例談數(shù)學(xué)解題研究的幾個(gè)視角

☉江蘇蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學(xué) 袁麗華

例談數(shù)學(xué)解題研究的幾個(gè)視角

☉江蘇蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學(xué) 袁麗華

對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，很多時(shí)間一直在做著數(shù)學(xué)研究：你要上好一節(jié)課，就要研究教材.一名數(shù)學(xué)教師研究的方向眾多，概括起來有：一是課本題目，二是各種試卷中的題目，有修為的可以研究雜志上的題目，更加具有能力的可以自己提出數(shù)學(xué)問題.下面就從解決數(shù)學(xué)問題的一些常規(guī)方向出發(fā)，具體談一談.

視角一：課本研究

課本習(xí)題研究是我們的基本功，課本典型例題的解讀是校本研究的一種手段.筆者結(jié)合自己的一些想法，來分析一下這個(gè)問題.

案例1：（蘇教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下P35習(xí)題）如圖1，小明從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30°，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)30°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了多少米？

解答：對(duì)于這個(gè)題目，由多邊形外角和公式，可以得到小明走過的路線為正十二邊形的周長(zhǎng)，因此小明共走了120m.

為了得到正多邊形，向左轉(zhuǎn)的角度最大值為120°，是360的約數(shù)，我們提出如下問題：向左轉(zhuǎn)的角度大于120°，如144°、150°——情況怎么樣呢？開始我沒有意識(shí)到這是一個(gè)精彩的問題，當(dāng)進(jìn)行不斷的探索和發(fā)現(xiàn)以后，會(huì)有很多意外的收獲.會(huì)有哪些收獲呢？可以對(duì)課本問題進(jìn)行一系列的改編.

變式1：小明從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)144°，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)144°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了多少米？

變式2：小明從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向右轉(zhuǎn)72°，又前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)144°；再沿直線前進(jìn)10米后向右轉(zhuǎn)72°，又前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)144°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了多少米？

圖1

通過對(duì)問題的不斷改編，可以對(duì)問題進(jìn)行深入研究，從而有可能得到更為豐富的結(jié)論.

視角二：試卷研究

各種試卷往往承載老師研究的智慧，關(guān)注并研究這些試題往往會(huì)得到意想不到的收獲，尤其從試卷的命制過程中，我們往往會(huì)得到一些新的靈感和啟發(fā)，從而促進(jìn)日常教學(xué).

案例2：（2016年重慶）如圖2，以AB為直徑、點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過點(diǎn)C，若AC=，則圖中陰影部分的面積是（）.

圖2

剖析：這是一個(gè)被許多中考模擬試卷采用的題目，其解答幾乎千篇一律，解這個(gè)題目的關(guān)鍵是分析出點(diǎn)C隨點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是什么.如果從問題本質(zhì)和根源出發(fā)，我們需要回到課本中去探究，本題考查扇形面積的計(jì)算：圓面積公式和扇形.求陰影面積常用的方法：①公式法；②和差法；③割補(bǔ)法.求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則可判斷△ACB為等腰直角三角形，接著判斷△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算圖中陰影部分的面積.

視角三：錯(cuò)題角度

錯(cuò)題是學(xué)生在解答過程中錯(cuò)誤率較高的問題，對(duì)于這樣一類問題，我們需要格外關(guān)注，因?yàn)橹挥凶プ×诉@樣的問題，才能幫助學(xué)生真正提高成績(jī)，從而收獲信心，提升數(shù)學(xué)的興趣和能力，下面來看這樣一個(gè)經(jīng)典的錯(cuò)題.

案例3：閱讀下列材料：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫作點(diǎn)的“特征線”.例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4.

問題與探究：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部.

圖3

（1）直接寫出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線；

（2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？

解：（1）由點(diǎn)D（m，n），得點(diǎn)D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+m+n.

（2）點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，則n-m=1，則n=m+1..由四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對(duì)稱軸，D（m，n），得B（2m，2m），則解得m=2，則點(diǎn)D（2，3）.

（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，根據(jù)題意可得D（2，3），則OA′=OA= 4，OM=2，則∠A′OM=60°，則∠A′OP=∠AOP=30°，則MN=則拋物線需要向下平移的距離

圖4

如圖5，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，由頂點(diǎn)落在OP上，得A′與D重合，則A′（2，3）.

圖5

剖析：對(duì)于錯(cuò)誤原因，我們往往需要進(jìn)行細(xì)致分析，找到問題的癥結(jié)所在，從而突破問題帶給學(xué)生的障礙，最終得出正確的結(jié)論.從卷面上來看，這是一個(gè)10分的問題，實(shí)際得分情況是不能令人滿意的，學(xué)生除了第一問，實(shí)際得分僅僅在2分以內(nèi)，錯(cuò)誤率超過了80%，從此題的情況而言，有閱讀障礙的數(shù)學(xué)閱讀類難題對(duì)于學(xué)生思維的影響是巨大的，學(xué)生非常容易被實(shí)際的問題形態(tài)嚇到，從而無法找到真正解決這一問題的思路和方法.對(duì)于最值問題，在初中階段本身是難點(diǎn)，找到突破口尤為重要，教師針對(duì)這樣的問題，需要從自身角度出發(fā)，幫助學(xué)生進(jìn)行細(xì)致入微的分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的解讀和突破.

視角四：動(dòng)筆寫作

動(dòng)筆寫作，其實(shí)是一種最好的歸納問題的思路和方法.動(dòng)筆的理由很簡(jiǎn)單，有讀書的體會(huì)，有教學(xué)的心得，有來自學(xué)生的智慧之花，也有對(duì)于學(xué)生典型錯(cuò)誤的剖析，如此種種，某一時(shí)刻的感想，或許寫不成一篇論文，但是，你把它通過你的筆端寫下了，積溪流成大河.其實(shí)，多動(dòng)筆，對(duì)于教師來說是有百利而無一害的，通過動(dòng)筆的過程，教師在形成自身思考過程的前提下，能夠幫助自己形成和完善觀點(diǎn)，找到解決問題的方法，從而更加系統(tǒng)性地認(rèn)識(shí)問題.因此，學(xué)習(xí)的方法上要有自己的看法，敢于挑戰(zhàn)名題，改造或者引申名題，也可以給出自己的新的證明方法，這都是教師自身的一種挑戰(zhàn)和創(chuàng)新.

綜合以上的一些情況，問題研究的方向是多維和多元的，教師只要自身時(shí)時(shí)留意，處處用心，就能夠發(fā)現(xiàn)更多的視角和方向，體會(huì)更多的樂趣和感悟.