有限長序列的定義及z變換的討論

譚志存

摘要：本文在基于嚴格數學語言及給典數學理論的基礎上，對《數字信號處理》教材中有限長序列的概念的定義指出不足，并就此問題進行了分析與討論，給出有限長序列較為準確的定義，最后再對有限長序列的z變換給出嚴格的定義。

關鍵詞：序列；z變換；收斂域

有限長序列是《數字信號處理》教材中z變換部分的內容，關于有限長序列的概念及其z變換在教材中各有說法，這些說法初看都是一致，但是仔細推敲后，發現其中存在不少問題，本文就對此問題進行分析與討論。

1問題的提出

教材[1]對“有限長序列及z變換”是這樣描述：

如果序列取非零值的區間是有限長的，稱該序列為有限長序列。有限長序列可以用下式表示：

（1）

式中， 和 是整常數。該式表示有限長序列 從 到 的序列值不全為0，但該范圍外序列值全為0。有限長序列的z變換為 （2）

如果序列取值小于無窮大，稱該序列是有界序列，這里假設序列 為有界序列，收斂域如下

本人認為上述內容存在幾方面問題，現進行討論。

2分析與討論

一、自相矛盾

在式（1）中， ，而在式（2）中 卻可以取 和 ，即 。按照定義，應該是 。所以式（1）改寫為

（3）

二、式（3）并不能符合有限長序列的定義“序列取非零值的區間有限長”。

若存在序列滿足

非零值的區間長度是 ，那么按照有限長序列的定義（3），有限長序列 可以寫成

（4）

可以看出，這里 ，

但是，按照有限長序列的定義（3），有限長序列 也可以寫成下面的形式

（5）

這里 均是正整數，可以看出， 。同一個有限長序列有不同的 和 ，很明顯用公式（3）作為有限長序列的定義式是不妥當的。同時，我們發現不同的 和 對z變換的收斂域是有決定性影響的，正如教材[1]中所述：

如果 且 ，則此時 ，那么z變換的收斂域應該是

如果 且 ，則此時 ，那么z變換的收斂域應該是

所以，對同一個序列的z變換收斂域會出現兩種情況，也是不正確的，再次說明用公式（3）作為有限長序列的定義式是不妥當的。

因此，為了式（3）符合有限長序列的文字定義“序列取非零值的區間有限長”。由上述分析，可以將式（3）改寫成：

（6）

所以，對于“有限長序列”的概念不能顧名思義，即“有限長序列”并不一定是“有限長的序列”，而是它取非零值的區間是“有限長”。

三、將“有限長序列”與“有界的有限長序列”兩個概念混為一談

教材[1]在獲取有限長序列z變換的收斂域的一般形式是基于“假設序列 為有界序列”，那么按照經典數學理論，有限長序列 有界僅僅是它的一種情況，讀者會問：“既然假設序列 為有界序列得到了它的z變換收斂域的一般形式，那么當序列 不是有界序列時，它的z變換又是怎樣的呢”？可是教材中并沒有對這一種情況進行說明。也就是說，它將“有界的有限長序列”z變換的收斂域當成了“有限長序列”z變換的收斂域，混淆了這兩個概念。

綜上所述，為了避免這一嫌疑，有兩種途徑可以解決：一是可以在定義有限長序列時，將“有界”這一約束條件加進去；二是在教材“假設序列 為有界序列”的基礎上，再加上“假設序列 為無界序列”這一情況。這樣能較好體現經典數學思想的嚴謹性。

四、有限長序列z變換的收斂域的具體表示不夠嚴謹

在經典數學理論中，我們有

，而 無意義

也就是“零的非正數次方無意義”。

有限長序列z變換收斂域的具體形式，文獻[1-5]全都一致，重寫如下

（7）

（8）

（9）

我們知道有限長序列 的z變換的公式為

（10）

當 時，依據式（10）將它展開為

（11）

如果 ，式（11）變為

（12）

按照“零的非正數次方無意義”這一數學理論，式（12）中的z不能為0，而式（7）中收斂域可以取 （即 ）。因此式（7）應表述為：

或者表述為

（13）

更為簡潔，因為在式（6）中已經隱含了 ，再由 肯定能推得 。

所以，由上面對式（7）的討論，又可以將式（8）進行適當擴大，即

或者

（14）

對于式（9），可以變形為

（15）

綜上所述，本文將有限長序列z變換收斂域更為嚴格的表示如下：

（16）

3結束語

本文對教材中兩個問題進行的分析與討論，都是基于經典數學理論。z變換及其收斂域作為《數字信號處理》課程中的重要內容，它的基礎也應該建立在嚴密的數學理論之上。數學是嚴謹的，以大量數學推導為特點的《數字信號處理》也應該是嚴謹的。

參考文獻：

[1]Monson H.Hayes， Digital Signal Processing [M]. The McGraw-Hill Companies 1999.P114.

[2]陳樹新.數字信號處理[M].高等教育出版社， 2005. P58-59.

[3]丁玉美，高西全.數字信號處理（第二版）[M]. 西安：西安電子科技大學出版社， 2001. P43-45.

[4]丁玉美，高西全.數字信號處理[M]. 西安：西安電子科技大學出版社，2005. P51-57.

[5]程佩青.數字信號處理教程[M].北京：清華大學出版社，2001. P44-45.