用相關思維破解“多點聯動”型最值題的DNA*

☉湖南常德市芷蘭實驗學校初中部 陳金紅

用相關思維破解“多點聯動”型最值題的DNA*

☉湖南常德市芷蘭實驗學校初中部 陳金紅

因果思維即邏輯線性思維，干凈利索，但在解題教學中給學生一種“高冷美”的錯覺，上課時聽得懂但很難自由活用，實乃“知其然但不知其所以然”之常態.如何破解？先看一個“猜字燈謎”：點點成金！用數學的視角看，即求在條件“點點”運動下的“金”的原像，逆思維抽取兩點不難得知“全”字即為所求的字謎！這樣得出顯然不是使用嚴格的邏輯推斷，而是使用了有關聯的但合情合理的聯想，即裴光亞老師所言的“相關思維”，相關思維更“關乎”解題者內心的沖動、直覺與直觀，“聯動”更為自然和自由，運用其破解中考熱點“多點聯動”型最值題作用明顯，下面給出具體例子.

例1（武漢2013年中考數學第16題）如圖1，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是____.

先看幾個特殊位置.

（1）E點與A點重合時，顯然此時F點與D點亦重合（初始狀態），見圖2，DH=AD=2.

（2）點E與邊AD的中點重合時，“AE=DF”，故點F與邊AD的中點也重合！見圖3，很難直接看出DH的具體大小數值！但可以看出H不在邊AD上運動了！

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

（3）當點F與A點重合時，顯然此時E點與D點亦重合；此時點H恰為正方形的中心即對角線的交點！見圖4，簡單計算即可知

結合上面3個特殊位置的定點分析，把這三個定點位置直覺連起來“頗似”一個圓上的一段?。ㄈ鐖D5）（特例下的猜想）？！

一般情形相關思維：

點F運動（點E亦同步運動，因為AE=DF），此時定線段BD與動線段CF的交點G也會隨之運動，即線段AG也是動線段，它與動線段BE的交點H必是動點，從而線段DH必是動線段，于是它必有一個大小范圍，即可知必取得一個最小值！但從中發現先有G動，再有H動，從而DH變化！

分析點G的運動路徑（軌跡）：始終在線段DB上運動，起點在D位置，終點在對角線的交點P位置！

分析點H的運動路徑（軌跡）：結合上面（1）（2）（3）直覺得出是一個圓上的一段弧，從（1）（3）兩個特例位置發現H是一個直角頂點，于是猜想H在以AB為直徑的圓上運動，見圖6，即證明∠1+∠4=90°.

顯然，由AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，AE=DF，可知△ABE≌△DCF（SAS），于是有∠1=∠2.由AD=DC，∠ADG=∠CDG=45°DG=DG，可知△ADG≌△CDG（SAS），于是有∠3=∠2.則∠1=∠3.又∠3+∠4=∠BAD= 90°，于是得∠1+∠4=90°，則∠AHB=90°.于是確認猜想：H的運動路徑（軌跡）是以AB為直徑的圓（圓O）的的一段?。ɑP），見圖7.

圖6

圖7

圖8

最后用基本經驗模型：見圖8，由圓外一點（如點D）向已知圓（如圓O）引割線，過圓心和圓第一次的交點線段是最短的（如線段DH），過圓心和圓第二次的交點的線段是最長的（如線段DQ）！

借用胡適之說“大膽假設，小心論證”，數學中的假設來自于大量特例引起的沖動認知，提出假設即猜想，在放眼一般給出特例導向下的本質規律的探求即推證猜想，把自己的科學小心變為被說服者的科學放心！于是有：特例處猜想，一般推本質，相關思維即可破解此類幾何最值問題的DNA即“動點軌跡”！

例2如圖9，邊長為3的菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分別是線段AB、BC上的兩點，且BM=CN，AN與CM的交點是E，連接BE，Q是BE的中點，求AQ的取值范圍.

圖9

圖10

（一）準備工作.

讀題發現：已知菱形是兩個正三角形拼合形成的.結合基本經驗聯想到：

（1）正三角形的特殊性質，如高、中線、角平分線均相交于一點，交點到對邊的距離即內切圓的半徑（r），交點到頂點的距離即外接圓的半徑（R），且R=2r等若干結論的相關聯想.

（2）熟悉的常規習題，見圖10，已知正△ABC中，BM= CN，連接AN、CM相交于點E，有很多有價值的數學結論，如全等、相等的角、相等的線段、比例線段、“弦切角等于夾弧所對的圓周角”、與圓有關的切線和圓的模型與結論.

（二）探究工作：相關思維.

先看幾個特殊位置.

M點與B點重合時，N點與C點亦重合（初始狀態），見圖11，此時AN、CM的交點E落在了點C位置，于是BE的中點即BC邊的中點Q，于是AQ等于正△ABC的高，即AB·

圖11

圖12

M點與A點重合時，N點與B點亦重合（終結狀態），見圖12，此時AN、CM的交點E落在了點A位置，于是BE的中點即BA邊的中點Q，于是AQ等于正△ABC的邊長的一半，即

把上面的分析與原題圖合成，見圖13，“直覺”得出（垂足）中點Q1、Q2和普通中點Q在以正△ABC兩高交點O為圓心、半徑為OQ1（或OQ2，等于正△ABC高的的圓的一段弧Q1QQ2上！理論根據是什么？關鍵是要證明出點Q滿足條件OQ=OQ1（或OQ2），因為“如果一個點到圓心的距離等于圓的半徑，那么這個點就在這個已知圓上”！在此基礎上“絞盡腦汁”仍無濟于事、無力回天！但這么多的“中點”相關聯想三角形的“中位線”是否是一線生機、一點火花、一粒種子??？

圖13

回到“原點”相關思維：點Q來源于線段BE的中點，而點E來源于動線段AN、CM的交點，線段AN和線段CM源于點M和點N的運動，注意到點A、B、C是定點，只有點M、N、E、Q是動點！把點E的模型（或點E的“DNA”）弄明白了的話必可“直覺”得出點Q的模型（或點Q的“DNA”）本質！于是作相關討論.

