基于問題驅動與價值引領的課堂教學
——滬科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”觀課有感

☉江蘇泰州市教育局教研室 錢德春

基于問題驅動與價值引領的課堂教學
——滬科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”觀課有感

☉江蘇泰州市教育局教研室 錢德春

2016年11月，筆者有幸參加了第三屆全國基礎教育課程教學改革研討暨上海中小學課堂教學觀摩會，會議主題是“關注課堂對話，促進數學理解，彰顯育人價值”.上海市風華初級中學樊允樸老師為活動開設了一節題為“可以化成一元一次方程的分式方程”的觀摩課，課堂在給我們帶來海派教學新風的同時，也引發了筆者深層次的思考.本文結合課堂實錄，談談如何在問題驅動、價值引領下開展數學課堂教學活動的思考.

一、教學實錄片段

課堂伊始，教師PPT出示問題：

上海虹橋站至北京南站的距離約為1200千米，開通京滬高鐵后，某列高鐵運行的平均速度是某列動車運行平均速度的1.6倍，并且高鐵比動車快3小時到達，那么這列高鐵行完全程需多少小時？

（學生讀題，嘗試自主解決問題，教師行間巡視，并提示有無其他方法，學生1、2板演，列出方程并求得結果）

師：（問題1）你是用什么方法解決這個問題的？

生1：列方程來解決，用時間做相等關系：t高鐵=t動車-3，從而得到方程

生2：以速度做相等關系：v動車×1.6=v高鐵，從而得到方程

師：你們是怎么解方程的？

生1：我用了去分母法，轉化為一元一次方程.

生2：我用的是比例基本性質：內項積等于外項積.

師：（對生2）學生2同樣達到了去分母的目的，即左、右兩邊同時乘以……

生2：1200（x+3）=1.6×1200x.

師：本質還是去分母.

師：（問題2）在解方程時，你覺得哪一個步驟最重要？為什么？

生3：去分母，兩邊同時乘以最簡公分母，轉化為一元一次方程.

師：（問題3）我們去分母后得到的是一元一次方程，那么所列的方程是一元一次方程嗎？

生3：不是，因為分母含有字母，即含有未知數.

師：方程左、右兩邊含有分式，很好，這就是我們今天要學的方程——分式方程，把分母中含有未知數的方程叫作分式方程.

（板書：分式方程及其概念，學生補充完整課堂學習單）

師：（投影并說明）解分式方程的過程，實質上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方程化為整式方程來解，這個整式就是各分母的最簡公分母.辨析：下列方程中，哪些是分式方程？

師：你能解這5個方程嗎？（師生討論方程（1））

生5：通過去分母得x2-3x+1=0.

師：這個方程你會解嗎？

生眾：不會.

師：所以今天我們主要學習可以化為一元一次方程的分式方程（同時完善課題）.大家運用剛才的知識試著解上面的方程（4）和（5）（學生自主完成，生4、5板演，生4得到x的值后猶豫片刻寫結果）.

眾生：學生4的正確.

師：為什么？學生4考慮了什么？

生6：他考慮了x-1≠0.

師：為什么要考慮x-1≠0？

生6：分式的分子為0時分式沒有意義.

師：對于方程（4），有沒有不同方法來解呢？

師：（投影“增根”定義，學生齊讀）在分式方程變形為整式方程時，我們發現解得的這個根是一元一次方程的根，但并不是原分式方程的根，我們把不適合原分式方程的根，叫作原分式方程的增根.

師：這樣的根應該舍去，為什么會產生增根呢？應如何檢驗增根？（學生小組討論，教師行間觀察巡視、個別指導）

生8：x-1為分母，因此x-1≠0.在去分母時沒有確定x-1是否為0，當x-1=0時，方程兩邊乘上x-1后，本來不等的就變成相等了，x=1是去分母得到的根，只是整式方程的根，而不是原方程的根.

師：約分時默認分式有意義，即x-1≠0，但去分母時不知道x-1是否為0.是嗎？

生眾：是.

師：如何檢驗？

生8：把整式方程的解代入原方程驗算，看分母是否為0，如果為0就說明原方程無解.

師：還有沒有其他辦法？

生9：也可以將整式方程的解代入最簡公分母，看是否為0.

