教材的結構-功能分析方式探索
——基于數學教學設計的視角

☉淮北師范大學數學科學學院 張昆

教材的結構-功能分析方式探索
——基于數學教學設計的視角

☉淮北師范大學數學科學學院 張昆

數學教學設計是一項結構系統性整體工程，它的構成要素主要體現在互相關聯的三個側面：理解要傳授的具體數學知識結構所呈現的環節及其聯結中介的可能組成序列；把握學生發生數學認識的心理環節（呈現的是觀念形態）及其過渡性中介的可能組成序列；通過創造性工作找到關聯這兩組序列的契合點，以實現它們之間的同構（同構是數學概念，指兩個集合中的元素一一對應），如圖1所示.這就是通常所說的教學設計應基于“教材分析”、“學情分析”及找到關聯這兩項分析結果的紐帶（簡稱“關聯分析”）.本文重在探討教師“教材分析”的價值、方式與途徑.

圖1數學教學設計框架圖

一、教材分析涵義的界定

所謂教材分析，望文生義就是對教學材料（即所要傳授的數學知識）的理解與認識，指教師將在一段時間內（比如一課時、一單元時段或一學期時段）將要傳授的教學內容（數學知識）分解開來，認識它的每個部分或每個層次要素及其關聯過程的實質，在此基礎上通過綜合，獲得對寫進教科書中的知識結構整體的理解與認識的思辨活動.由此，我們發現，教材分析的重要目標體現在兩個互相關聯的方面：其一，確定單個具體的數學知識點的特性及發生這一知識時學習者憑藉的獨特認知方式；其二，確定知識點之間的互相聯結組成的知識結構的關聯方式及對這些關聯方式發生認識的心理活動方式.

二、教材分析重在揭示知識中利于學習者發生認識的傾向性

我們知道，寫進數學課程標準中的數學知識都是在數學發展史上曾經構成對人類智力的挑戰，但是已經被人類的聰明才智徹底征服并解決了的（它不是數學家目前正在研究的問題，而是已成定論性的知識結果），因此，知識中就不僅內含了人類自己的認識得到的確定成果，并且也或深或淺、或多或少地內含著知識原創者發生認識時思維展開的認知方式痕跡.但是，這兩者都需要通過教科書的編制及經由教師對教科書的解讀、理解與認識，經過教學設計的處理，才能轉化成課堂上正面影響學習者的資源，以利于發揮知識的教育價值.因此，作為教學的知識就具有兩方面相互關聯的特征：

其一，寫入課程中的單個具體的數學知識點具有相互關聯的三個特點：（1）組成這個知識點的核心思想應該明確而具體（但是，實際上受到諸多方面的限制，教科書或教師教學用書都難以達到這一點）；（2）知識原創者對這一知識點的核心思想已經形成了規范性表達（教材通過字斟句酌地描述與刻畫能夠做到這一點）；（3）數學知識的核心思想通過其規范性表達形成了啟發性成分，應該被教師所體會與理解（啟發性成分也是教科書難以明確表達出來的，需要教師結合學科文化與教學經驗的支持，加深對教科書中的知識背后的關于數學知識的知識——近乎于元認知——的認知）.這些特點隱含著知識原創者對于具體知識點的特定認知方式，在數學教學中具有非常重要的價值.

其二，每一個具體數學知識點不可能獨立存在，它既是前在的數學知識的必然產物，即是以學習者（事實上，存儲在某種媒介中的作為外化的客觀數學知識也可以依此類推）前在的數學知識為基礎而發生的，又是產生后面新數學知識的基礎，或者說每一個數學知識點都處在生生不息、源遠流長、環環緊扣的知識點（或體現在學習者心理活動中）序列之間的關聯環節之中，而不可能孤立地存在，這形成了數學知識之間的結構性.正是如此的結構性使新數學知識總是孕育于舊有的知識之中成為可能.于是，個體發生數學認識就可以利用這種結構性，通過各種各樣的線索，從學習者所面臨的外在信息與已經存有的舊數學知識的結合中產生新知識（將外在信息數學結構化的過程，擴展了數學知識的范圍）.

