立足核心問題，展示概念教學
——“常量與變量”的教學與反思

☉浙江溫州市第十九中學 何萍☉浙江溫州市第十九中學 彭希鵬

立足核心問題，展示概念教學
——“常量與變量”的教學與反思

☉浙江溫州市第十九中學 何萍
☉浙江溫州市第十九中學 彭希鵬

章節起始課作為一章的起始課，必須要讓學生經歷概念的形成過程，感悟本章要解決的主要問題、基本過程，滲透主要思想方法.本文以“常量與變量”為例，聚焦概念教學，探索概念教學的基本規律.

一、基于教材編寫意圖的教學設計立意解讀

1.對“函數”教學內容的總體認識.

函數是中學數學的核心概念.與高中函數學習的“對應說”不同，初中函數定義采用“變量說”，在一個運動變化過程中引進變量與常量；體會兩個變量的一種依賴關系，引入函數概念；了解函數的三種表示方法；以一次函數（包括正比例函數）、反比例函數和二次函數為具體函數模型，借助圖像討論這些函數的一些簡單性質；能用所學函數知識解決簡單實際問題，感受建立函數模型的過程與方法，體會函數在數學和生活中的應用，學會用函數思想解決簡單實際問題.

2.教學設計的立意.

基于上述認識，筆者解讀教材編寫立意如下.

（1）突出函數概念的本質和構建過程.

函數概念的本質是：函數是兩個變量之間的一種特殊的對應關系；函數概念所反映的基本思想是：運動變化的思想.函數來自于對運動的研究，反映變量變化之間的一種依賴關系.

為了讓學生在經歷函數概念的概括過程中，更好地體會其本質和思想方法，教材先通過一些具有真實背景的實例，引導學生認識變量和常量，再進一步在實例中，引導學生探索兩個變量之間的依賴關系，以三種函數的表示方法，認識函數的本質即對應關系.后續在一次函數、反比例函數、二次函數、銳角三角函數學習中，不斷地以函數的觀點來認識這些具體的函數模型，使得函數思想的教學貫穿于函數概念教學前后，突出了函數概念的本質和構建過程.

（2）為學生概括和領悟函數概念搭建“腳手架”.

函數是中學階段最難理解的概念之一，其主要原因是：變量的概念涉及用運動、變化的觀點看待和思考問題，具有辯證思維特征；函數概念具有高度抽象性；表現兩個變量關系的不同函數模型的表達式具有抽象性；建立不同函數模型需要具備較強的數學能力等.其中最根本的還是高度抽象性.因此，在教學設計中，我們以教材提供的概念概括過程和素材為依據，特別注意以具體例證為載體化解函數的抽象性，為學生搭建理解的平臺，鋪設概括的路線和階梯，以幫助學生感悟函數概念的“本來面目”.其中特別注重典型實例、表格和圖像直觀等的作用，并強調在思想方法上給予明確、具體的指導.

①鋪設概括路線.教材以多個實例為載體，強調“某個變化過程”中，變量與常量相對存在，引導學生體會兩個變量存在一種依賴關系，從“變量說”出發概括函數概念，再引導學生認識函數的三種表示方法，以體現變量的對應關系.接著，在函數的表示、函數的性質等內容中，不斷強化對函數“對應關系”的認識，強化對函數所研究的問題和思想方法的理解.教材鋪設的這一概括路線符合學生的認知規律，是設計教學過程的基本依據.

②選擇典型、豐富的實例.基于函數概念的高度抽象性，在函數概念的引入、表示、性質和應用等各階段的教學中，選擇豐富的實例，為學生提供思考、探究、交流的機會，使學生在具體情境中開展思維，促進對函數概念的理解.

③發揮圖像的直觀作用.函數圖像是學習函數的重要工具，它不僅是表示法的一種，更為學生理解函數的對應關系提供了直觀的機會，是幫助學生理解函數概念的重要載體，也是培養學生數學能力的重要載體.在函數學習中處處可見數形結合：描畫函數圖像的過程，函數表達式與圖像的對應關系，函數圖像與性質的對應關系等.對于每一條性質，我們都可以從“數”和“形”兩個方面來認識.“數”可以理解為解析式的視角，“形”可以理解為圖像的視角，“數形結合”研究函數性質，就是充分運用解析式和圖像來解決問題，這也是研究函數問題的基本思路.所以，教學中要加強圖像的直觀作用，幫助學生體會函數的“對應關系”.

④思想方法的明確和指導.從知識角度看，數學思想方法屬隱性知識，是在學生親身體驗的過程中獲得的內心感悟，鑒于初中生的思維品質特點，對思想方法的感悟還需要依靠教師明確的具體的語言指導，以加速學生的領悟過程.教材以具體實例概括函數概念，在具體情境中進行函數建模，讓學生體驗在一個變化過程中去感悟兩個變量的依賴關系，有意識地滲透了函數思想.變化之中保持的“不變性”“規律性”就是性質，函數是描述現實事物運動變化規律的數學模型，所以研究函數就是研究變化過程中的規律性，這也指出了函數性質的內容、研究方法和意義.因此，教學中應認真貫徹教材的意圖，籌劃好函數思想方法的領悟過程.

