精心設計數學活動，促進學生自主發展
——青島版義務教育教科書數學（七～九）編寫的原則之二

☉山東沂南縣教育局 李樹臣

精心設計數學活動，促進學生自主發展
——青島版義務教育教科書數學（七～九）編寫的原則之二

☉山東沂南縣教育局 李樹臣

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）在“教材編寫建議”中提出了六條具體的“建議”，這是教材編寫必須遵循的原則.其中一條是“過程性”原則，針對這一原則，進一步強調“教材應選用合適的學習素材，介紹知識的背景；設計必要的數學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用.恰當地讓學生經歷這樣的過程，對于他們理解數學知識與方法、形成良好的數學思維習慣、增強應用意識、提高解決問題的能力有著重要的作用.”

我們在編寫青島版義務教育教科書數學（七～九）時，是從以下兩大方面落實“過程性”原則的.

一、全方位設計探究數學知識的活動

《課標（2011年版）》指出“在設計一些新知識的學習活動時，教材可以展現‘知識背景—知識形成—揭示聯系’的過程.這個過程要有利于激發學習興趣，理解數學實質，發展思考能力，了解知識之間的關聯.”

為了便于教師和學生使用，我們是按節設計安排青島版教材的，每節內容一課時，每節的具體結構如圖1所示：

圖1

教材中的每個欄目都是通過真實的情境、鮮活的實例或數學自身的素材，用“問題串”的形式，幫助學生進入學習情境的.讓他們在觀察、實驗、思考、猜想、驗證、推理與交流等數學活動中，親身體驗數學的探究與發現過程，完成對數學知識的學習.這些問題既能反映數學的本質，還有助于學生開展觀察、思考、實驗等活動.這些欄目使得教材的課文處理方便、段落之間銜接自然.

每節課的課文都是由學生的活動構成的，這些活動是由圖1中虛線框內的三個欄目——“交流與發現”“觀察與思考”“實驗與探究”引導學生展開的.例如，七年級上冊教材60課時，共有三個欄目44個，其中“交流與發現”23個、“觀察與思考”14個，“實驗與探究”7個；七年級下冊64課時，共有三個欄目57個，其中“交流與發現”23個、“觀察與思考”24個，“實驗與探究”10個.

每節課平均接近一個這樣的欄目.有的一節課文含有多個這樣的欄目，如七年級第1章第2節“幾何圖形”和第13章第3節“圓”都含有三個欄目，每個欄目各一個.

《課標（2011年版）》在“課程基本理念”中指出“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”對于新知識的學習，我們應結合學生的實際接受情況，精心設計問題系列，用“交流與發現”“觀察與思考”“實驗與探究”三個欄目引導學生自主探究、發現.

1.交流與發現活動.

數學交流與發現是指學生在運用數學語言、數學思想方法，以聽、說、讀、寫等方式對已有數學知識進行認知的同時，發現新知識的活動.對于數學中的一些基本概念、性質、規律等知識的學習，通過設計系列問題，引導學生去思考并解答，學生在解答這些問題的同時將獲得數學結論（數學概念、公式、規律、定理、法則）.同時還能積累一些基本的數學活動經驗，當再遇到類似問題時便能借助這些經驗，進行主動的富有個性的學習，從而不斷提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.

案例1：二元一次方程概念的形成過程.

為了建立“二元一次方程”的概念，教材是用下面的問題引導學生進行“交流與發現”活動的：

雄偉的長城是中華民族的象征.據有關資料，長城西起嘉峪關，東至遼東虎山，全長約7300千米.其中西段從嘉峪關到山海關，東段從山海關到遼東虎山，西段比東段長約6100千米.長城的東、西段各長約多少千米？在這個問題中：

（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？

（2）有哪些等量關系？

（3）如果設長城東段的長為x千米，西段的長為y千米，那么長城的全長可以用含有未知數x、y的代數式表示為_______；西段比東段長_______.

根據等量關系：東段的長+西段的長=7300米，可以列出方程_______；

根據等量關系：西段的長-東段的長=6100米，可以列出方程_______.

上面的兩個方程有什么特點？與同學們交流.

【設計意圖】為了讓學生經歷二元一次方程的形成過程，創設了上面的問題情境.學生在思考、回答、討論、交流以上問題的過程中，將會發現該問題中含有兩個未知量：長城東段的長和西段的長；等量關系也有兩個，然后根據這兩個等量關系分別列出含有兩個未知數的方程①（x+y=7300）和②（y-x=6100）.之后引導學生觀察方程①和②的特點，發現它們與一元一次方程的不同之處，在對其共性進行分析的基礎上，概括出二元一次方程的定義.

