(chǎng)，同時(shí)目前證券市場(chǎng)豐富的高頻交易數(shù)據(jù)也滿足非參數(shù)核估計(jì)方法對(duì)樣本數(shù)據(jù)容量的要求。為此，本節(jié)引入非參數(shù)核估計(jì)方法對(duì)VaR和CVaR進(jìn)行估計(jì)，基于估計(jì)出來(lái)的VaR和CVaR構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖模型，并討論最優(yōu)化模型的一階必要條件和二階充分條件。

2.1 基于VaR核估計(jì)量的最優(yōu)對(duì)沖比率

設(shè)現(xiàn)貨資產(chǎn)和期貨資產(chǎn)的收益率分別為r1,r2，r1的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為μ1,σ1，r2的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為μ2,σ2。現(xiàn)貨期貨的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題可表述為：尋找最優(yōu)對(duì)沖比率h，使得一單位現(xiàn)貨資產(chǎn)多頭和h單位期貨資產(chǎn)空頭構(gòu)成的對(duì)沖組合的風(fēng)險(xiǎn)最小。該組合收益率rp可表示為：

rp=r1-hr2

(1)

根據(jù)Jorion[29]的定義，VaR是指在給定置信水平1-α下，在未來(lái)特定期間內(nèi)，資產(chǎn)或資產(chǎn)組合所遭受的最大可能損失。設(shè)rp的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(x,h)和F(x,h)，在給定的置信水平1-α下，對(duì)沖組合的在險(xiǎn)價(jià)值v(α,h)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

v(α,h):=-inf{x∈R:F(x,h)≥α}

(2)

組合收益率的分布函數(shù)和密度函數(shù)的核估計(jì)量分別為[28]：

(3)

(4)

那么在核估計(jì)框架下基于VaR最小化模型的最優(yōu)對(duì)沖比率為：

(5)

(4)式兩邊對(duì)h求導(dǎo)，可得：

(6)

則最小化VaR模型的一階條件為：

(7)

(8)

(9)

2.2 基于CVaR核估計(jì)量的最優(yōu)對(duì)沖比率

盡管VaR是業(yè)界廣為流行的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)，但許多學(xué)者的研究表明[24-25]，VaR存在不滿足次可加性且忽略尾部風(fēng)險(xiǎn)特征等缺陷，所以，Rockafellar和Uryasev[30-31]在VaR基礎(chǔ)上給出了CVaR概念。根據(jù)他們的定義，CVaR為超過(guò)VaR的損失的數(shù)學(xué)期望。那么對(duì)沖組合的CVaR的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

u(α,h):=-E[rp|rp≤-v(α,h)]

(10)

Rockafellar和Uryasev[30-31]給出CVaR的一個(gè)等價(jià)定義為：

(11)

其中，F(xiàn)α(h,v)=v+α-1E[(-rp-v)+]，而(x)+=max(x,0)。同時(shí)，他們指出最小CVaR模型等價(jià)于如下優(yōu)化問(wèn)題：

(12)

在核估計(jì)框架下，根據(jù)密度函數(shù)的核估計(jì)式(3)，可以得到Fα(h,v)的核估計(jì)式為：

(13)

(14)

基于CVaR核估計(jì)量的最優(yōu)對(duì)沖比率為：

(15)

類似于YaoHaixiang等[21]的研究，以下給出優(yōu)化問(wèn)題(14)的凸性定理。

定理1：優(yōu)化問(wèn)題(14)是凸優(yōu)化問(wèn)題。

限于篇幅，證明略。

2.3 基于方差的最優(yōu)對(duì)沖比率

組合收益率的樣本方差為：

(16)

(17)

可得最小方差對(duì)沖策略的最優(yōu)對(duì)沖比率為：

(18)

2.4 實(shí)證分析

本節(jié)將前面建立的三種風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖模型運(yùn)用到我國(guó)滬深300股指期貨與現(xiàn)貨的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題的研究。滬深300股指期貨于2010年4月16日正式上市交易，所以我們選取2010年4月16日至2015年2月11日共1172個(gè)日收盤價(jià)和收益率數(shù)據(jù)。期貨數(shù)據(jù)來(lái)自滬深300期貨當(dāng)月連續(xù)合約。為了計(jì)算簡(jiǎn)潔和方便，收益率數(shù)據(jù)擴(kuò)大100倍，即收益率數(shù)據(jù)的單位為%。

