基于系統觀的新授教學*
——以人教版“18.1平行四邊形”為例

☉江蘇如皋市石莊鎮初級中學 印冬建

基于系統觀的新授教學*
——以人教版“18.1平行四邊形”為例

☉江蘇如皋市石莊鎮初級中學 印冬建

系統是自然界物質的普遍存在形式，它是由一些相互聯系、相互制約的若干要素組成的有機整體.對于數學及數學教學，系統是同樣存在而且能夠發揮作用的.為了避免學生在數量龐大的知識和錯綜復雜的關系中不知所措，我們可以用系統觀來指導、組織與實施數學教學，以便學生能有序地獲得數學知識并將其彼此關聯起來形成網絡.任何一次數學新授教學，是基于原有數學認知系統的再“出發”，為了使系統得到有序的擴充與完善，我們常用整體建構的方式展開教學，力求形成新“四基”的“生長點”和學生核心素養發展的“著力點”.近期，筆者在新疆伊寧市六中送教時開設了基于系統觀的新授課“18.1平行四邊形”，現結合這節課的部分教學片斷談談筆者的一些做法，供大家交流.

一、創設問題情境，梳理舊知系統

根據維果斯基的最近發展區理論，學科教學應“生于斯，而長于斯”.這里的“斯”就是學生已有的知識基礎和經驗基礎.基于系統觀分析，這些知識與經驗構成了一個舊知系統.在學生獲取新知前，我們有必要通過一定問題情境來引導學生梳理已經獲得的知識與經驗，使其已有的舊知系統逐步明晰，為系統的進一步豐富、完善與發展鋪墊.

【教學片段1】問題：圖1中有哪些你熟悉的四邊形？你學過關于這些圖形的哪些知識？

圖1

在學生認真觀察的基礎，教師要求他們在小組中交流各自看到的圖形及與這些圖形有關的知識.在全班交流時，學生對隱藏在圖形中的平行四邊形、矩形、菱形和正方形等進行了逐一陳述，教師將其同步投影展示并進行了板書，形成了“網絡圖”，如圖2.

圖2

片段簡析：在小學中，學生已經較為全面地認識了平行四邊形.從一、二年級的“看圖說話”開始，他們先后從“形”的角度認識了平行四邊形、矩形（小學中稱之為“長方形”）、菱形及正方形等，簡單梳理了這些圖形所具有的性質，并基于性質抽象出了部分圖形的周長公式和面積公式.初中階段的平行四邊形教學，理應基于學生這些已有知識與經驗展開.因此，在“引入新知”環節，教者呈現了一個融合了多種已學圖形的復合圖形，讓學生在陳述圖形名稱的過程中將其逐一抽象出來，有序地投影并展示在黑板上，形成了圖2中的舊知系統.這一系統與學生即將形成的新知系統是緊密關聯的，與四邊形相關的新知系統是這一舊知系統自然演繹發展得到的.平行四邊形的知識與經驗系統的形成，不是另起爐灶式地簡單重建，而是基于原有四邊形系統的有序疊加和深度拓展.顯然，教者精心設計的回顧與梳理搭建了后續學習的基本框架，有利于學生從整體上把握四邊形的知識，更有利于知識、經驗的有序疊加和順利“著陸”.

二、設計多元活動，完善知識系統

對任何一節數學課而言，知識系統的完善都是最為重要的任務.而完善知識系統除了學生的積極參與，最為主要的是教師為之創設的探究活動.

為了能夠深度吸引學生，教師不僅要關注探究活動的數量，還應關注其質量，要能引發學生的數學思考，實現有效生成.為了使知識能有效附著于舊知系統之上，活動設計還應重視活動生長點的設計，要讓探究成為“有源之水，有本之木”.

【教學片段2】

活動1：自主作圖，抽象概念.

學生活動：作一個平行四邊形，并在小組中交流自己的作圖過程.