這種設計不僅讓學生經歷了二元一次方程的形成過程，認識到二元一次方程是在解決實際問題的過程中產生的，進一步加深了對方程本質的理解，有利于幫助學生形成“數學來源于生活又服務于生活”的意識.而且還能積累起通過建立新的模型（二元一次方程）解決實際問題的活動經驗，這為后面繼續學習建立分式方程模型、一元二次方程模型及不等式模型、函數模型等解決實際問題積累了寶貴的建模經驗.

教材在引導學生學習《課標（2011年版）》界定的大部分“課程內容”時，都是結合具體內容和學生的認知實際，精心創設問題系列，以此引導學生通過數學交流活動，從而發現這些知識的.這樣的設計有利于激發學生的學習興趣，引起數學思考，從而更好地理解數學的實質，了解知識之間的相互關聯，構建優化的數學認知結構，并且不斷積累起有價值的數學活動經驗.

2.觀察與思考活動.

數學觀察與思考，就是指運用數學的思維方式去思考、分析、探究在觀察數學對象時遇到的問題，發現其中存在的數學現象和數學規律，從而運用數學的知識和方法加以解決的活動.青島版教材對于數學中的一些運算律、公式、法則等知識，都是從學生已有的認知發展水平和經驗出發，精選恰當的學習素材，設計一些問題，引導學生進行觀察、思考、分析、綜合、推理、判斷等思維活動，在活動的過程中掌握這些知識.

案例2：中位數概念的學習過程.

在引導學生學習中位數概念時，教材是用下面的問題引導學生進行“觀察與思考”活動的：

一組男生的身高分別為（單位：cm）：

164，172，178，170，167，168，167，172，169，170，170，156，159，161，171.

思考下面的問題，并與同學交流.

（1）這組數據中，共有多少個數據？

（2）將這組中的所有數據按照由小到大的順序加以排列，排在正中間位置的數據是哪一個？如果按照從大到小的順序加以排列呢？你發現了什么？

（3）如果又加入一名男生的身高數據173cm，新的一組數據中有多少個數據？如果將這組新數據按照從小到大的順序加以排列，那么排在正中間位置的數據是哪幾個數？如果按照由大到小的順序加以排列呢？

【設計意圖】《課標（2011年版）》指出“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索”.本節教材以學生熟悉的生活情境為素材，通過“觀察與思考”設計了數據整理、描述數據和分析數據的系列活動，讓學生親自動手把一組數據按大小次序排列，找出處于中間位置的數，引出中位數的定義.

在問題（1）（2）中有15個數據.不論將這組數據按照從大到小還是從小到大的順序排列，排在正中間位置的數據只有一個，且都是169cm.在問題（3）中，有16個數據，不論按照從大到小還是從小到大的順序將這組數據加以排列，排在正中間的數據總有兩個，分別是169cm和170cm.這兩個數據的平均數是169.5cm.

學生通過解答上面三個問題，不但能體會到中位數可以描述一組數據的一般水平和集中趨勢，而且明確求一組數據的中位數必須掌握兩個要點：其一，先把被考察的一組數據按照大小順序重新排列；其二，當數據的個數為奇數時，位于正中間位置的數據就是中位數，當數據的個數為偶數時，位于正中間位置的兩個數據的平均數就是中位數.中位數不一定是這組數據中的某一個數，每一組數據只有一個中位數.在學生認識到這一點后，教材及時給出了中位數的概念及具體求法.

3.實驗與探究活動.

數學實驗與探究是指學生以實驗問題作為探究內容，在動手操作、實踐、試驗等基礎上發現新問題的學習活動.根據《課標（2011年版）》提出的“為了幫助學生真正理解數學知識，教師應注重數學知識與學生生活經驗的聯系、與學生學科知識的聯系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析，抽象概括，運用知識進行判斷”要求，對于一些能通過動手操作得出的結論，我們根據課程內容，結合學生的實際接受能力，設計一些具體的、可操作的問題，使學生經歷操作、觀察、分析、討論、探究、歸納、猜想等活動，在經歷這些活動的過程中，發現有關的結論.

案例3：線段的垂直平分線的性質的探究過程.

對于線段垂直平分線的性質，教材是用下面的問題引導學生進行“實驗與探究”活動的：

（1）在紙上作一條線段AB（如圖2①），通過對折使端點A與端點B重合.將紙展開后鋪平，記折痕所在的直線為MN，直線MN與線段AB的交點為O（如圖2②）.你有什么發現？

圖2

圖3

（2）如圖2②，MN是線段AB的垂直平分線，在MN上任意取一點P，則點P可能有兩種情況：當P恰是MN與線段AB的交點時，由MN平分AB可知PA=PB；當P不在線段AB上時，連接PA與PB（圖3）.把這張紙再沿直線MN對折，PA與PB重合嗎？為什么？由此你能得到什么結論？

（3）反過來，到線段兩端距離相等的點是否都在線段的垂直平分線上？當點P在線段AB上時，由PA=PB，可知P是AB的中點，此時點P在線段AB的垂直平分線上.當點P在線段AB外時，如果PA=PB，你能說明點P在線段AB的垂直平分線上嗎？

（4）已知線段AB（如圖4），你能根據（3）中的結論，用尺規作出線段AB的垂直平分線嗎？與同學交流.

