強化分析引導注重方法積累提升學習素養
——初中數學解題教學的探索與實踐

☉江蘇張家港市港區初級中學 王維英

強化分析引導注重方法積累提升學習素養
——初中數學解題教學的探索與實踐

☉江蘇張家港市港區初級中學 王維英

數學學習離不開解題，數學研究的過程就是解決問題的過程，數學研究的成果也都是用問題及其解決的形式記錄下來的.數學教學有重視解題的優秀傳統，人們相信，掌握數學知識的一個重要標志就是善于解題.事實也是如此，只有充分掌握了數學的基礎知識、基本技能、基本數學方法和一定的解題技巧，才能真正應用數學知識解決問題.因此，作為數學教師，在教學中既要重視數學的基本概念、基礎知識的傳授，也要加強數學解題方法、技能的教學，幫助學生理解概念、鞏固知識、掌握方法、積累解題經驗，形成一定的解題技巧，提高數學教與學的有效性.以下是本人對初中數學解題教學探索與實踐的幾點體會，與廣大一線教師分享，期望對一線教師的解題教學有所幫助.

一、引導學生學會知識的鏈接，激活自身的知識儲備

數學解題的過程，實際上就是知識鏈接的過程，需要學生充分調動自身的知識儲備，實現知識由此及彼的相互轉移和轉化.如果將題目中提供的相關條件看作信息源，那么由此展開的所有信息輻射，就是對學生原有知識的激活.而這里所說的“激活”，指的就是知識之間的有機聯系，從而形成新的思維鏈，促使學生在新的思維過程中獲得啟迪，提高學生的解題能力.

例1已知二次函數圖像的頂點坐標為（-2，-3），且圖像過點（-3，-2），求這個二次函數的解析式.

【分析引導】通過已知條件可以看出，這是一道求二次函數解析式的題目.教師在指導學生解題時，要從已知條件開始入手，引導學生選擇合理的解析式.已知函數圖像的頂點坐標為（-2，-3），所以應選用頂點式，這樣只需要將點（-3，-2）代入y=a（x+2）2-3，求得a的值，從而確定這個二次函數的解析式，減少了計算步驟，提高了解題的正確率.

【教學思考】通過上述問題的求解，教師還可以引導學生聯想利用“待定系數法”求解函數解析式的四部曲：①設，即設解析式；②列，即列方程或方程組；③解，即解方程或方程組；④代，即代到相關解析式中.利用這種聯想思維，可以將相關知識聯系在一起，構成一系列微型的知識體系，為學生形成正確的解題思路鋪路架橋.因此，數學教師在指導學生解題時，一定要注重培養學生由此及彼、由淺入深、由果及因的聯想思維，充分激活學生所有的知識儲備.

二、正確利用數學概念的思辨，掌握基本的解題方法

數學概念是數學中的基礎知識，大多數數學概念都比較抽象，學生理解起來比較困難.

概念的辨析是進一步深化對概念的理解最有效的途徑，通過適當的變式、概念形式的變形或不同概念之間相互關系的比較以實現對概念本質的認知.在此過程中，我們還可以引導學生的思維活動、激發學生的思維靈感、記錄他們思維的過程、展示他們思維的結果，從而可以大大地提高學生的思維品質.為此，教師要通過探究方式進行引導，幫助學生利用好數學概念的思辨，把握基本的解題方法和策略.

【分析引導】若將一個分式方程去分母后得到的整式方程是一元一次方程，那么，分式方程的無解就有如下兩種可能：一是這個一元一次方程無解；二是這個一元一次方程的解是原方程的“增根”.上述方程可化為2（x+2）-mx-2=3（x-1），整理，得（m+1）x=5.若原方程無解，需要考慮兩種情形：（1）當m=-1時，方程（m+1）x=5無解，此時，原方程也無解；（2）當m≠-1時，方程（m+1）x=5有解，為，由題意得是原方程的增根，所綜上所述，當

【教學思考】概念的應用是概念鞏固的重要環節，也是數學知識的外化過程.在這個過程中，我們要引導學生將原有的知識系統與新知識進行整合與內化，找到概念間的異同與內在聯系.更要讓學生運用比較、分析、假設、推理等多種思維方式，進行新、舊概念間的比較、歸類、整合，修正原有知識體系中的謬誤，建立知識與應用之間的橋梁，提高知識的應用能力，促進學生對概念的內涵與外延的理解.通過充分的外化過程，實現數學知識的內化.