2分鐘后，教師請一名學生到黑板上作圖展示，其他學生觀察并交流其作圖過程，在此基礎上抽象并板書平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.接下來，教師讓學生類比三角形給出了平行四邊形的符號表示方法，并引導學生從定義和判定兩個角度用符號語言解讀概念.

活動2：猜想驗證，歸納性質.

（1）觀察所作的平行四邊形，你發現除了對邊平行的位置關系，它的對邊之間、對角之間還有怎樣的數量關系？請把你的猜想寫在下面的橫線上.

猜想：____________，____________.

（2）類比三角形性質的研究，我們可以通過演繹推理證明這兩個猜想.

如圖3，四邊形ABCD是平行四邊形.

求證：AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠B=∠D.

5分鐘后，教師組織學生交流，并引導學生分別在圖3中作出推導兩個結論時添加的輔助線——對角線AC、BD，從而進一步探究獲得性質定理“平行四邊形的對角線互相平分”.在探究交流過程中，教師將學生歸納得出的三個性質定理在黑板上逐一呈現，形成板書，如圖4.

……

活動3：小結全課，梳理延伸.

請在小組中交流以下問題：

（1）本節課我們學習了平行四邊形的哪些知識？

（2）對于平行四邊形，你覺得還需要進一步研究什么？

在接下來的全班交流中，教師結合學生的回答將原有板書中的文本框了起來，并給接下來要研究的“判定”留下了板書區域，用“？”代替了可能會出現的判定方法，如圖4.

圖3

圖4

片段簡析：知識教學是數學新授課教學最為重要的內容.單元起始課教學，在關注知識全盤呈現的同時，我們還應注意知識的有序呈現.基于系統觀的教學，應重視知識的整體有序呈現.“平行四邊形”的單元起始課，主要的教學內容有平行四邊形的定義、表示方法、性質及兩平行線間的距離等知識，知識的數量較多，且較為零散.為了幫助學生將這些知識有序地“歸攏”，教師設計了多種不同的數學活動：為了歸納定義，教師讓學生“自畫自說”，用具體操作形成抽象定義的情境；以觀察猜想引導學生發現圖形中可能存在的結論；以演繹推理驗證結論，說明了結論的正確與可行……在知識的呈現方式上，教師基本遵循了教材編排的順序，但有意為之的板書讓原本零散分布于教材中的知識點很好地鏈接在一起，形成了本節課的知識系統.

三、強化文圖轉譯，豐富語言系統

數學，有著自己獨特的語言系統.初中階段的數學語言，一般包括文字語言、圖形語言和符號語言.想要豐富和發展學生的數學語言系統，較為常用的就是進行語言轉譯訓練.即借助對數學學習中遇到的圖形、文本和符號之間關系的不斷、反復明晰，提升學生的語言轉譯能力，使其原本匱乏的數學語言系統得以“豐盈”.

【教學片段3】

在學生抽象出平行四邊形的定義后，教師對定義進行了如下追問：

（1）結合你自己作出的圖形說說，什么樣的四邊形是平行四邊形？

（2）平行四邊形的對邊之間有著怎樣的位置關系？

在交流問題（1）時，學生給出了“根據定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”的純文本結論，教師讓學生結合圖3用符號語言表示如下：

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

對于問題（2），教師同樣是先讓學生給出文本結論，然后用符號語言描述：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC.

最后，教師引導學生小結：學習一個幾何圖形的定義、性質或判定，我們應從文字語言、圖形語言和符號語言三個方面來認識它，要努力嘗試將發現的結論用這三種語言逐一呈現.這樣的反復訓練，將有利于提升自己分析問題和解決問題的能力.