師：為什么？

生9：這樣就可以判斷乘的因式是否為0……

師：大家聽明白了？她是真正理解了增根的意義，大家鼓勵一下（回到方程（4）（5）和現實問題）.大家看這幾個問題，有沒有需要完善的地方？（師生共同補充檢驗過程，對于方程（4），教師示范，對于方程（5），由學生說教師板書，實際問題補充“經檢驗：x=150是方程

……

二、筆者的思考

這是一節精心預設、實施效果較好的概念課.“教什么”“為什么教”“怎么教”是課堂教學研究的永恒話題，誠如教者所言，課堂教學既關注數學知識獲得的過程，又重視學習方法的指導，以問題為導向，在學生自主探究、師生平等對話中促進數學理解.因此，一切教學活動都應該基于“問題驅動”與“價值引領”.“教什么”就是問題驅動，“為什么教”源于“為什么學”，其實就是價值引領.

1.以問題驅動課堂自然生長.

問題是數學的心臟.一節好的數學課堂必須有“好的數學問題”.什么是好的數學問題？好的數學問題從哪里來？如何以問題驅動學生知識自然生長？這是數學教師必須思考的課題.

（1）什么是好的數學問題？

課堂教學中好的數學問題，應該是緊扣教學內容、突出教學重點、圍繞教學難點的；應該是緊貼學生最近發展區、激發學生興趣的；應該是引發學生認知沖突、驅動學生思考的；應該是發展學生思維品質、提升學生數學素養的.本節課教學內容為分式方程，難點是分式方程增根的意義、產生增根的原因和根的檢驗.課堂上，通過學生自主解方程一部分學生解得x=1，另一部分學生由“分母不能為0“得到”方程無解”的結論，進而產生問題：你們認為哪個正確？為什么會產生這樣的現象呢？應如何檢驗增根？這些問題都是學生自主探究中產生的，緊貼學生的最近發展區，由此產生認知矛盾與沖突，從而驅動學生探究與思考的欲望.

另外，一節課的問題不是唯一的，而是該由核心問題與輔助問題組成問題組.核心問題是一節課的重點，輔助問題是為解決核心問題、達成教學目標服務的.這樣的問題組才算作是好問題.本節課中“分式方程的增根”是核心問題，在學生探究中產生，而教師追問的問題，諸如“有沒有不同解法”“你們認為哪個正確呢”“為什么會產生這樣的現象呢”“應如何檢驗增根”“有沒有需要完善的地方”等，都由核心問題分解出來，并且服從、服務于核心問題.

（2）好的數學問題從哪里來？

課堂上，好的數學問題源自三個方面.一是教師設置問題，以引導學生探究.如本節課開始時的“高鐵行程”問題就是由教師設置并拋出的問題.二是活動中生成新問題，以引發學生再探究.如學生在解方程時出現使分母為0的未知數的值，進而要尋找產生這一現象的原因.三是學習后留下懸念，給學生后續思考的空間與動力.如在分式方程概念和解法之后，面對分式方程學生會思考：這個方程如何解？

（3）如何以問題驅動學生認知？

課堂中的問題有不同的類型、不同的層次，教學中要根據學情以不同的方式相機出現，以驅動學生知識自然生長.一是懸疑式，教師擇機提出綜合性或具有挑戰性的問題，通過引導性追問，將綜合性問題逐步分解，后退至學生認知可及之處.如本節課伊始教師拋出現實問題，讓學生自主探究引出分式方程的問題；學生通過解方程出現不符合條件的解，進而提出“為什么產生增根”的問題，都屬于懸疑式.二是遞進式，教師課堂上圍繞學習目標進行遞進式追問，讓學生的數學理解更加深刻、數學思維拾級而上.三是并列式，這類問題是生成的、靈動的、即時性的，學生通過自主探究和師生對話加深數學理解，本節課較多采用這種方式.教師以問題激發學生的興趣和對新知的渴求，以問題引導學生探究與思考，以問題引發師生對話交流、思維碰撞.學生主動利用已有知識經驗尋找解決問題的突破口，從而體會分式方程的意義，體驗把分式方程轉化為整式方程這一重要的數學思想，理解增根的意義.

2.以教學價值引領數學教學實施.

所謂教學價值，就是教學設計與教學實施活動“要使知識恢復到鮮活的狀態，與人的生命、生活重新息息相關，使它呈現出生命態……激活、喚起學生學習的內在需要、興趣、信心和提升他們主動探求的欲望及能力”“教育價值決定著教學方式，教育價值是教學設計的靈魂”.這里結合本節課的教學談談“現實情境”、“數學概念”及“強化”的教學價值.

（1）關于“現實情境”的教學價值.