（3）加強建立函數模型的活動，深化函數概念理解.

函數模型在數學和現實生活中都有廣泛的應用，教材在這方面提供了若干生動并具有實際意義的素材，給學生提供了建立模型、求解模型，再用模型描述、解釋實際問題的學習機會.對于函數這樣抽象程度極高的概念，只有讓學生親身體驗，參與其中建模的過程，才能深化函數概念的理解.教學中，要認真體會教材的設計思路，用函數概念解釋各種變化現象，解決相關問題.

二、“變量與常量”教學設計

1.內容和內容解析.

“常量與變量”是“函數”章節學習的起始課.本節課的主要內容是在實例中認識“變量”與“常量”，體會變量與常量相對依存于某一變化過程中.它揭示了事物變化過程中存在的本質即各種變量的相互關系，使數學的研究對象從常量到了變量，這是初中數學學習的一個分水嶺.另外，變量間的依賴關系有利于進一步認識函數概念本質，其中滲透的變量思想、對應思想、函數思想、模型思想，也是今后學習函數的重要數學思想方法，對今后的數學學習和發展都起到了重要的作用.

根據上述分析，確定教學重點為：在具體情境中獲得常量、變量的概念.

2.目標和目標解析.

（1）通過具體情境了解在一個變化過程中有些量固定不變，有些量不斷變化，進而了解常量與變量的概念；

（2）通過在不同情境中尋找常量與變量，從而辨別一個過程中的常量與變量；

（3）通過改變問題的條件，體驗不同條件下，常量與變量相對存在，感悟生活中事物的相對性；

（4）通過生活經驗和圖表信息的提取，體會同一過程中，不同變量存在的一種依賴關系，并對其進行簡單分析，感受變量之間的相互聯系；

（5）通過幾何問題的解決，對各類研究對象的整理，以及動態問題中不變量和關系的發現，掌握科學的探究方法，培養學生的探索精神；

（6）通過分層解決不同難度的問題，鼓勵人人參與數學學習，不同的人學到不同的數學，培養數學學習的興趣.

3.教學問題診斷分析.

（1）學生能在簡單情境中感受到“變量”與“常量”，但對復雜情境或分段函數圖像中的常量與變量的認識是難點.因此，要引導辨析變量與常量的本質區別.

（2）對“變量與常量是在一個過程中相對存在”的認知缺乏經驗，需要提供具體情境去體驗.

（3）對于兩個變量之間的依存關系認識模糊，因此，要在具體情境中引導學生進一步認識兩個變量的對應關系，體驗函數思想.

因此，本課的難點主要是辨別復雜情境中的常量與變量，感受同一變化過程中兩個變量的對應關系.

4.教學過程設計.

（1）創設情境，生成概念.

導語：當我們用數學來分析現實世界的各種現象時，會遇到各種各樣的量和數量關系，今天就來學習和研究這些量.

情境：視頻播放加油機加油過程.

問題1：請大家觀察，在加油機為汽車加油過程中，存在哪些量？

問題2：在這個過程中，哪些量改變？哪些量不變？

問題3：這兩個變量之間有聯系嗎？如果有，有什么聯系？

設計意圖：通過具體情境引入，讓學生形象感受到在一個變化過程中存在著“量”，其中，有些量固定不變，有些量可以取不同數值，體驗常量與變量的本質區別，抽象出“常量”與“變量”的概念，并引導學生簡單感受這兩個變量之間的變化聯系和對應關系，初步滲透變量思想和函數思想.

（2）應用情境，鞏固概念.

活動：找一找，說一說.

下列情境中，各有哪些量，并找出其中的常量與變量，說明理由.

①體育課上，小明在操場以8米/秒的速度練習跑步，經過t秒跑了s米，s與t的關系式為________，其中常量是________，變量是________.

變式1：若將①中的“8米/秒的速度”改為“固定速度v（米/秒）”，s與t的關系式為________，其中常量是________，變量是________.

變式2：體育課上，在固定距離為s米的賽跑中，小明跑步的平均速度為v米/秒，跑完全程所需的時間為t秒，則t=________，其中常量是________，變量是________.

設計意圖：讓學生體會常量與變量相對依存于某一個變化過程中，感受“常量”“變量”的概念本質.

②圖1是某沿海城市的波浪的浪高與時間的變化曲線圖.

圖1

在這個過程中，常量是________，變量是________.

③拖拉機開始工作時，油箱中有油40L，每小時用油4L，工作t（h）時油箱中剩余油量y（L）的情況如表1所示.

表1

在這個過程中，常量是________，變量是________.