片段簡析：數學語言的教學是初中數學教學的重要組成部分，幫助學生形成較為完整的數學語言系統應成為整個學段的核心教學任務.在這節課上，自教學引入環節開始，教師引導學生先后進行了多次圖形、文字與符號這三種基本幾何語言的轉譯訓練，這樣有計劃、有組織圍繞某一定理展開的看、說、讀、寫的訓練，對于已經有著一定語言轉譯經驗的八年級學生來說是大有益處的：一方面是對過去經驗的喚醒，看圖說話與讀句畫圖的經驗學生早已有之，只不過不用時它們就會處在其語言系統深處，在新授課上，這樣的活動對于經驗的喚醒是十分有必要的；另一方面，不斷反復的訓練將會進一步強化這些已有的經驗，使其能夠穩穩當當地在數學語言系統中“扎根”，這對今后進一步的數學學習是非常重要的.

四、做好歸納小結，發展經驗系統

根據小結時點和內容的不同，我們可以將課堂小結分為階段性小結（亦稱即時小結）和終結性小結.其中，終結性小結一般安排在課時末端，是對全課所學的總結.這種總結的內容較多，既包括所學知識的梳理，也包括獲得經驗的歸整，還可以有一些對存在問題的反思.當然，學生經驗系統的完善與發展不僅離不開終結性小結的全程回顧，還需要階段性小結的短時梳理.“經驗的獲得源于時刻的反思和點滴的積累”，在課堂教學中，那些可能成為經驗的知識一旦出現，我們就應立即組織學生展開交流，對已經形成的“小系統”整理展示，使其能及時并精準地附著于學生已有的經驗系統之上.對任何一節數學課，這兩種類型的小結都是不可缺失的.

【教學片段4】

1.階段性小結.

當教師引導學生用符號語言給出平行四邊形定義的“雙重結論”后，教師提問：對于一個新的圖形定義，我們應從哪些方面進行解讀？進而引導學生歸納：任何一個圖形定義都有雙重性，既可以是“圖形的性質”，也可以是“圖形的判定”.

2.終結性小結.

教師在學生對本文片斷2中“活動3”的兩個問題交流好后，提出第三個問題：在本節課上，從哪些方面認識了平行四邊形？（圖形、定義、性質等方面）并就此展開一系列的追問：對平行四邊形的探究是從哪里開始的？（圖形）接下來，我們學習了什么？（定義和性質）根據你的經驗，后面幾課我們將會學習平行四邊形哪方面的知識？（平行四邊形的判定）

片段簡析：基本活動經驗是學生數學學習的重要“產物”，它是學生進一步進行數學認知活動必備的“四基”之一.不管什么版本的教材，幾何知識的認知歷程都有內在規律可循，這種規律就是學生應該積淀的認知經驗.正如片斷中的“定義具有‘雙重性’”和幾何圖形的認知“路徑”，這些學生新獲得的或原有的經驗都應成為課堂小結的重要內容.只有像片斷中那樣，緊扣每一個教學環節進行小結歸納，學生的經驗系統才有可能不斷地豐富與發展.也只有這樣，當類似的問題再度出現時，學生才有可能真正學會從經驗系統中提取出有用的基本經驗并將其應用到問題的分析與解決進程中去.

系統觀，是指用系統的觀念看自然界.在義務教育階段的數學學習中，學生所要面對的是數學“四基”這一“自然界”，它自成系統，數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗都是這一系統的重要組成部分.因此，我們應用系統觀來指導數學教學，力求使學生的每一次認知活動都成為已有系統的完善與發展，讓原本“單薄”的數學知識、經驗、技能系統逐步“羽翼豐滿”，服務于學生的進一步學習與生活.對此，筆者充滿了期待.

1.王用華，李海東，孫延洲.基于學科本質與整體建構的教學探索——以人教版“平行四邊形及其性質”一課為例［J］.中小學教材，2015（11）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研發中心.義務教育教科書數學八年級上冊［M］.北京：人民教育出版社，2013.

*本文為江蘇省教育科學“十二五”規劃立項課題“農村初中復式分組教學的實踐與研究”（E-c/2015/24）的研究成果，本文作者系該課題主持人.