表1

北師大版八年級下冊“5.4分式方程”由3個現實問題列出3個方程，設問：所列方程有什么共同特點？進而定義：分母中含有未知數的方程叫作分式方程.蘇科版八年級下冊“10.5分式方程”由3個現實問題列出3個方程，設問：所列方程與一元一次方程有什么區別？進而得到方程……分母中都含有未知數，像這樣的方程叫作分式方程.觀察方程8 x=5、1 2x-2 3 x-6浙教版七年級下冊“5.5分式方程”x=1、x+3 x+2= x=2，像這樣只含分式，或分式和整式，并且分母中含有未知數的方程叫作分式方程. 2 3、x+1湘教版八年級上冊“1.5可化為一元一次方程的分式方程”與人教版類似.

從表中看出：幾種版本的教材都是由現實情境問題列出方程、分析方程特征、給出分式方程的概念.我們不妨站在學生的角度思考：面對實際問題，在列出方程后學生最關心什么？是答案等于多少、如何得到，而不關心這是什么方程.從教學實施看，學生列出方程后很快解出方程，而此時并沒有分式方程的概念，這足以證明筆者的猜想.那么，設計現實情境問題的意義何在呢？僅僅是為了讓學生感受到數學來源于生活、分式方程是刻畫現實生活的模型嗎？

筆者認為，現實情境的創設應該基于三方面：一是以熟悉的背景和問題激發學生對新知學習的渴求；二是圍繞教學目標與教學內容，引發學生的認知沖突；三是引發學生的數學思考.分式方程與整式方程相比較，除“分母含有未知數”的形式區別外，關鍵是“可能產生增根”，這是本節課需要突破的難點，也正是本節課的教學價值所在.因此，如果給出的現實問題既能列出分式方程，方程又能產生增根，這樣的現實情境才有價值，否則寧可不要.

（2）關于數學概念的教學價值.

李邦河院士說，數學根本上是玩概念的.為什么要建立數學概念？數學可以看成是由概念及其相互關系（如公理、定理、公式、法則等）組成的模式與結構.建立數學概念的意義在于建立新模型、表達新結構、解決新問題，驅動數學向前發展，這是數學概念的教學價值所在，也是學生概念學習的動力之源.學生只有感受到概念學習的必要性，才有進一步探究的欲望和動力.數學概念的教學價值應體現在以下三個方面.

一是已有概念難以解決新問題，從而產生認知沖突.如無理數概念教學.學生已有“有理數”概念：把能夠寫成分數形式（m、n是整數，n≠0）的數叫作有理數，有限小數和循環小數都是有理數.如圖1，將兩個邊長為1的小正方形沿一條對角線剪開拼成一個大正方形，設大正方形的邊長為a，那么a2=2，用有限逼近法說明a不能寫成（m、n是正整數）的形式，a是一個無限不循環小數.顯然，a不是有理數，但邊長a又是實際存在的數，那么a是什么數呢？從而引發認知沖突，為“無理數”概念建構的必要性作好心理鋪墊.

圖1

二是揭示數學本質，發現新的數學結論.如圓周角概念教學.在學生已有圓心角概念的基礎上，運用幾何畫板軟件拖動圓心角∠AOB（如圖2-1，可設置成將圓心O分離得到可移動點P）的頂點P，分別在⊙O內、⊙O外和⊙O上拖動，觀察∠APB的大小有沒有變化.通過操作發現：當點P在⊙O內（如圖2-2）和⊙O外（如圖2-3）運動時，∠APB的大小可以變化；當點P在⊙O上（如圖2-4）運動時，∠APB的大小始終不變，這里的“變中不變”正體現了數學本質.既然這個角有如此奇妙的特征，那么它是什么角呢？從而有必要研究這種角.

圖2

三是刻畫數學對象的基本特征，溝通數學對象間的聯系.數學家庭中的每個成員都有自身的特點，成員之間又有密切的聯系，當成員不斷擴大時，如何描述這些成員的特點，并建立起成員間的聯系，使得它們相互間序列清晰、層次分明呢？這就有必要建立新的概念.如“四邊形”這個家庭中有“一般四邊形”和各種特殊四邊形，平行四邊形有區別于一般四邊形和其他特殊四邊形的特點，而平行四邊形又是溝通一般四邊形與其他特殊四邊形的橋梁，因此有必要對這個四邊形下定義：一般四邊形+兩組對邊分別平行=平行四邊形；平行四邊形+特定條件=其他特殊四邊形.通過這樣的方式，既明確了平行四邊形的特點，又明晰了平行四邊形與其他四邊形之間的關系.