表1給出了滬深300指數(shù)及其期貨收益率的描述性統(tǒng)計(jì)。從均值(Mean)來(lái)看，滬深300現(xiàn)貨與期貨價(jià)格在樣本期間平均來(lái)說(shuō)是上升的；從中位數(shù)(Med)來(lái)看，收益率為負(fù)的天數(shù)大于收益率為正的天數(shù)；從最小值(Min)、最大值(Max)和方差(Var)來(lái)看，期貨收益率的波動(dòng)要大于現(xiàn)貨；從VaR和CVaR來(lái)看，期貨的下端風(fēng)險(xiǎn)大于現(xiàn)貨；從偏度系數(shù)(Skewness)、峰度系數(shù)(Kurtosis)和JB統(tǒng)計(jì)量來(lái)看，現(xiàn)貨收益率和期貨收益率的樣本分布都具有“尖峰厚尾”和“左偏”特征，不服從正態(tài)分布；從收益率的相關(guān)系數(shù)(Corr)來(lái)看，二者的相關(guān)程度較高。

取α=0.01，基于滬深300股指期貨與現(xiàn)貨進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖實(shí)證分析，分別基于最小VaR的核估計(jì)量、最小CVaR的核估計(jì)量和最小方差模型得到三種最優(yōu)對(duì)沖比率，并得到對(duì)沖后的表現(xiàn)(見(jiàn)表2)。所有結(jié)果運(yùn)用MATLAB編程計(jì)算得到。

表2給出三種對(duì)沖策略的最優(yōu)對(duì)沖比率及對(duì)沖組合收益率的均值、方差、VaR和CVaR。從中可以看出，三種不同的對(duì)沖策略的對(duì)沖比率明顯不同，對(duì)沖后得到的效果也不同。最小CVaR對(duì)沖策略下的組合收益率具有最高的均值，但同時(shí)也具有最高的方差，是一個(gè)相對(duì)比較激進(jìn)的對(duì)沖策略。最小方差對(duì)沖策略具有最小的方差，但只能獲得最小的均值收益，方差是一個(gè)將均值以下的損失和均值以上的收益都看作風(fēng)險(xiǎn)的雙側(cè)度量指標(biāo)，最小方差對(duì)沖策略在控制波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)也損失了獲得上端收益的機(jī)會(huì)，是一個(gè)相對(duì)保守的策略。最小VaR對(duì)沖策略居二者之間。毫無(wú)疑問(wèn)，最小VaR對(duì)沖策略下組合的VaR是最小的，最小CVaR策略下組合的CVaR是最小的，而最小方差策略下組合的方差是最小的。僅僅比較三種對(duì)沖策略的風(fēng)險(xiǎn)下降比率，我們得不到一致的答案。因?yàn)楦鶕?jù)不同的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，我們得到的結(jié)論是不一致的，如果用方差作為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，則最小方差策略最優(yōu)；如果用VaR作為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，則最小VaR策略最優(yōu)；如果用CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，則最小CVaR策略最優(yōu)。而這三個(gè)風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)都是目前學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界常用的指標(biāo)，哪種指標(biāo)更為適合目前并沒(méi)有定論，所以僅用風(fēng)險(xiǎn)下降比率來(lái)比較三種對(duì)沖策略的優(yōu)劣不能得到一致的結(jié)論。

表1 滬深300股指及其期貨收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

表2 三種對(duì)沖策略的對(duì)沖效果

圖1 三種對(duì)沖策略下的最優(yōu)對(duì)沖比率

由于(9)式不一定大于零，基于VaR核估計(jì)量的優(yōu)化問(wèn)題不一定是凸優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化算法得出的最優(yōu)對(duì)沖比率可能不是全局最優(yōu)對(duì)沖比率，所以我們對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證。我們把區(qū)間(0.6,1.1)進(jìn)行1000等份，把等份點(diǎn)作為對(duì)沖比率h的取值，并代入(4)式計(jì)算相應(yīng)的對(duì)沖組合的VaR，并將這些點(diǎn)畫(huà)在如圖1所示的平面上。圖中顯示在最優(yōu)對(duì)沖比率h1處，組合的VaR確實(shí)是全局最小點(diǎn)。同時(shí)，為了比較的方便，雖然基于CVaR和方差的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖模型是凸優(yōu)化問(wèn)題，我們也將它們類似處理，同樣可以發(fā)現(xiàn)，在最優(yōu)對(duì)沖比率處的風(fēng)險(xiǎn)值為全局最小。所以，表2的結(jié)果是可靠的，基于此進(jìn)行分析是有意義的。