三、合理采用化繁為簡的方式，把握適當的解題技巧

初中數學教學中，非常注重基礎知識、基本技能的教學與傳授.因此，學生基本知識的積累比較好，基本解題方法就掌握得比較牢固.在解題教學和學生的練習題中，大多數問題是緊緊圍繞當堂課的教學內容設置的.但是，為了培養學生的綜合素質，提高學生的綜合能力，訓練學生的多元化思維意識，培養學生發散式、創新性的思維方式，有些習題的設置往往會將前后知識進行綜合，凸顯比較多的難點，促使學生必須采用多樣化思維方式，才能作出正確的解答.

例3已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經過點（-1，7），與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，若|x1-x2|=3，并且該函數圖像的對稱軸為直線x=1，求這個二次函數的解析式.

【分析引導】本題的難點在于條件“|x1-x2|=3”的使用，如果直接利用求解的話，一是需要用到韋達定理，超出了課標的要求，二是運算量非常大，難以求得正確的結果.若利用“|x1-x2|=3”，結合“圖像的對稱軸為直線x=1”，我們就會很容易發現二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的交點這樣的條件轉化需要學生有扎實的基礎知識、很強的幾何直觀能力.于是我們可以設二次函數的解析式為，將點（-1，7）的坐標代入得a=4，所以這個二次函數的解析式為

【教學思考】著名的數學家波利亞曾說過：“當原問題看起來不可解時，人類的高明之處就在于會迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某個適當的輔助問題.”采用化繁為簡的解題策略，不但大大提高了學生的解題速度，而且有效培養了學生的發散思維能力，更有利于提高學生的綜合素質.

四、注重培養正反轉化的意識，提高學生的解題能力

一般情況下，我們在解決數學問題時，都習慣從已知條件出發進行順向思考，然而，事物往往具有可逆性特征，很多事物都是互為因果的.如果在順向思維出現阻礙時，應考慮逆向思維.因此，教師要指導學生在運用順向思維解決問題出現困難時，可以考慮從問題的對立面（反面）進行思考，適度地掌握逆向思維的解題策略，發展學生的思維品質，提高學生的學習素養.

例4已知關于x的一元二次方程x2+2x+a=0和x2+ 2ax+3=0，若這兩個方程中至少有一個方程有實數根，求a的取值范圍.

【分析引導】我們把x2+2x+a=0記為方程①，x2+2ax+ 3=0記為方程②.如果從正面考慮這一問題，需要從三個方面來考慮：（1）方程①有實數根，并且方程②無實數根；（2）方程①無實數根，并且方程②有實數根；（3）方程①和②都有實數根，計算過程較為復雜.如果從“至少有一個”的反面“一個都沒有”來進行論證，那么情況就變得簡單多了.解答過程如下：假設方程①和②都沒有實數根，則Δ1=4-4a＜0，Δ2=4a2-12＜0，解此不等式組得到1＜由此可知，符合題意的a的取值范圍是：a≤1或

【教學思考】逆向思維在數學解題中有著廣泛的應用，靈活地應用它，不但可以簡化解題過程，降低解題難度，巧獲解題結果，而且對于鍛煉學生的思維品質，提高學生的解題能力，是大有裨益的.對于以下命題，往往需要從反面開始思考：①結論為否定形式的命題；②結論以“至多”“至少”“唯一”等形式出現的命題.因此在平時的數學教學中，我們必須有意識、有計劃地滲透和強化逆向思維的訓練，培養學生自覺應用逆向思維的意識和能力，幫助學生優化解題方法、提升解題能力、完善思維品質.

五、利用一題多變的途徑，實現解題教學的示范輻射

初中數學解題教學中，我們常常會對題目中的條件及結論進行更改，也就是通過增加或減少條件、加強或削弱結論、改變圖形的位置或形狀、變換圖形折疊或旋轉的方式等，將原來的題目進行變化，將知識或者方法進行拓寬、引申，這樣可以增強學生的新鮮感，并會激發學生的求知欲望，讓學生主動去探索變化后題目之間的變化與聯系，尋求一定的規律，在這個過程中自然而然也就實現了學生解題能力的提高.