圖4

【設計意圖】為了引導學生學習、探究線段的垂直平分線的性質，我們設計了以上四個問題.問題（1）的目的是引導學生探究線段的軸對稱性，進而給出線段的垂直平分線的定義.問題（2）是引導學生綜合運用合情推理和演繹推理，探究線段的垂直平分線的性質.線段的垂直平分線上的點P與線段AB有兩種位置關系，并且推理的依據也不相同：當P在AB上時，推理的依據是垂直平分線的定義；當P不在線段AB上時，推理的依據是線段的軸對稱性質.正因為如此，這個問題才分兩種情況討論.問題（3）將問題（2）向相反方向探究.通過對這兩個問題的探究得到的線段的垂直平分線的兩條性質，是同一事物（線段的垂直平分線）的兩個方面，二者的涵義是不同的.“線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”，揭示了線段的垂直平分線上的點的共同屬性，即這條垂直平分線上的任何一點都到線段兩端的距離相等，無一例外，也就是說，在線段的垂直平分線上的點，不摻雜一個不具有這種性質的點，數學上把這種性質叫作純粹性.“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上”是指線段的垂直平分線包括了所有滿足到這條線段兩端距離相等的點，垂直平分線外的任何一點到這條線段兩端的距離都不會相等，數學上把這種性質叫作完備性.由于線段的垂直平分線同時具有純粹性和完備性，因此，可以把一條線段的垂直平分線看作是到這條線段兩端距離相等的點的集合.學生能感悟到這一點，說明不僅掌握了線段的垂直平分線的性質，而且積累了探究的經驗，為后面探究角平分線的性質奠定了基礎，也為將來進一步學習數學提供了可借鑒的方法.問題（4）的目的是引導學生探究用尺規作一條線段的垂直平分線（這是一個基本作圖）.學生通過思考將會發現，在作圖過程中，為了作出到已知線段的兩個端點距離相等的點M、N，所作的弧要求半徑大于AB，只有這樣所作的兩段弧才能相交.

學生經過上述探究活動，不僅發現了線段的垂直平分線的性質，而且形成了探究的技能，積累了開展探究活動的經驗.

青島版教材對于新知識都是結合具體的學習內容，精心選取合適的學習素材，以此引導學生開展“觀察與思考”“交流與發現”“實驗與探究”等系列活動，在活動的過程中探索得到的.這種設計就從“源頭”上改變了長期以來，數學教學只注重知識的傳授，忽視知識的發生過程，不講背景和過程，把結論硬塞給學生的現象，從根本上解決了“學生學得快，忘得也快”“一聽就會，一做就錯”的問題.

針對上面三個欄目，教育部基礎教育課程教材專家工作委員會給予充分肯定，并給出了書面審查建議：

教材設計了“觀察與思考”“實驗與探究”“交流與發現”及“挑戰自我”等欄目，積極鼓勵學生探索發現，感受數學來源于生活，注重了“四基”培養.

二、多角度設計數學知識的應用活動

《課標（2011年版）》指出“教材應當根據課程內容，設計運用數學知識解決問題的活動.這樣的活動應體現‘問題情境─建立模型─求解驗證’的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想，積累活動經驗；要有利于提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創新意識”.

關于數學知識的應用，教材主要是通過以下兩個活動來完成的：

1.問題解決活動.

教材在體現“過程性”原則時，除了用前面所述的“三個欄目”突出知識的形成過程外，還特別重視知識的應用過程.對于所有的教學內容，在引導學生探索和發現新的數學結論后，我們都及時設計了運用新知識解決問題的活動.例如，學習了普查和抽樣調查的知識后，安排學生上網查詢第六次全國人口普查的有關資料；學習了三角形全等的知識后，設計了測量不可到達的兩點之間的距離問題；學習了解直角三角形的知識后，引導學生測量某建筑物的高度等，類似這樣的活動，教材都會結合“恰當”的知識點及時要求學生去做.

再如，七下“10.4列方程組解應用題”之后共設計了38個通過建立方程組模型解決實際問題的題目.