3 期望效用視角下的對(duì)沖效率比較

由表2可知，運(yùn)用不同的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)，可能得出不同的最優(yōu)對(duì)沖比率。而如果僅僅將風(fēng)險(xiǎn)下降比率作為評(píng)判對(duì)沖效率的指標(biāo)，因風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的不同可能得出不一致的結(jié)論，我們無(wú)法判斷出三種對(duì)沖策略中，哪個(gè)對(duì)沖策略更優(yōu)。這就需要一個(gè)獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)之外的方法來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率。眾所周知，在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，期望效用理論(ExpectedUtilityTheory,EUT)是更系統(tǒng)更具基礎(chǔ)地位的不確定環(huán)境下的選擇理論。雖然學(xué)者對(duì)哪種具體效用函數(shù)形式更合適的爭(zhēng)論還遠(yuǎn)不能達(dá)成一致，但EUT仍然是公認(rèn)的在不確定環(huán)境下進(jìn)行決策的基本經(jīng)濟(jì)理論，被寫進(jìn)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的教科書(shū)。所以下面引入EUT并基于金融經(jīng)濟(jì)學(xué)上常用的風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)、二次效用函數(shù)、常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CARA)效用函數(shù)和常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)效用函數(shù)對(duì)三種策略的對(duì)沖效率進(jìn)行比較分析，以期能夠得到更為一致的結(jié)論。

3.1 核估計(jì)框架下期望效用的估計(jì)

假設(shè)定義在隨機(jī)收益率x上的效用函數(shù)為U(x)，隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為f(x,h)，則其期望效用被定義為：

(19)

在核估計(jì)框架下，將真實(shí)密度函數(shù)的核估計(jì)式(3)代入(19)式，可以得到核估計(jì)框架下期望效用的估計(jì)公式：

(20)

目前，效用函數(shù)的具體形式?jīng)]有形成統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，常用的效用函數(shù)主要有風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)、二次效用函數(shù)、CARA效用函數(shù)和CRRA效用函數(shù)。將不同的效用函數(shù)代入(20)式，可以得到不同的期望效用估計(jì)。為后文推導(dǎo)的方便和需要，定理2給出了密度函數(shù)核估計(jì)量的幾條重要性質(zhì)。

限于篇幅，證明略。

根據(jù)定理2的結(jié)果，可以得到以下四種效用函數(shù)在核估計(jì)框架下的期望效用估計(jì)式。

(1)風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)下的期望效用

定義在隨機(jī)收益x上的風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)U(·)可表示為：

U(x)=mx+n, (m>0)

(21)

根據(jù)定理2的結(jié)論，可得核估計(jì)框架下的期望效用估計(jì)式為：

(22)

(2)二次效用函數(shù)下的期望效用

定義在隨機(jī)收益x上的二次效用函數(shù)U(·)可表示為：

U(x)=-c2x2+c1x+c0

(23)

其中，c0,c1,c2為常數(shù)且c2>0，c1>0。二次效用函數(shù)常用于金融資產(chǎn)定價(jià)模型中，比如均值-方差模型。為了將風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度與對(duì)沖策略選擇聯(lián)系起來(lái)，以下引用風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)進(jìn)行分析。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)分為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，二者都可以刻畫(huà)投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。下面計(jì)算二次效用函數(shù)的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：

(24)

其中β=c1/2c2，β可看作二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的權(quán)衡系數(shù)。在期望效用理論下，二次項(xiàng)的期望與方差有關(guān)，一次項(xiàng)的期望就是均值，所以β又可以看作是均值和方差的權(quán)衡系數(shù)。當(dāng)β比較小時(shí)，二次項(xiàng)的系數(shù)c2相對(duì)較大，此時(shí)人們更關(guān)心二次項(xiàng)，即更加關(guān)注波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，人們更加厭惡風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)λ值也越大。當(dāng)β較大時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)c1相對(duì)較大，此時(shí)人們更關(guān)心一次項(xiàng)，即更加關(guān)心均值收益，此時(shí)人們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度下降，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)λ值也減小。所以，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)λ與β負(fù)相關(guān)。