例5如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，將△ADE沿AE折疊，使點D落在BC上的點F處，求CE的長度.

圖1

圖2

圖3

變式1：如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，將△ADC沿對角線AC折疊，使點D落在點F處，AF與BC相交于點E，求CE的長度.

變式2：如圖3，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，點E、F分別在BC、AD上，將梯形CDFE沿EF折疊，使點D與點B重合，點C落在矩形ABCD外部的點G處，求CE的長度.

【分析引導】圖形的折疊問題是中考的熱點之一，這類問題涉及的知識比較多、綜合性比較強、能力要求比較高.解題時，首先要弄清折疊前后哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化，如何通過圖形，探究數量關系，利用方程解決問題.在圖1的折疊中，我們很容易發現AD= AF=10，進而可以利用勾股定理求得BF=8，所以CF=2，假設CE=x，則DE=6-x，在Rt△CEF中再利用勾股定理，可得x2+4=（6-x）2，解得即CE的長度為.圖形的折疊問題題型比較多，相互之間聯系比較緊密，解法也比較相似.因此，這類問題往往有較多的變式、拓展，通過比較發現共性，尋求解題的方法和規律.在圖2的折疊中，假設CE=x，則BE=10-x，可以利用三角形的全等或平行線的性質，證得AE=CE，在Rt△ABE中再利用勾股定理求得x的值，即CE的長度.在圖3的折疊中，假設AF=x，則BF=DF=10-x，在Rt△ABF中利用勾股定理求得x的值，即AF的長.利用折疊和平行線的性質，證得BE=BF，所以CE=AF，從而解決CE的長度.讀者不妨一試.

【教學思考】對一題變出的多個題目，學生通過多角度、多側面的探求，使自己在變化的相互比較中，思維能力迅速提高.課本中的不少題目看似平常，實際上卻蘊藏著極其豐富的外延和內涵.教學中，如對這些命題進行變換和延伸，誘導學生從多角度、多方面、多層次探索和聯想，進行一題多變訓練，不僅會增加學生的知識信息獲取量，加深對原題的理解，而且能在“改變”中激活學生的思維廣闊性、探究性和創造性，潛化創新意識.有效地進行一題多變教學是培養學生創新思維能力的有效途徑之一.

六、注重避虛就實的策略，提升學生基本的數學素養

我們知道，許多數學知識是以公式、定理、法則等形式呈現的.因此，有些數學問題的條件可以根據公式、定理、法則相互轉換.在解答這類數學問題時，我們可以盡量避開題中變化的量和關系，而從不變的量和關系去尋求突破，從而達到以不變應萬變的效果.

例6已知凸n邊形所有內角中，恰好有3個鈍角，求邊數n的最大值.

【分析引導】對于這個問題，由于多邊形內角和是隨著邊數的變化發生變化的，因此，我們利用凸n邊形內角和等于（n-2）·180°，難以找到突破口，無法求解.如果將內角的問題轉化為外角問題，解決起來就容易多了，因為任何凸n邊形的外角和是不變化的.利用有3個鈍角的n邊形有3個外角是銳角，而其余外角都是直角或鈍角，又因外角和是360°，所以外角最多還有3個，這樣多邊形最多有6個外角，所以邊數n的最大值是6.

【教學思考】中學數學教學大綱中明確指出：數學基礎知識是指數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理及由其內容所反映出來的數學思想方法，是靈活應用數學知識、技能、方法的靈魂，是形成學生的良好的認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁.因此，解題教學中應注重避虛就實的策略，實現以不變應萬變的教學效果，提高學生的解題能力，提升學生基本的數學素養.

提升初中學生的解題能力是初中數學教學的重要任務之一，是教育、教學的一個重要組成部分，教師應該給予足夠的重視.一要重視基礎知識的傳授、基本方法的教學，幫助學生建立系統的解題方法，形成自身的數學思維；二要作好課前準備，預想學生會遇到的困難，適當地進行換位思考，制定好切實、有效的解決方案；三是在對學生進行引導時，既要充分調動好學生的積極性，又要保護學生的情緒.通過教師的精心安排和系統組織，真正使學生形成合理、穩固的知識結構，通過提高素質、提升能力來提高學習成績，讓初中階段的學習過程成為學生培養人格、塑造人生的重要階段.