關(guān)于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識及教學(xué)設(shè)計

翟全禮

摘 要：該文提出了對高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法的一些認(rèn)識和理解，應(yīng)用于教學(xué)設(shè)計及課堂實(shí)踐可以提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)課程體系中最重要的一門公共基礎(chǔ)課程，對其教學(xué)方法的選擇與課程的教學(xué)設(shè)計直接影響課程的教學(xué)質(zhì)量與品位。在長期的教學(xué)實(shí)踐中，我們對課程不斷有新的認(rèn)識，有的堅(jiān)持多年，并且取得了良好的效果。在此提出供年輕教師和學(xué)生參考，也與同行相交流。

關(guān)鍵詞：概念 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）12（b）-0186-02

1 重視緒論課的教學(xué)及對學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)

在教學(xué)過程中重視微積分發(fā)展史的作用，明確高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)不僅有應(yīng)用工具功能，更有文化的功能。高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的主體是微積分，它是與牛頓力學(xué)一起誕生的，成為近現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)和開端。微積分是人類社會2000多年來探索世界的偉大智慧結(jié)晶，是寶貴的人類文化精神財富，代表了從古希臘開始一直到近現(xiàn)代無數(shù)智者們探求真理的可貴精神。高等數(shù)學(xué)課程一開始就應(yīng)該重視微積分發(fā)展史的（重要事件、重要人物）介紹，并且給學(xué)生介紹正確的數(shù)學(xué)觀，樹立起對高等數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)、地位、作用的正確認(rèn)識，讓學(xué)生明確認(rèn)識到高等數(shù)學(xué)課程在自己的知識結(jié)構(gòu)、思維品質(zhì)培養(yǎng)等等方面都有必不可少的重要作用。在實(shí)際教學(xué)中，無論多少學(xué)時、無論是什么性質(zhì)的課程，我們都堅(jiān)持課程第一講講好緒論課。例如，在高等數(shù)學(xué)課程的第一次緒論課中，教學(xué)設(shè)計分3個部分：第一部分：引言，含課程簡介、課程預(yù)備知識、教材與參考書；第二部分：關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識與學(xué)習(xí)，含數(shù)學(xué)特點(diǎn)、微積分發(fā)生與發(fā)展史簡介、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度與方法；第三部分：映射與函數(shù)。其重點(diǎn)和主要內(nèi)容是第二部分，這部分內(nèi)容在以后的教學(xué)中會經(jīng)常提及和用到。

2 如何認(rèn)識和處理高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的概念

“概念”作為高等數(shù)學(xué)課程的基本內(nèi)容，其重要性顯而易見，似乎不言自明。但如何讓學(xué)生了解、切實(shí)體會到數(shù)學(xué)概念的重要性進(jìn)而真正重視概念的思考與學(xué)習(xí)卻是教學(xué)中的一個難點(diǎn)。我們認(rèn)為樹立廣義上的“數(shù)學(xué)概念觀”，掌握確定課程內(nèi)容重點(diǎn)的方法，不論對教師的教學(xué)設(shè)計與具體實(shí)施，還是對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程都有很好的促進(jìn)作用。

有相當(dāng)部分的學(xué)生常常只是注意教材中的公式、定理（法則）、計算方法，滿足于會解練習(xí)題（并且多是教師歸納的類型）。但這對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)幫助很有限。這種缺乏重視概念的現(xiàn)象實(shí)際上在中學(xué)階段就比較普遍地存在了。當(dāng)時的應(yīng)試壓力、應(yīng)試教育使得平時學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)功利性很強(qiáng)，一定程度上影響了（教師、學(xué)生）對數(shù)學(xué)概念深入探究的主動性和積極性，從而導(dǎo)致對數(shù)學(xué)基本概念的重要性認(rèn)識不足、著力不夠。對于定理、公式的態(tài)度也是記結(jié)論多，而對相關(guān)定理、公式的來源、推導(dǎo)過程（嚴(yán)重）缺乏了解。比如，計算數(shù)列極限時有要用到等差數(shù)列、等比數(shù)列前若干項(xiàng)的和的計算。在作業(yè)中有不少同學(xué)用錯公式（求前n項(xiàng)和做對的多，但若前n+1項(xiàng)或其他的項(xiàng)數(shù)的情形算錯的比例就比較高）。事實(shí)上，若當(dāng)時學(xué)習(xí)不僅滿足于會套用公式，而且明確要求求和公式的推理，更強(qiáng)調(diào)公式的尋求過程，那么會使學(xué)生更容易掌握這些公式，很少用錯。因?yàn)楦鶕?jù)等差或等比概念的特點(diǎn)尋求和推導(dǎo)求和公式的過程既簡潔又極富啟發(fā)性，還有有趣的歷史典故提供，可增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。筆者在教學(xué)中糾正學(xué)生錯誤時都會給學(xué)生補(bǔ)上這一課。過去楊振寧、陳省身大師都曾講到過最初接觸這部分內(nèi)容時他們所受的觸動，而令他們對此印象深刻。簡潔、有力、巧妙，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美學(xué)價值。教學(xué)中提示學(xué)生不僅要會做題，而且要逐漸學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的美，達(dá)到心理上的愉悅感，進(jìn)而主動把握數(shù)學(xué)思想。