案例4：你能設計幾種購買方案？

某電腦公司銷售A、B、C三種型號的電腦，每臺售價分別為6000元、4000元、2500元.時代中學計劃投入100500元經費用于購買其中兩種型號的電腦，共計36臺.你能設計出幾種不同的購買方案？各是什么方案？

【設計意圖】《課標（2011年版）》已經把“模型思想”等作為課程內容的核心之一，并指出“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑”.這個問題來源于生活實際，有利于培養學生的學習興趣，調動其學習積極性.學生通過建立方程組模型，利用數學知識很容易完成解答.學生在經歷運用方程組知識解答這個實際問題的過程中，進一步體會到方程的本質，加深了對方程知識的理解和掌握、積累了開展數學建模活動的經驗；還提高了學生發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力，有利于應用意識和創新意識的培養，對于提高學生的數學核心素養具有重要的意義.

2.綜合與實踐活動.

《課標（2011年版）》在“課程內容”中提出了四個部分，其中之一為“綜合與實踐”，并且指出“每一冊教材至少應當設計一個適用于‘綜合與實踐’學習活動的題材，這樣的題材可以以‘長作業’的形式出現，將課堂內的數學活動延伸到課堂外，經歷收集數據、查閱資料、獨立思考、合作交流、實踐檢驗、推理論證等多種形式的活動”.

我們在每一冊教材中都設計了一個適用于“綜合與實踐”學習活動的題材（在六冊教材中共設計了七個綜合實踐活動），這樣的題目以“長作業”的形式出現，目的是以此將課堂內的數學活動延伸到課堂外，讓學生經歷收集數據、查閱資料、獨立思考、合作交流、實踐檢驗、推理論證等多種形式的活動.

案例5：由1拃長引發的探索.

這是在八年級上冊第4章“數據分析”之后安排的一個“綜合與實踐”活動.本綜合實踐活動分為三個環節：

第一，對每位學生的1拃通過實際測量采集原始數據.用“實驗與探究”針對如何確定1拃長度的意義，設計了6個活動，引導學生經歷估計和度量右手、左手大拇指與中指、食指、無名指、小拇指指尖的距離的過程，感受對于通常人們所說的“1拃”作出一個統一規定的必要性和合理性，并且用“拃”作單位進行實際測量，體會“拃”在生活中的作用.

第二，對調查得到的數據分男生、女生進行整理.用“觀察與思考”欄目要求學生用每人選定的“1拃”的長度作為數據，分別統計全班男、女生1拃長度的平均數、眾數、中位數，選定合適的統計量作為代表，并判斷自己的一拃長在全班數據中所處的位置.

第三，對調查獲得的數據的集中趨勢和離散程度進行分析.為此，教科書用“小資料”欄目引入另一個統計量——極差.極差是一組數據中最大值與最小值的差，它反映了一組數據的波動范圍，是刻畫數據離散程度最簡單的統計量之一.這是在原有知識基礎上進行的拓展，擴充了學生的知識面.這樣安排為學生提供了一個探究空間，發展了學生自主學習的能力，對于其創新意識的形成具有重要的價值.

【設計意圖】教科書安排本活動的主要目的是：（1）讓學生經歷數據的收集、整理、描述與分析的過程，豐富統計活動的經驗，發展學生的數據分析觀念，不斷積累統計活動經驗，加深理解統計思想與方法；（2）了解描述一組數據的離散程度的極差、極差系數和方差系數的意義.

學生在參加這個綜合實踐活動的過程中，各種數學能力幾乎都要用到，長期進行類似的訓練，學生的數學核心素養將得到大幅度的提高和發展.

青島版教材主要是從以上兩個方面落實“過程性”原則的，這兩個方面涉及的數學活動形式是多種多樣的（如觀察、試驗、猜測、驗證、推理、交流、抽象、概括、符號表示、運算求解、數據處理、反思構建等）.希望大家認真研讀教材，不斷加強教學研究，努力為實現《課標（2011年版）》提出的“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的課程基本理念作出自己的思考與探索.

1.李樹臣.中學數學課程內容選取的原則［J］.中學數學（下），2010（3）.

2.李樹臣.數學教學過程化的4個常用策略［J］.中國數學教育，2010（6）.

3.李樹臣.數學教材應充分體現知識的形成過程——以青島版七年級教材為例［J］.中學數學雜志，2012（8）.

4.李樹臣.注重綜合實踐活動，培養學生探究能力——兼對課題“黃金分割與五角星“的教學研究介紹［J］.中學數學（下），2014（10）.

5.李樹臣.積極開展探究活動，提高學生數學能力［J］.中學數學雜志，2016（8）.

6.李樹臣.認真研讀課程標準，加強知識技能教學［J］.中學數學雜志，2016（10）.

7.李樹臣.突出數學思想主線，優化教材知識結構——青島版《義務教育教科書·數學》（七～九）編寫的原則之一［J］.中學數學（下），2016（12）.

8.李樹臣.認真研讀課程標準，教會學生數學思考［J］.中學數學雜志，2016（12）.

9.李樹臣.認真研讀課程標準，強化問題解決教學［J］.中學數學雜志，2017（2）.

10.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.