對一道課本例題的變式教學

☉合肥師范學院數學與統計學院 鄧珍珍☉合肥師范學院數學與統計學院 張新全

對一道課本例題的變式教學

☉合肥師范學院數學與統計學院 鄧珍珍
☉合肥師范學院數學與統計學院 張新全

扎根于課本的數學變式教學是通過不同角度、不同側面、不同情形、不同背景的變化，使學生有效地加深對數學知識的認識和理解，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，再從“不變”中探求規律.數學變式教學不僅很好地解釋了“中國學習者悖論”，而且其一題多變、一題多解、多題歸一（一法多用）和一題多用的變式給學生以新鮮感，增加了學習興趣，減輕了學習負擔，提高了教學有效性，培養了學生良好的思維品質.下面是我們對一道課本例題進行的變式教學設計.

題目：（滬科版八年級上冊數學等腰三角形課后例題）已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、E是底邊上兩點，BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度數.

思路：通過分析條件，很容易想到從三角形內角和為180°與等腰三角形底角相等出發，盡可能多地求出圖中角的度數，最終求出所求角的度數.

圖1

因為BD=AD，所以∠BAD=∠B=30°.

同理可得：∠CAE=∠C=30°.

所以∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30° =60°.

一、改變條件，抓住本質

變式1：本例去掉條件AB=AC，能否求得∠DAE的度數？

思路：去掉條件AB=AC，我們不再知道∠BAD和∠EAC分別是多少度，但由等邊對等角可知∠BAD+∠EAC=∠B+∠C=180°-120°=60°.

所以∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=120°-60°= 60°.

可見原題中的條件“AB=AC”是多余的，變式1從特殊的等腰三角形ABC推廣到一般的三角形ABC，但只要保持本質屬性不變，結論仍然成立.這種變式有利于學生創新思維的形成.

變式2：已知：如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，D、E是BC邊上兩點，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度數.

答案：∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=90°-90°= 0°.

此時，AD與AE重合.

變式3：已知：如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，D、E是直線BC上兩點，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度數.

答案：∠DAE=（∠BAD+∠CAE）-∠BAC=120°-60°=60°.

變式2、3不斷地變換條件的層次，將原題條件∠BAC=120°分別變為∠BAC=90°、∠BAC=60°，而且變式2、3強調了∠DAE與∠BAD+∠CAE、∠BAC的關系.這樣不但活躍了學生的思維，還將知識、能力和思維方法在更多的新情境中反復滲透，達到了深化、升華的效果.

圖2

圖3

二、條件一般化，發現一般規律

“一般化”是構造變式題的一種重要方法，如果∠BAC的度數未知，那么∠DAE與∠BAC有何關系？于是，我們得到如下變式：

變式4：已知：在△ABC中，∠BAC=α，點D、E是直線BC上的兩點，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度數.

解析：因為BD=AD，所以∠BAD=∠B.同理可得∠CAE=∠C.

（1）當0°＜α＜90°時，

∠DAE=（∠BAD+∠CAE）-∠BAC=（∠B+∠C）-∠BAC=（180°-α）-α=180°-2α.

（2）當90°≤α＜180°時，

∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=∠BAC-（∠B+∠C）=α-（180°-α）=2α-180°.

綜上可得：∠DAE=|180°-2α|.

變式4實際上是對前三個變式的歸納總結，變常量為變量.對于上述演變過程，我們可以利用幾何畫板動態展示給學生看.以課本例題為“鑰匙”，通過改變條件，引申探究，加深學生對基礎知識的掌握，可以提高學生自覺鉆研書本例、習題的積極性.

三、改變背景，訓練思維

變式5：已知：如圖4，在△ABC中，∠BAC=120°，D、E是直線BC上兩點，且AB=BD，AC= CE.求∠DAE的度數.

解析：因為AB=BD，所以∠BDA=∠BAD.同理可得∠AEC=∠CAE.又因為△EAD的內角和為180°，所以∠AEC+∠BDA+∠EAD=∠CAE+∠BAD+∠EAD=180°.∠BAD+∠CAE=∠BAC+∠EAD=120°+∠EAD.

因此120°+2∠EAD=180°，則∠EAD=30°.

在解題教學的思維訓練中，通過改變問題背景進行變式訓練是一種很有效的方法.通過改變條件，可以讓學生對不同條件的情況作出正確的分析；通過改變結論可以培養學生推理、探索的思維能力，使學生的思維更加靈活和嚴密.類比以上變式，引導學生自主參與變式，能不能使條件一般化“令∠BAC=α”，對參數α進行討論，得出一般規律？學生探究有困難時，可適當予以提示：點D、E可以在線段BC上，也可以在其延長線上，甚至可以重合.最后，利用幾何畫板向學生演示動態變化的過程.

變式6：已知：在△ABC中，∠BAC=α，D、E是直線BC上兩點，且AB=BD，AC=CE.求∠DAE的度數.

圖4

四、因果互換，逆向思維

把∠DAE與∠BAC的地位交換，即∠DAE的度數是已知的，其他不變，是否可求∠BAC的度數？

變式7：在△ABC中，D、E是直線BC上兩點，且BD= AD，CE=AE，∠DAE=60°.求∠BAC的度數.

解析：因為BD=AD，所以∠BAD=∠B.同理可得∠CAE=∠C.

（1）當∠BAC為鈍角時（如圖5），因為∠BAC=∠BAD+∠EAD+∠CAE，∠EAD=60°，所以∠BAC=∠B+∠C+60°.又因為△ABC的內角和為180°，所以∠B+∠C+∠BAC= 2（∠B+∠C）+60°=180°，則∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=60°，則∠BAC=120°.

圖5

圖6

（2）當∠BAC為銳角時：

①當D、E其中一點在線段BC上，另一點在BC的延長線上時（如圖3）.因為∠EAD=∠EAC+∠CAD=60°，△ABC的內角和為180°，所以∠B+∠BCA+∠BAC=180°=∠B+∠BCA+∠BAE+∠EAC=∠B+2∠BCA+∠BAE，則180°+∠EAD=∠B+2∠BCA+∠BAE+∠EAC+∠CAD= 2（∠B+∠BCA）=240°，所以∠B+∠BCA=120°，則∠BAC= 60°.

②當D、E兩點都在線段AC的延長線上時（如圖6）.∠EAD=∠EAB+∠BAC+∠CAD=60°，∠ABC=∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠ECA=∠CAE=∠CAB+∠BAE.又△ABC的內角和為180°，即∠ABC+∠BCA+∠BAC=180°，所以180°+∠EAD=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠EAB+∠BAC+∠CAD=2（∠ABD+∠ECA）=240°.故∠ABD+∠ECA=120°，則∠BAC=60°.

綜上可得，∠BAC=60°或∠BAC=120°.

逆向變式，可以培養學生的創造性思維.分類討論，可以鍛煉學生思維的嚴謹性.

課本上的例題、習題都是教材編寫者精心編排的，教師應該扎根課本，抓住知識的本質，對課本例題、習題進行多角度的變式教學.從而“把冰冷的美麗化為火熱的思考”，既能減輕學生課業負擔，也能增強課堂教學的有效性，不斷提高學生的思維能力.