讓“元問題”創設在思維發展主線上
——例談初中數學自主變式探究的問題設計

☉浙江湖州市南潯區教育教學研究和培訓中心 姜曉翔

讓“元問題”創設在思維發展主線上
——例談初中數學自主變式探究的問題設計

☉浙江湖州市南潯區教育教學研究和培訓中心 姜曉翔

一、問題緣起

當前，初中數學教學中，還是存在教學資源單一，教學結構僵化，以及教師在教學過程中本本主義傾向嚴重等問題，導致教師教得乏味，學生學得無趣，教學氣氛不夠活躍、教學效率低下等現象.波利亞曾說：“學習任何知識的最佳途徑是由自己去發現，因為這種發現理解最深，也最容易掌握其中的規律、性質和聯系.”基于上述認識，筆者認為，教終究是為學服務的，初中數學教學改革也必須從學生的立場出發，努力使他們煥發出生命力、學習力和發展力，讓他們真正成為學習的主人，主宰學習過程.筆者曾在《合理創設元問題自主變式探生成》一文中結合一個教學案例分析了“元問題”在初中數學教學中如何激發并激活學生的思維，引導學生經歷通過自主變式探究活動而最終提煉、掌握并體悟數學知識的過程.何謂“元問題”呢？在學生已有知識經驗的基礎上，教師根據教學內容的特點提出的能提高學生的求知欲并能激發學生發現和提出問題的問題稱之為元問題.近段時間，筆者又多次通過教學研討活動進一步實踐并驗證了元問題教學策略對于初中數學教學改革所起到的積極作用.數學教學是思維活動的教學，而思維又起源于問題.本文就以學生的思維發展為主線，結合教學案例來闡述如何在不同的思維發展節點處通過元問題的合理創設來激發學生的自主學習能力，從而提高學生的學習力和發展力.

二、元問題的創設策略

1.讓元問題創設在思維孕育時，激發思維萌生點.

課的伊始，大多數學生還未能真正快速進入學習狀態，這時，就需要教師通過元問題的創設來幫助學生孕育思維.期間，需要切準學生的認知困惑點和疑難處，才能有意識、有針對性地進行教學，從而快速地讓學生的思維和所學內容交織在一起，成功激發思維萌生點.

【案例1】在浙教版八上“直角三角形復習”課堂教學開始階段，授課教師是這樣設計的.

元問題1：如圖1，在△ABC中添加一個條件________，使得△ABC為直角三角形.

元問題2：如圖2，若CD是Rt△ABC斜邊上的高線，其中BC=1，你能再添加一個條件后設計一個問題，并解決你所設計的問題嗎？

圖1

圖2

【評析】授課教師在“直角三角形復習”課的開始階段精心創設了兩個非常巧妙的元問題.元問題1在結合具體問題的基礎上有效激發了學生對于直角三角形判定的回顧.元問題2更是激發學生利用所學知識編題，學生可以通過添加一個邊的條件或一個銳角的條件來設計出簡單的直角三角形計算問題.教師在引導、組織學生編題和解答的過程中，不僅靈活地回顧了直角三角形的有關知識，而且能切準學生對于直角三角形這一知識點存在的困惑和疑難，以便讓接下來的教學更有針對性.元問題的合理創設在起到孕育思維的效果的同時，成功激發出思維萌生點.

2.讓元問題創設在思維發展時，抓住思維生長點.

當學生已進入學習狀態，并對所學內容有了一定的認識，同時，教師對學情也有了進一步的認知時，需要讓學生的學習思維進一步發展并生長.此時，教師創設的元問題所引發的自主變式探究可以幫助學生實現思維的發展，有效抓住學生思維的生長點.

【案例2】在浙教版七下“3.1同底數冪乘方（2）”課堂教學的例1及鞏固練習之后，授課教師是這樣設計的.

元問題：請同學們運用同底數冪的乘法、乘方等知識，在下面的算式的括號內任意填寫一個關于m的代數式，編出一個算式，然后考考其他同學！

（）4+（）·m2+（）3.

【評析】本節課的教學內容主要是同底數冪的乘方，在解決了課本中例1及幾個簡單的鞏固練習之后，授課教師正確地判斷出學生的思維已順利發展，并需要及時鞏固及生長，因此創設了如此的元問題.該元問題有效起到了讓學生對于同底數冪乘方運算的及時鞏固的效果，抓住了思維生長點.