數學知識的核心思想的獨立性與知識點之間的結構性的共存特征，注定了數學知識具有自身傳播的內在動力.換句話說，對于渴望掌握數學知識的學習者而言，當數學知識與學習者的智力結合時，數學知識在學習者的認知結構中便具有了自我繁衍與自我展開的能力（稱之為數學知識的“自展性”，教材分析的過程主要體現就是教師悉心研究數學知識的“自展機制”的過程）.在學習者發生數學知識時，這些都不斷提示（乃至于規劃）著主體的認識方式展開的大致軌跡，從而可以因勢利導地實現數學教育目標.如此分析，我們發現，數學知識具有利于學習者學習的心理傾向性.由此可知，有效的數學教學設計的產生一定不能背離利用數學知識的這種利于學習的傾向性，教師的首要任務就是因勢利導，引導學生從已經存有的數學現實與新學習材料的結合中產生新的數學知識.

因此，一般來說，數學教科書的編制、教師的教材分析都應該從有利于學生學習數學的自在傾向性出發（確實，一輪又一輪的數學課程改革，特別是我國數學教育的面向國際視野，產生的結果是教科書的編制經由許多學科專家與教育專家的思考與實踐，它力圖采用符合于學生理解數學知識的心理結構機制的方式表征數學知識，但現實中總是存在著不盡如人意的瑕疵），這樣才能更好地發揮數學知識的教育價值：萌生數學思想，生成與再生數學觀念，形成數學能力（特別是學習者自學數學的能力），并有利于從數學思想、觀念、能力的發揮中析出具體的解決問題的數學方法.

三、數學知識的結構-功能分析

教材分析可能具有多種方式，其中，結構-功能分析方式是其中的基礎的也是重要的分析方式.所謂數學知識的結構-功能分析，就是要采用系統方法論觀點去理解與認識寫入課程標準中某個（或者是某章）既成的數學知識，認識這個知識結構中的各要素之間的搭配或安排，體會它們的環節及其聯結中介所構成的要素系統結構的合理性，由它所生發的功能的充分性，探索易于發揮知識結構機能的特征.一個數學知識總是經由人類的思維活動將相關要素組構成了一個實體，這個實體以一種完整的面貌呈現在人們的面前，因此，它的深層次結構的真正內涵就不可能一覽無遺地呈現出來，成為“顯而易見”的直白狀態的形式，它的功能更是未曾轉化為實際效果、尚屬“潛在狀態”.教材分析就是理解與認識由要素構成的結構及其可能發出的功能之間內在關聯的紐帶.

由于呈現在教科書上的知識結構及其功能基本上是處于“潛在狀態”的文字表達的形式中，教師在利用數學知識資源促進學生發展的整個教學環節中，必須對進入數學課程的知識作多方位探究：它的外在表象形式、深層本質結構，兩者之間可否建立真正（非人為）的聯系.大多數情況下，表象形式不能直接表征知識的本質結構，它喜歡以扭曲的方式（本質結構藏頭漏尾地借助于表象形式）顯露出來，這就是學生發生數學認識的疑難所在.但是，表象終究是引領學習者入門的向導，因此，重要的是，教師必須找到從數學化信息的表象形式到數學知識本質結構的認識過程所需要的紐帶、契合學生發生數學認識的認知方式，使這兩者形成心理意義上的關聯.

在教學設計時，知識信息的表象形式的脈絡輪廓、中層結構與深層結構都可以作為教師引導學生發生數學認識的憑據.于是，問題就出現了，只有依據把握深層知識結構的教學設計，才是最有價值的、真正有意義的，即通過實施如此的教學設計，學生在獲得形成數學知識的核心思想，進而轉化為規范性表達的過程中，獲得知識內含的啟發性成分，這一整套過程標志著學生真正地發生了數學認識.而依據中層結構的把握肯定難以形成數學知識的核心思想，因此，這種教學勢必會有缺陷，學生在大多數時候難以理解結構的意義，也就不能確定其功能的發揮.依據表象信息形式的脈絡輪廓所形成的教學設計的實施，可能將數學知識采用記憶或強化訓練的方式強加于學生.

但是，由于結構總是與其呈現的內容（組成結構的元素）相聯系，功能也總是與所達成的目的相聯系，于是，這種以結構-功能關聯的分析過程，又勢必會在一定程度上牽涉將外在數學化信息轉化為數學知識的過程時人類發生認識的心理活動過程，即在外在信息數學化的過程中契合于組織信息的主體的活動目的（人的主觀賦予的，如審美、動機、情感的需要與實現等）的心理過程機制，其實對促進學生發展而論，這些牽涉個體發生數學認識的心理成分應該是在教材分析時追求的重要目標之一，因為，這是作為結構化的數學知識促人發展的真正重要的地方.因此，教學設計時的教材分析（主要體現于其知識結構-功能分析）應包括以下一些具體內容：

（1）理解與認識所要傳授的數學知識結構的構成要素（由于知識結構具有層次性，這種構成要素總是存在的），這些要素構成了知識結構的硬件.