根據(jù)定理2的結(jié)論，可得核估計(jì)框架下的期望效用估計(jì)式為：

(25)

(3)CARA效用函數(shù)下的期望效用

定義在隨機(jī)收益x上的CARA效用函數(shù)U(·)可表示為：

U(x)=-e-δx, (δ>0)

(26)

由U′(x)=δe-δx，U″(x)=-δ2e-δx，可得絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：

ζ=-U″(x)/U′(x)=δ

(27)

參數(shù)δ越大，人們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高；相反，δ越小，人們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越低。

根據(jù)定理2的結(jié)論，可得核估計(jì)框架下的期望效用估計(jì)式為：

(28)

(4)CRRA效用函數(shù)下的期望效用

定義在隨機(jī)收益x上的CRRA效用函數(shù)U(·)可表示為：

(29)

由U′(x)=xγ-1>0，U″(x)=(γ-1)xγ-2，可得相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：

ξ=-xU″(x)/U′(x)=1-γ

(30)

參數(shù)γ>1時(shí)，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)ξ<0，CRRA效用函數(shù)刻畫(huà)的是風(fēng)險(xiǎn)偏好型投資者的效用；相應(yīng)地，γ=1時(shí)，CRRA效用函數(shù)刻畫(huà)的是風(fēng)險(xiǎn)中性投資者的效用；而當(dāng)0<γ<1時(shí)，CRRA效用函數(shù)刻畫(huà)的是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者的效用。

核估計(jì)框架下的期望效用估計(jì)式為：

(31)

上式?jīng)]有解析表達(dá)式，在給定γ的情況下可以通過(guò)數(shù)值積分方法得到期望效用的值。

3.2 實(shí)證分析

(32)

以下基于定理2和(32)式來(lái)計(jì)算和比較四種效用函數(shù)下三種對(duì)沖策略的期望效用。

(1)風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)

在風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)中，n的取值不影響期望效用的比較結(jié)果，不妨設(shè)n=0，由(22)式可得，三種對(duì)沖策略的期望效用分別為：

(33)

將表2中三種對(duì)沖策略的均值代入(33)式，可得期望效用與參數(shù)m的線性關(guān)系。圖2直觀地顯示期望效用隨參數(shù)m的變化趨勢(shì)，無(wú)論m取何正數(shù)，都有U2>U1>U3，即最小CVaR對(duì)沖策略下的期望效用最高，最小方差策略的期望效用最低，最小VaR居中。風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)的期望效用只關(guān)心均值收益，而不關(guān)心風(fēng)險(xiǎn)。所以經(jīng)過(guò)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖后，組合收益率均值最高的最小CVaR對(duì)沖策略所得的期望效用最高，而組合收益率均值最低的最小方差對(duì)沖策略所得的期望效用最低，最小VaR對(duì)沖策略居中。

圖2 風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)下的期望效用

圖3 二次效用函數(shù)下的期望效用

(2)二次效用函數(shù)

取c2=1,c0=0，則c1=2β，由(25)式可得，三種對(duì)沖策略的期望效用分別為：

(34)

將表2中三種對(duì)沖策略的均值、組合收益率的樣本值rpi,t(i=1,2,3,t=1,2,…,T)及窗寬b代入(34)式，可得期望效用和參數(shù)β之間的函數(shù)關(guān)系。圖3顯示了三種對(duì)沖策略的期望效用隨著β變化的趨勢(shì)。由圖象可知，當(dāng)β比較小時(shí)，人們更偏好最小方差對(duì)沖策略，此時(shí)最小方差的期望效用最高；當(dāng)β比較大時(shí)，人們更偏好最小CVaR對(duì)沖策略。原因在于，二次效用函數(shù)下的期望效用不僅跟均值有關(guān)，還與方差有關(guān)，需綜合權(quán)衡均值和方差。二次項(xiàng)系數(shù)c2和一次項(xiàng)系數(shù)c1可分別看作方差項(xiàng)和均值項(xiàng)的權(quán)衡系數(shù)。本例中c2給定的情況下c1=2β，β越小，說(shuō)明相對(duì)于方差項(xiàng)來(lái)說(shuō)，均值項(xiàng)的權(quán)衡系數(shù)越小，人們更加關(guān)注波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)(即方差)，所以最小方差策略更優(yōu)；而當(dāng)β變大時(shí)，均值項(xiàng)的權(quán)衡系數(shù)c1就越來(lái)越大，人們就更加關(guān)注均值收益，所以此時(shí)，能夠獲得更高均值的最小CVaR策略就更優(yōu)。此外，最小VaR的均值和方差處于中間，所以最小VaR對(duì)沖策略的期望效用始終小于最小CVaR對(duì)沖策略；但當(dāng)β超過(guò)一定閾值時(shí)，最小VaR對(duì)沖策略的期望效用也大于最小方差對(duì)沖策略。

