一圖一世界，一法通一片

☉江蘇如皋市東陳鎮雪岸初級中學 陶成龍

一圖一世界，一法通一片

☉江蘇如皋市東陳鎮雪岸初級中學 陶成龍

眾所周知，中考數學壓軸題難度偏大，承載著區分數學水平與選拔人才的功能.這一類題重點考查學生靈活運用數學知識和思想方法解決數學綜合問題的能力.筆者有幸參與了2015年南通市中考數學網上閱卷工作，當時評閱的正是壓軸題第28題，發現此題的命題思路似曾相識.筆者查閱研究了近5年南通市中考數學試卷中的壓軸題，發現此題與2012年南通中考第28題、2014年南通中考第28題和2015年南通中考第10題似乎在演“連續劇”，的確有點兒“純屬巧合”.現撰文回顧，供大家參考.

一、試題呈現

題目：（2015年南通中考第28題）已知拋物線y=x2-2mx+m2+m-1（m是常數）的頂點為P，直線l：y=x-1.

（1）略；

（2）當m=-3時，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，與直線l的另一個交點為Q，M是x軸下方拋物線上的一點，∠ACM=∠PAQ（如圖1），求點M的坐標；

（3）略.

圖1

圖2

參考答案：（2）如圖2，當m=-3時，拋物線的解析式為y=x2+6x+5，可以求出A（-5，0）、C（0，5）、P（-3，-4）、Q（-2，-3），作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，證明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得x2+6x+5），則解得x1=0（舍去），x2=-4，于是得到點M的坐標為（-4，-3）.

點評：本題參考答案添加了3條輔助線，而添加輔助線對學生來說比較困難，更何況添加了3條之多，解法有點兒唐突、生硬，其次發現并證明Rt△CME與Rt△PAF相似并不容易.在閱卷的過程中，考生的答題情況與我預估的情況差不多，采用這種方法解題的少之又少，當時我一邊閱卷一邊在想，解決這個題目有沒有更好的方法？有沒有一種解法是學生能夠自然而然想到的？學生根據A（-5，0）、P（-3，-4）、Q（-2，-3）能夠發現△AQP為直角三角形，而且PQ∶AQ=1∶3，所以不妨在x軸上截取OE（如圖3），使得OE=3OC=15，這樣就使得∠CEO=∠PAQ，從而易證△CAE∽△DAC，根據AC2=AD·AE可以求得AD=2.5，從而可以求出直線CD的解析式y=2x-5，根據直線CD與拋物線的交點為點M，通過聯立方程可以求出點M的坐標為（-4，-3）.現筆者簡要介紹一下這個方法的來源，以及擷取3道南通中考壓軸題談談此解法的應用.

圖3

二、溯本求源

1.認識基本圖形.

新課程理念強調：數學教學要從學生已有的知識和生活經驗出發，讓學生親身經歷將數學問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程.對于射影定理的基本圖形及結論師生再熟悉不過了（如圖4），如果將其題設∠BAC=∠ADC=90°再進一步一般化，改成∠DAC=∠ABC，那么就得到幾何中最常見的基本圖形（如圖5），也就是說射影定理的基本圖形其實是這一基本圖形的特殊情況（暫且稱作“母子相似圖”）.這個幾何基本圖形直觀形象、結論簡潔明了，對于解決相關壓軸題具有其他方法不可替代的優越性，可以起到化繁為簡、化難為易的獨特效果.

圖4

圖5

2.辨析基本圖形.

例1（2015年南通中考第10題）如圖6，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=6，AD=5，則AE的長為（）.

A.2.5 B.2.8

C.3 D.3.2

圖6

分析：由勾股定理先求出BD的長，由弦AD平分∠BAC，得到∠CBD=∠DAB，再利用“母子相似圖”這一基本圖形得到△ABD∽△BED，根據DB2=DE·DA可解得DE的長為2.2，則AE=AD-DE=5-2.2=2.8，故選B.

點評：此題主要考查三角形相似的判定和性質及圓周角定理，解答此題的關鍵是學生能從紛繁復雜的幾何圖形中分辨識別出這一基本圖形，從而利用其結論即△ABD∽△BED求出正確答案.波利亞曾說過：“解題的成功，要靠正確地轉化.”有的時候，壓軸題不會具有明顯的這一基本圖形的結構特征，需要學生基于對這一基本圖形的深刻認識與理解，通過添加恰當的輔助線，創造性地構造這一基本圖形來解決問題.

3.構造基本圖形.

例2（2012年南通中考第28題）如圖7，經過點A（0，-4）的拋物線+bx+c與x軸相交于點B（-2，0）和C， O為坐標原點.

（1）略；

（2）略；

（3）設點M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長.

圖7

圖8

分析：如圖8，取OA的中點D，連接BD，則OB=OD=2，∠OBD=∠ODB=45°.因為∠DBA+∠OAB=45°，所以在y軸上找一點M1，使得∠OM1B=∠DBA.從而△DAB∽△BAM1，即AB2=AD·AM1，從而求得AM1=10.根據對稱性，AM2=2，故AM的長為2或10.

例3（2014年南通中考第28題）如圖9，拋物線y= -x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于C，頂點為D，拋物線的對稱軸DF與BC相交于點E，與x軸相交于點F.

（1）略；

（2）略；

（3）設P為x軸上一點，∠DAO+∠DPO=∠α，當tan∠α= 4時，求點P的坐標.

圖9

圖10

分析：C（0，3）、A（-1，0）、B（3，0）、D（1，4），則tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α.然后根據三角形外角的性質即可求得∠DPO=∠ADO，進而求得△ADP∽△AOD，得出AD2=AO·AP，從而求得OP的長，進而求得P點的坐標.再根據對稱性，求得滿足題意的點P的坐標為（19，0）和（-17，0）.

點評：這兩道壓軸題均是在分析角與邊的內在關系的基礎上，通過添加一定的輔助線構造出完整的基本圖形，進而應用這個基本圖形的性質及相關結論解決問題.可見教師在平時的教學過程中幫助學生提煉一些典型的數學模型，有助于學生在解決難題時形成思路，探得方法，從而有效地提高解題速度和得分率.

中考壓軸題演繹著萬千世界，命題者往往將一些基本圖形進行改編與重組，但其背后運用的數學思想方法卻是相通的.作為教師，在中考復習時，要幫助學生從中考題海戰術中走出來，培養學生以一圖識萬圖的能力，這樣才能使學生達到學一法，會一類，通一片的境界.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.［美］波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

3.曹志迅.“一線三等角”：客從何處來？——以“相似三角形”習題課為例［J］.中學數學（下），2016（4）.