（2）理解與認識數學化信息組構成數學知識的心理活動過程（包括體悟數學的核心思想、它的啟發性成分與規范性成分的萌生及聯結過程），這些要素構成了知識結構的軟件.

（3）理解與認識構成知識結構的硬件與軟件及與其他要素之間存在的聯結方式及紐帶（發現這種紐帶絕非易事！），各種要素在知識結構中處在怎樣的地位上，這些主客觀要素或者不同位置的要素是如何聯結的.

（4）理解與認識這個作為結構體系的知識如何體現它與發生認識的主體的心理活動環節及其過渡性中介之間互相適應的條件與限制.

（5）理解與認識具體的知識結構體系可能產生的教育價值，如數學知識在實際應用、增進智慧、形成有價值的非智力心理品格與道德品格等方面的作用.

總之，作為教學的數學知識的結構-功能分析方式的展開，也離不開“學情分析”與“關聯分析”的相關過程的聯合作用，因為，教學就是通過伴隨引導學生發生數學知識，試圖促成學生萌生優秀的心理品格，知識只是某種意義上的載體，真正起作用的是將知識中所隱含的“使人之為人”的先賢們的心理品格植入一代新人的意識結構之中.因此，“教材分析”總是具有目的性的，其中最重要的目的就是力圖借此獲得透過學生的認知方式發生數學認識的教學流程，這就勢必要牽涉學生的心理活動過程（由“學情分析”提供）、知識環節及其聯結中介與學生的發生認識的心理環節及其過渡性中介的契合（由“關聯分析”提供）.

學生發生數學認識的自展機制要求教師在教材分析時設法針對具體的知識內容，首先揭示其核心思想，它其實隱藏在教科書表達的字里行間，需要透過教材分析過程來理解與認識.然而，在現實的數學教學設計時，大多數情況下，教師的“教材分析”出現了走馬觀花地看到知識的表層的現象性的脈絡輪廓，而觸及不了這種字里行間表達中所隱含的知識結構的本質.“教材分析”的結構-功能方式，對我們的教學設計提供了一條有價值的實踐途徑.

四、例示基于“教材分析”的結構-功能方式的有效教學設計

從前面的討論中我們發現，“教材分析”的有效環節就在于：其一，從教科書的關于數學知識點的表述中離析出數學知識的核心思想；其二，找到能夠支持這一核心思想外化為可以表達的數學知識的情境承載物（需要設計）；其三，引導學習者將數學知識核心思想通過學生自己的思維活動再次轉化為規范性的數學表達；其四，學習者借助于核心思想不依賴于教師而進行自行表達的過程，吸收數學知識中隱含的發生知識的原創者認知方式的啟發性成分的營養.我們以“探索直線平行的條件”的關鍵性疑難“三線十二角”問題為例，展示結構-功能方式的教材分析的有效環節的途徑.

教師第一步從直線平行所要的條件（“同位角相等”“內錯角相等”“同旁內角互補”三個條件各自形成的判定）的教科書上規范性表達中，析出決定這三個結論的具有共性基礎的要素，這就是“探索直線平行的條件”這個知識點的核心思想.我們業已知道，在教學設計中，這是非常重要的一步，它是決定著通過數學教學設計發揮知識教育價值成敗的至關重要的因素.

事實上，教師如果仔細揣摩教科書的規范性表達的文字語言，通過結構-功能分析方式，就會比較自覺地發現，在這三個判定兩直線平行的方法之中都有相同的一句話“兩條直線被第三條直線所截”，這意味著什么？如果教師具有更加寬闊的視野，在嚴格的平面幾何教程或者專著（例如《幾何原本》）的論述中，對這句話中的“兩條直線”命名為“被截線”，而將其中的“第三條直線”命名為“截線”發問（這樣的命名難道是無意識的、隨便的，沒有什么價值嗎？這是透過結構-功能分析方式，析取組成這一知識點結構的要素，然后，探查這些要素的功能），從這些思考中，教師發現，平行線的三種判定方法就在于在這三條直線的關系中，區分出哪兩條直線是“被截線”與哪一條直線是“截線”的數學知識核心思想，至于何為“同位角”“內錯角”還是“同旁內角”，都是為了判定兩條“被截線”是否平行而對幾對角的命名而已，那是十分簡單的事了.