回到本節課，教者引導學生根據現實問題分別用兩種方法列出方程，并讓學生自主解決問題，用已有知識解出x，然后分析方程特征，給出了分式方程的概念.但站在學生的角度想：沒有“分式方程”概念同樣能夠解決問題，此時既無認知沖突，又無關數學本質，那么建立“分式方程”概念有必要嗎？僅僅是為了學習概念嗎？

翻開所用教材發現，在完整解決現實問題后用文字描述：“以前學過的像一元一次方程、二元一次方程等這類分母中不含未知數的方程叫作整式方程，分母中含有未知數的方程叫作分式方程.”大多教材也都是沿著“概念—方法（判定、性質、法則）—運用”這樣的順序呈現的.我們知道，教材不可能承載太多，在“學生認知”和“知識體系”兩方面難以兼顧時，教材會作出取舍.但課堂教學要考慮到概念的教學價值，教師要在充分尊重教材、利用教材的前提下，創造性地使用教材，將教材形態轉變為教學形態，設計順應學生認知的教學活動，引發學生認知沖突，驅動學生主體認知、主動學習，體現數學概念的教學價值.

本節課的知識與能力目標是“理解分式方程及增根的意義，會將分式方程轉化為整式方程，知道解分式方程時產生增根的原因”，因此，本節課完全可以從數學內部引出問題.如直接解方程（3）其中方程（3）是一元一次方程，直接去分母；對于方程（4）和（5），學生同樣用去分母的方法，解方程（4）得x=1，此時分母為0，進而引導學生探究產生這個現象的原因，繼而給出分式方程的定義.

翻閱滬科版教材，發現這個內容只安排了1個課時.教者或許基于教學內容與課堂結構的完整性考慮用1節課研究分式方程的概念、探究增根現象及其原因并掌握檢驗方法，又要回到實際應用問題，但這對學生來說可能勉為其難.要知道分式方程及增根問題是學生第一次接觸，而在后續的數學學習中還出現更為復雜的分式方程，其解決思路、策略等完全依賴這個階段的學習，因此本內容的學習要抓住重點內容與核心問題，并保證足夠的時間.據筆者統計，這部分內容，其中，魯教版安排了4課時，人教版、北師大版、蘇科版、青島版教材各安排了3個課時，浙教版、湘教版教材各安排了2個課時，這樣的安排更為妥切.

（3）關于“強化”的教學價值.

“強化”是一種常見的教學策略.本節課在揭示分式方程概念后，教者安排了分式方程概念的辨析環節，這個過程具有概念強化的功能.我們知道，形式化是數學的重要特征之一.教師既要讓學生真正理解產生增根的原因，也要引導學生進行形式化的辨析：分母中含有未知數的方程就是分式方程，這個思維過程就有可能產生增根，就必須對解得的根進行檢驗，即：分母中含有未知數→分式方程→增根→檢驗.因此解方程時必須先判斷是不是分式方程，進而考慮要不要對根進行檢驗.試想：將判斷“分式方程”環節去掉行不行？顯然不行.因為缺少了“判斷是否為分式方程，確定是否需要檢驗”這個環節，可能會增加學生的失誤.因此，適當的形式化辨析的強化過程不可或缺.

我們經常發現這樣一種課堂現象：有經驗的教師在概念形成或定理（法則）語言表征后，讓全班學生齊讀一遍；學生回答問題后讓其他學生“再說一遍”；還有教師讓學生在教材重要的文字、圖形下劃線等，這些環節本質上就是一種強化.當然，“強化”的方法多樣，讓學生舉例是又一種方法.史寧中認為：“對一個概念或者命題是否理解，就是舉例.能舉出適當的例子就是理解，否則就是不理解.”他還舉了這樣一例子：4÷為什么等于12？即為什么等于4×3？這是一些數學教育專業博士生都難以回答的問題.事實上，從逆運算上理解：被除數等于商乘以除數，問題就變成“兩邊同時乘以3，即得“？=4×3=12”.就分式方程概念而言，學生能夠運用已有知識和經驗，列舉出“屬于”和“不屬于”分式方程兩方面的例子，說明已經真正掌握了分式方程概念.因此，數學教學中，指導學生進行適當的辨析、多形式表征與轉換、復述齊讀、在教材關鍵文字下加下劃線等多種形式的強化工作，具有極其重要的教學價值.

三、寫在后面

教學是一門遺憾的藝術，難以“魚和熊掌”兼而得之，不同的教學理解就會有不同的教學設計，但掌握并抓住核心問題、突出教學價值，應該成為數學教學設計與實施的必然選擇.這里的核心問題應該能夠圍繞目標、自然生成、激發興趣、引發思考、發展思維，而突出教學價值的引領作用是一切教學設計與教學活動的前提.

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