(3)CARA效用函數(shù)

由(28)式可得，在CARA效用函數(shù)下，三種對(duì)沖策略的期望效用分別為：

(35)

同樣，將組合收益率的樣本值rpi,t(i=1,2,3,t=1,2,…,T)和窗寬b代入(35)式，可以得到期望效用同參數(shù)δ之間的函數(shù)關(guān)系。由于三種對(duì)沖策略的期望效用相差較小，為了更清晰地比較三種對(duì)沖策略的期望效用的大小關(guān)系，我們定義如下期望效用比較指標(biāo)：

(36)

圖4顯示三個(gè)指標(biāo)隨參數(shù)δ變化的趨勢(shì)。從圖中可以看出，δ在區(qū)間(0,1.5)取值時(shí)，三種對(duì)沖策略的期望效用相差不大，三個(gè)指標(biāo)值都約等于1。但是當(dāng)δ≥1.5時(shí)，三個(gè)指標(biāo)值出現(xiàn)分化，其中a1>1，由于效用值為負(fù)數(shù)，所以可得U2>U1；由a2<1可得U1>U3；由a3<1可得U2>U3。綜上可得：當(dāng)δ∈(0,1.5)時(shí)，U1≈U2≈U3；而當(dāng)δ≥1.5時(shí)，U2>U1>U3。所以在CARA效用函數(shù)下，最小CVaR對(duì)沖策略是最優(yōu)的，最小VaR對(duì)沖策略次之，而最小方差對(duì)沖策略的期望效用是最低的。

圖4 CARA效用函數(shù)下的期望效用之比

圖5 CRRA效用函數(shù)下的期望效用之比

(4)CRRA效用函數(shù)

根據(jù)(31)式可得，在CRRA效用函數(shù)下，三種對(duì)沖策略的期望效用分別為：

(37)

上式不能得到一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，但是在給定參數(shù)γ的條件下，可以通過(guò)數(shù)值積分計(jì)算得到三種對(duì)沖策略的期望效用值。所以通過(guò)設(shè)定一系列的γ值，計(jì)算得到相應(yīng)的期望效用函數(shù)值；由于風(fēng)險(xiǎn)偏好者沒(méi)有規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的需求，所以我們不考慮γ>1(此時(shí)對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)偏好型投資者)的情形；同上，我們定義如下指標(biāo)來(lái)比較三種對(duì)沖策略的期望效用大小：

(38)

圖5顯示三個(gè)指標(biāo)隨參數(shù)γ變化的趨勢(shì)。從圖中可以清晰看到，b1<1，所以可得U2>U1；b2>1，從而可得U1>U3；b3>1，所以可得U2>U3。綜上可得U2>U1>U3，即最小CVaR對(duì)沖策略是最優(yōu)的，最小VaR對(duì)沖策略次之，最小方差對(duì)沖策略的期望效用最低。