分析點M的運動路徑（軌跡）：始終在線段AB上運動；分析點N的運動路徑（軌跡）：與點M同步，始終在線段CB上運動.

分析點E的運動路徑（軌跡）：結合上面圖11、圖12點E的特殊位置：點E與點C重合、點E與點A重合；還有一個特殊位置見圖14，點E與“正△ABC兩高的交點O”重合時，“直覺”得出點E在一個圓的一段弧上運動！

圖14

為什么點E的運動路徑是：在一個圓的一段弧上運動呢？始終有結論△ACN≌△CBM（SAS），始終有∠BCM=∠CAN，相關聯想到“弦切角等于夾弧所對的圓周角”即直線（BC）與圓（圓O′）相切的數學模型！△ACE的外接圓的圓心必在線段AC的垂直平分線上，即在已知菱形的對角線BD上，不難和正△ABC類比得出此圓心在正△ADC兩高交點O′處，BC是圓O′的切線（其中C為切點），同理可證BA是圓O′的切線（其中A為切點），見圖14，于是半徑O′C=O′A=正△ADC高的點E在以點O′為圓心為半徑的圓上的一段弧上.

最后分析點Q的運動路徑（軌跡）：

不難知相關思維起到了回到“原點”、“飲水思源”的戰略高度的作用！

圖15

圖16

最后用基本經驗模型：見圖16，從圓外一點（如點A）向已知圓（如圓O）引切割線，過圓心和圓第一次的交點（不是題目中點Q的位置故舍之）的線段是最短的，過圓心和圓第二次的交點的線段是最長的（如線段AQ=AH，即△ABC的高

根據Q點的運動路徑，可知最短的線段AQ應該是切線長AI（邊長的一半.即

（三）具體解答線索.

先得出點E的運動路徑是圓弧，從而找到圓心O′.

再構造圖16中△BEO′的中位線模型，再次確認線段BE的中點Q的運動路徑也是圓弧.

最后運用基本經驗模型“由圓外一點向已知圓引切割線，過圓心和圓第一次的交點的線段是最短的，過圓心和圓第二次的交點的線段是最長的”，得出線段AQ的取值范圍！

類似中考試題：

（1）見圖17，正△ABC的邊長為6，點E從B向終點C運動，同時點F從C向終點A作等速運動，到各自終點后停止，運動過程中線段AE、BF交于點P，H是線段BC的中點，則線段PH的最小值為（）.

圖17

圖18

（2）見圖18，正△ABC的邊長為3，M是高CH上一動點，連接BM，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到線段BN，再連接HN，則點M在運動過程中線段HN長度的最小值為（）.

（四）反思工作.

捋一捋相關思維用于解題教學的一般程序：先對“要求的動點”特殊位置作確定性分析與一般猜想，引起多個直覺、構造模型；再對直覺和模型“追問道理”，“聯動”點的“子父輩”關系即先“爺”后“父”最后“兒女”輩的遞進其實是運動路徑的過程分析，而這個路徑其實就是“動點”的運動“軌跡”即動點的“DNA”本質分析.

同時我們還發現“基本經驗模型”和“熟悉的常見習題”是我們思維“跳躍”的最佳“支點”，為我們縮短“思維長度”作出了“不可磨滅”的貢獻和作用.

代數法用數量彰顯自己的長處，向目標夯實放心前行，幾何方法用直觀軌跡彰顯自己的優點，揭示問題的本質.無論代數還是幾何方法，都是數學思維方法，但更多的是用的邏輯思維，而邏輯思維是線性思維，更易掉“鏈子”、做題時易“短路”，結合上面“多點聯動”型問題分析發現：相關思維除了具有“片段、區間”的因果邏輯，還有整體思考上的“人文性”，我調侃因果思維是相關思維的“極限”，“相關思維”有時顯得更有用、有效、好使！經驗表明它是破解“多點聯動”型最值題的DNA的良策，盡管可能是個性化的！因此我有個小小的呼吁：讓幾何基本“軌跡”重新回到初中數學教材的“懷抱”中來！為數學學科核心素養的有效落地賦予更好的“素材”！

1.裴光亞.大數據：教學研究的曙光［J］.中學數學教學參考（中），2016（12）.

2.陳金紅.數學教學我特有的五句話［J］.數學教學研究，2016（12）.

3.陳金紅，郭作華.自然生成道理追問——從一道填空難題談起［J］.河北理科教學研究，2016（1）.

4.陳金紅等.“同一法”如何處理更有效——談學科核心素養的基本觀點［J］.中學數學（下），2016（5）.

*本文系全國教育科學"十二五"規劃2013年度教育部規劃課題“生命課堂視野下的教學案例研究”（課題編號：FHB130512）的成果之一.