高等數(shù)學(xué)上的概念究竟指什么？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)上的概念不能簡單理解為僅是指教材上的定義與相關(guān)術(shù)語，應(yīng)該對數(shù)學(xué)概念有更寬泛的理解。數(shù)學(xué)上的概念不僅是指定義本身，而且還包括引入概念的背景、動機(jī)以及應(yīng)用的前景。對于教學(xué)基本要求或大綱中的“理解某某概念”教師和學(xué)生如何確切的認(rèn)識呢？筆者認(rèn)為對高等數(shù)學(xué)概念的理解，學(xué)習(xí)者應(yīng)該注意如下幾方面。

（1）對該概念的來源和動機(jī)原因、具體背景必須有一定了解。（這樣的例子有：極限、導(dǎo)數(shù)、積分等等概念。）

（2）能自如準(zhǔn)確地描述概念定義。

（3）了解定義中的關(guān)鍵和精細(xì)的地方。

（4）熟悉（熟練推導(dǎo)）定義所衍生出的最基本性質(zhì)（反映概念的屬性與意義）。

（5）明確或了解概念的價值與應(yīng)用（前景）以及與其他前后概念的聯(lián)系。

只有對所有這些做充分工作，才算稱得上是對該數(shù)學(xué)概念有較全面的“理解”。

從這樣的意義上認(rèn)識，可以將數(shù)學(xué)概念看作是一個“概念場”，而不只是僅僅將數(shù)學(xué)概念視為孤立的一個定義。

在教學(xué)中，樹立這樣的一種廣義概念觀，并以此指導(dǎo)教學(xué)的設(shè)計與教學(xué)過程應(yīng)是很有意義的。對學(xué)習(xí)者而言，對課程的概念學(xué)習(xí)會有所依據(jù)、更有成效，為整個課程的學(xué)習(xí)創(chuàng)造良好基礎(chǔ)。

3 如何確定高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)與非重點(diǎn)問題

準(zhǔn)確確定高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)與非重點(diǎn)的問題，無論是對于學(xué)生抑或是年青教師都是不太好把握的事情。總覺得有關(guān)權(quán)威部門確定課程基本要求或大綱指出了重點(diǎn)、一般知識點(diǎn)、難點(diǎn)，這些是依據(jù)。其實(shí)對于一本書、一門課，其內(nèi)容的重點(diǎn)應(yīng)該是客觀存在的。我們建議學(xué)生或新參加教學(xué)的年輕教師用下面簡單的方法判別。

一個概念、定理、法則或方法，如果它與前、后的知識點(diǎn)聯(lián)系較多、聯(lián)系密切，則它便值得高度重視或者說它應(yīng)該是個重點(diǎn)內(nèi)容。反復(fù)出現(xiàn)的旋律不可能是小插曲，而是重點(diǎn)旋律，聯(lián)系最多的就是最重要的地方，是主旋律（主重點(diǎn)）。比如微積分中的函數(shù)極限與連續(xù)概念就是重點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)（或微分）與積分也是上述所講的重點(diǎn)。

準(zhǔn)確地確定課程的重點(diǎn)，準(zhǔn)確地確定某一章節(jié)的重點(diǎn)，對于合理、有效率的教學(xué)設(shè)計都是有較大價值的，對于學(xué)生學(xué)習(xí)也有比較大的幫助。

4 在課程中適度引入數(shù)學(xué)軟件增強(qiáng)教學(xué)效果

在現(xiàn)代信息社會，一門數(shù)學(xué)課程，尤其是給工科、經(jīng)管類開設(shè)的數(shù)學(xué)課程，如果仍然只是紙筆運(yùn)算的話，就顯得缺乏應(yīng)用性了。在教學(xué)中使用Mathematica軟件，在傳統(tǒng)所講運(yùn)算之外，增加了稱之為“機(jī)算”的項(xiàng)目，比如求極限（Limit），求導(dǎo)（D），求積分（Integrate），求解微分方程（DSolve），繪制顯函數(shù)圖形（Plot），繪制隱函數(shù)圖形（Contour Plot）等等，所化課時不多，但極大擴(kuò)展了紙筆運(yùn)算，為使學(xué)生今后實(shí)際運(yùn)用數(shù)學(xué)創(chuàng)造了條件。目前，將數(shù)學(xué)軟件引入課堂，也早已有了不少嘗試，但還遠(yuǎn)沒有成為數(shù)學(xué)教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)配置。當(dāng)各種教改項(xiàng)目過后，有許多成功的經(jīng)驗(yàn)也沒能堅(jiān)持下來。其中原因之一是教師。原因之二是缺乏合適的教學(xué)材料，有些經(jīng)典的教科書甚至完全沒有涉及到數(shù)學(xué)軟件的內(nèi)容，這也與中學(xué)新課標(biāo)內(nèi)容的相關(guān)努力（已有圖形計算器及幾何畫板等軟件處理的材料）不一致，在此也建議經(jīng)典優(yōu)秀的教材跟上信息化的步伐，為數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)代化做出其應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.高等教育出版社，2014：7.