基于以上的實(shí)證結(jié)果可知，風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)、CARA效用函數(shù)和CRRA效用函數(shù)下的期望效用比較結(jié)果都一致表明：最小CVaR對(duì)沖策略是最優(yōu)的，最小方差對(duì)沖策略是最差的，而最小VaR對(duì)沖策略表現(xiàn)居中。二次效用函數(shù)下的比較略有不同，這是由于二次效用函數(shù)不僅關(guān)心均值收益，還關(guān)心波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)β較小時(shí)，人們更關(guān)心波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)最小方差對(duì)沖策略更優(yōu)；而當(dāng)β較大時(shí)，人們更關(guān)心均值收益，此時(shí)仍然可以得出：最小CVaR對(duì)沖策略最優(yōu)，最小VaR次之，而最小方差對(duì)沖策略是最差的。所以，基于期望效用理論得到的比較結(jié)果較為一致，從而有效解決了將風(fēng)險(xiǎn)下降比率作為風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率指標(biāo)，卻因風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)不同而得到不同比較結(jié)果的問(wèn)題。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在分布不確定的背景下，運(yùn)用非參數(shù)核估計(jì)方法對(duì)VaR和CVaR進(jìn)行估計(jì)，得到二者的核估計(jì)量，進(jìn)而將二者的核估計(jì)量嵌入風(fēng)險(xiǎn)最小化模型建立風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化問(wèn)題同時(shí)進(jìn)行，并討論了模型的一階必要條件和二階充分條件。進(jìn)一步地，與傳統(tǒng)文獻(xiàn)僅將風(fēng)險(xiǎn)下降比率作為風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率指標(biāo)不同，我們引用期望效用理論來(lái)比較最小方差、最小VaR和最小CVaR對(duì)沖策略的期望效用，從而解決了現(xiàn)有文獻(xiàn)僅將風(fēng)險(xiǎn)下降比率作為風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率指標(biāo)，卻因風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)不同而導(dǎo)致比較結(jié)果不一致甚至互相矛盾的問(wèn)題。在核估計(jì)框架下，我們推導(dǎo)了四種效用函數(shù)的期望效用估計(jì)式，并基于滬深300股指期貨現(xiàn)貨的市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。四種效用函數(shù)的期望效用比較結(jié)果表明：最小CVaR對(duì)沖策略優(yōu)于最小VaR對(duì)沖策略，而最小VaR對(duì)沖策略優(yōu)于最小方差對(duì)沖策略(二次效用函數(shù)下當(dāng)參數(shù)β較大時(shí))。該結(jié)論具有較好的一致性，所以期望效用理論能夠給出比較一致的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率的比較結(jié)果。

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RiskHedgingStrategiesandItsUtilityunderDistributionalUncertainty

HUANG Jin-bo1, LI Zhong-fei2

(1.School of Finance, Guangdong University of Finance & Economics, Guangzhou 510320, China;2.Sun Yat-Sen Business School, Sun Yat-Sen Universtiy, Guangzhou 510275, China)

Value-at-Risk (VaR) and Conditional Value-at-Risk (CVaR) are two main popular risk measurement tools presently. However, the present study on risk hedging problem with VaR (CVaR) is mostly carried out under specific distribution assumptions, which is prone to resulting in model risk and limiting its scope of application in practice. In addition, the traditional literature only defines risk reducing ratio as the risk hedging efficiency index, but different risk measure indices often induce inconsistent or even contradictory results. Therefore we need to seek a hedging efficiency index which is independent of risk measure indices.Method:To overcome the shortcomings above and improve existing results, the nonparametric kernel estimation method is introduced to estimate VaR and CVaR without a distribution assumption, and then the risk hedging model is constructed based on the VaR and CVaR kernel estimators, which can avoid the ex-ante model risk and parametric estimation error. In addition, expected utility theory is further applied to compare the hedging efficiency of risk-minimizing hedging strategies so as to avoid the inconsistent or even contradictory comparison results that are often induced by different risk decline ratios in traditional literatures.Data:The historical data of CSI 300 stock index and its futures is collected to test the theorem above. The data window ranges from April 16, 2010 to February 11, 2015, a total of 1172 daily data.Results: The empirical results based on CSI 300 index futures and spot market data show that four kinds of utility functions used by financial economics confirm consistently that minimum CVaR hedging strategy is more efficient than the minimum variance and the minimum VaR hedging strategies.Future research: The purpose of this paper is to provide a research framework which studies hedging problem under distribution uncertainty using kernel estimation method and expected utility theory. The research framework can be easily applied to hedging efficiency problem of other derivatives or other risk measure indices. So this paper provides a new research perspective for other scholar's related research.

risk hedging; expected utility; distributional uncertainty; kernel estimation

1003-207(2017)01-0001-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.01.001

2015-08-24；

2016-06-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71231008, 71603058, 71573056)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目(16YJC790033)；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M562246)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014A030312003, 2016A030313656)；廣東省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目(GD15YYJ06, GD15XYJ03)；廣州市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目(15Q20)；廣州市社會(huì)科學(xué)界聯(lián)合會(huì)2016年“羊城青年學(xué)人”研究項(xiàng)目(16QNXR08)

李仲飛(1963-)，男(漢族)，內(nèi)蒙古鄂爾多斯人，中山大學(xué)管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，長(zhǎng)江學(xué)者，博士，研究方向：金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理，E-mail: lnslzf@mail.sysu.edu.cn.

F830.9

A