（完成上述問題后，教師追問引導思考）

追問1：判斷一個量是變量，具體地說是它的什么在變？什么不變？

追問2：問題（3）中，當工作時間是6h時，剩余油量是多少？工作時間是7h時呢？當剩余油量是16L時，工作時間是多少？你是怎么看出來的？剩余油量與工作時間之間有怎樣的聯系？

設計意圖：通過從實例中找常量與變量，鞏固常量與變量的概念，通過追問1體會變量概念的本質，通過追問2讓學生初步體驗兩個變量的依賴關系，同時，讓學生分別體會圖像、表格、表達式三種形式中兩個變量的對應關系，為后續函數學習打下伏筆，滲透變量思想和函數思想.

（3）拓展情境，應用概念.

例1一家快遞公司的收費標準如圖2所示.用t表示郵件的質量，p表示每件的快遞費，n表示快遞郵件的件數.

圖2

思考1：上圖描述了一個怎樣的過程？這個過程中刻畫了哪些量？

思考2：

①填寫表2.

表2

②當投寄費為6元時，能投寄的物品質量在哪個范圍內？

③當一個物品投寄質量超過10千克時，每超過1千克，投寄費用增加多少？

④在投寄快遞郵件的事項中，t、p、n是常量還是變量？

⑤若0＜t≤10，投寄n件郵件的快遞費記為w，此時t、p、n、w中哪些是常量？哪些是變量？

⑥若t>10，投寄n件郵件的快遞費記為w，此時t、p、n、w中哪些是常量？哪些是變量？

設計意圖：通過思考1引導學生閱讀圖表，既引導審題又培養審題的良好習慣，通過思考2中的6個問題，有梯度地引導學生應用圖表信息逐步深入解決問題，既幫助學生突破了閱讀圖表的難點，又啟發學生在復雜實際生活情境中進一步認識“常量”與“變量”，培養學生分析問題和解決問題的能力，滲透變量思想和函數思想.

例2如圖3，點P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點，連接BP、CP，在點P的運動過程中，哪些量是常量？哪些量是變量？

圖3

（在這個過程中，學生能找到常量如AB、AD、DC、BC、∠ABC、∠ADC、∠BCD、∠DAB等，變量如AP、PD、BP、PC、∠PBC、∠BPC、三角形BPC的周長等，在學生充分交流后，教師啟發引導）

師：數學是研究數量關系和空間形式的科學.我們可以從這兩個角度去歸納.從數量上看變量有哪些？從形狀上看變量有哪些？從位置關系上看變量有哪些？從數量關系上看變量有哪些？從圖形關系上看變量有哪些？

設計意圖：引導學生認識數學圖形中常見的量（如線段、角度、面積、周長、位置關系、數量關系、圖形關系等），并進一步認識在圖形運動過程中的變量和常量，體驗變化過程中存在不變關系，滲透動點問題的本質，積累幾何經驗，并在問題解決過程中提升學生的觀察、分析能力，加強探索精神.

（4）課堂小結.

總結：通過這節課的學習，你獲得哪些經驗？

引導學生關注知識層面、方法層面、能力層面進行總結.

5.目標檢測設計.

略.

三、在實踐基礎上的教學反思

1.立足核心問題，展示概念的形成.

引導學生進行探究和思考，形成認識，領悟方法離不開過程教學.怎樣在教學中通過設計合理的“過程”，讓學生去經歷、去體驗，這些是教師在備課中需要關注的重點，也是達到知識與技能目標的途徑和方法.在形成概念的時候，需要緊扣概念本質，設計合理的認知活動過程，讓學生經歷辨析、應用、鞏固概念的過程.數學是用概念思維的，在概念學習中養成的思維方式、方法遷移能力也最強.所以數學概念教學的意義不僅在于使學生掌握書本知識，更重要的是在概念的發生、發展過程中揭示它的本來面目，要讓學生參與概念本質特征的概括過程，這是概念教學中培養學生的創新精神和實踐能力的必由之路.

2.以活動為載體感悟數學核心思想方法.

活動是體現過程教學的載體之一，活動的基本特點是“動”和“活”.根據學生和數學內容的特點設計相應的數學活動，讓學生去經歷、去體驗、去猜測、去驗證、去交流討論等.數學的體驗不僅蘊含在小組合作、動手操作中，還蘊含在數學問題分析、思考、解決的過程中.依據學生的認知基礎，設計有梯度的問題串為線索，關注學生的主體性，充分激發學生的學習興趣，激發學生主動思考、探索，重視學生在參與知識的探究過程中的情感體驗，引導學生認識概念本質，感悟其中蘊含的數學核心思想方法，從而更好地把握中學數學概念教學的教學規律.

1.章建躍，陶維林.注重學生思維參與和感悟的函數概念教學［J］.數學通報，2009（6）.

2.何萍.一次難忘的教學經歷［J］.中學數學教學參考（中），2011（8）.

3.何萍.立足學生的認知基礎，開展數學概念教學［J］.初中數學教與學，2011（9）.

4.何萍，彭希鵬.基于內容組織的數學教學設計［J］.中學數學月刊，2016（10）.