于是，這個問題便變成了在“三線十二角”中，確定有不同頂點的兩個角之間的固定關系，就在于何為“被截線”與何為“截線”的問題了，接著教師需要理解與認識這個知識點中的兩大要素“被截線”與“截線”各自所擔負的功能，及其這種功能是如何體現的.那么，在教師的教學設計中，如何幫助學習者區分“被截線”與“截線”兩者的功能呢？這其實可以歸結為下面例1的問題.

例1如圖2，∠1與∠2、∠1與∠3、∠2與∠3分別是怎樣的一對角（“同位角”、“內錯角”或“同旁內角”）？

決定這道題本質的數學知識核心思想就是對“被截線”與“截線”概念的理解，從而著力發揮這兩個要素的功能.它的迂腐的規范性表達就是“兩條被截線被一

條截線所截”，沒有凸顯出“被截線”與“截線”兩大要素在這個知識結構中的功能.探究區分“被截線”與“截線”各自功能的標志的過程就將隱含的數學知識核心思想顯性化，從中可以獲得知識發生的啟發性成分，這種啟發性成分決定應用如此的數學知識的廣度、深度，也是學生理解平行線三項判定時內在心理過程的基礎，而不必采用那種“事倍功半”的、通過窮盡各色各樣的特殊變式圖形的辦法解決新問題.

圖2

這樣問題就歸結為找到一種簡約（而不簡單）的方法來區別“三線”之中的一條“截線”與兩條“被截線”功能的標志了.下面是筆者的一節公開課課堂教學關鍵環節的實錄：科書的字里行間的規范性表達中析出知識的核心思想，再經由核心思想轉化為學習者自己的規范性表達，從中生成了啟發性成分，使學生深層次地理解知識，在理解的基礎上運用數學知識，由此可以生成深度數學經驗.深度數學經驗事實上不同于簡單地接受外在他人的經驗，而是形成了學生對自我的開放：感知的擴展、意識的覺醒、智慧的生成.學生借助于這種自我開放，超越已經形成的過去，并用新的方法，依據新的觀念，來接觸世界、認識自己、營造未來.教科書的編寫的缺陷在于就知識而論知識，它只是關注了數學知識外顯的表象，而沒有發掘決定知識的深層次結構的本質——核心思想，從而找到體現核心思想結構中的要素，從這些要素功能的發揮中區分“被截線”與“截線”的標志，如此就不能鼓勵學習者吸取從核心思想轉化為規范性表達過程中的啟發性成分的營養.

師：（前在知識：通過問題情境設計，學生建立起了“被截線”與“截線”概念）如何解決這個問題？

生1：圖2中，弄清楚組成這兩個角的三條直線中哪一條是“截線”，哪兩條直線是“被截線”……

師：一個很好的想法.如何將圖2中這三對角各自的“截線”與“被截線”區分開來？

生2：取最簡單的圖形，如圖3，對∠4和∠5而言，直線c是“截線”，直線a、b是“被截線”，顯然，∠4與∠5是一對內錯角……

生3：直線a是∠4的邊，但不是∠5的邊；直線b是∠5的邊，但不是∠4的邊；直線c既是∠4的邊，又是∠5的邊.直線c是“截線”，直線a、b是“被截線”（兩要素在組成相關對應角中的功能不同，利用它提示了這一知識點的核心思想）.

生4：我們可以獲得如下規律（分類的一種標準）：在“三線十二角”中，要討論的有不同頂點的兩個角其公共邊是“截線”，單獨作為兩角中某一個角的邊的兩條直線就是“被截線”.

師：大家運用這一規律解決問題.

這個例子，經過“教材分析”的結構-功能方式，從教

圖3

五、簡要的結語

數學教學不是就數學知識而論數學知識，而是通過教學設計促使學生萌生數學思想的過程，在將學生萌生的數學思想轉化為規范性的表達、形成數學知識的過程中，體悟數學知識核心思想的啟發性成分，從而生成深度數學經驗，實現數學資源的教育價值.就數學教學設計而言，教師從教科書中的表達中析出數學知識的核心思想起著關鍵性的作用，因而是最為重要的第一環節，而教材分析是析出數學知識核心思想的基礎，因此，我們可以說，提高數學教師教材分析水平在提高數學教學設計的有效性中起著至關重要的作用，而結構-功能方式的分析具有首當其沖的地位，對此，我們要思之再思，慎之又慎.

1.鄭毓信.數學教育哲學［M］.成都：四川教育出版社，2001.

2.張昆，李伯春.關于數學課程目標體系設置的思考［J］.新課程教學，2013（3）.

3.張昆.整合數學教學設計的取向——基于知識發生的邏輯取向與心理取向研究［J］.中國教育學刊，2011（6）.