【案例3】在浙教版八上“一次函數中的面積問題”復習課中，在解決了一個基礎的例題教學之后的教學片段如下所示.

元問題：如圖3，已知函數y=kx＋b的圖像經過點A（4，0），且滿足____①，

____②.

請你編題：請在①處添一個條件，在②處提出一個問題，并解答.

生1：①：與y軸的交點B的坐標為（0，4），②：求該函數的解析式.

生2：①：與y軸的交點B的坐標為（0，2），②：求△AOB的面積.

生3：①：與y軸的交點為點B，△AOB的面積是8，②：求點B的坐標.

生4：①：與y軸的交點為點B，△AOB的面積是4，②：求該一次函數的解析式.

......

【評析】本節課主要是針對一次函數圖像中面積問題的一節專題復習課，重點解決直線與坐標軸所圍成的面積問題的計算.案例中元問題創設的時機恰到好處，正值學生已初步感知了“已知直線和點求三角形面積”及“已知點和三角形面積求直線的解析式”順、逆兩類問題之時.通過該元問題的創設，讓學生經歷主動提出問題和互相解答問題的自主變式探究過程，有效起到了發展思維、鞏固知識點及抓住生長點的作用.

3.讓元問題創設在思維生長時，尋求思維延伸點.

在學生經歷了思維孕育、產生并發展時，會不由自主地進行思維的進一步生長.此時，教師如果能夠及時通過有效元問題的創設，來促使學生的思維生長，就能尋求思維延伸點，起到關聯橫向與縱向知識點的效果，真正達到知識的融會貫通.

【案例4】在浙教版八下“6.1反比例函數（2）”例1之后的教學片段如下所示.

例1已知y是關于x的反比例函數，當x=3時，y=-6，求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍.條件1：已知y是關于x的反比例函數；條件2：當x=3時，y=-6.

元問題：能否改變例1中的某一條件，設計出屬于你

的題目，并完成解答過程.

圖3

生1：條件1改為：已知y是關于x的正比例函數.

生2：條件2改為：當x=2時，y=3.

生3：條件1改為：已知y是關于x-1的反比例函數.

生4：條件1改為：已知y是關于x2的反比例函數.

......

師：同學們都編得很好！老師也來編一個，將條件1和條件2同時改為：（如表1）

表1

【評析】本節課主要內容是用待定系數法求反比例函數的解析式.在解決例1及歸納了一般步驟之后，教師創設了這樣的元問題，通過引導學生編題和教師補充編題的過程，自然地將例1分別從橫向（不同函數類型）和縱向（對應數值不同表現形式）進行了適當拓展.幾乎把所有類型的用待定系數法求反比例函數解析式的問題都覆蓋到，并且大多數是由學生提出并互相解決的，讓學生在思維生長時對問題有了更深層次的理解.在尋求思維延伸點的過程中，起到對某一知識點融會貫通的效果.

4.讓元問題創設在思維拓展時，追求思維發散點.

到了這個階段，學生的學習思維已較為成熟，經歷了孕育、發展和生長，有時需要更進一步的拓展才能讓學生的學習能力得到進一步提升.在具體的課堂教學中，往往可以通過元問題的創設來引導學生對所學知識自主從不同角度、不同背景、不同層面進行延伸與拓展，從而追求思維發散點.

【案例5】在浙教版八下“正方形中的動點問題探究”復習課中，前半段經歷了簡單的單動點和雙動點的問題探究，接下來的教學片段如下.

如圖4，在邊長為4cm的正方形ABCD中，現有一動點P，現從A出發，以2cm/s的速度沿邊經A-B-C-D到達點D.另有一動點Q，以1cm/s的速度從D出發，沿正方形的邊按順時針方向運動，相遇后同時停止，連接AP、PQ、QA.

元問題：根據以上信息，你能設計出一個怎樣的問題？

（溫馨提示：同學們可以從以下幾個方面去思考：（1）線段的關系；（2）三角形形狀；（3）面積問題……）

生1：t為何值時，點P與點Q相遇？

圖4

生2：t為何值時，△APQ是等腰三角形？

生3：t為何值時，△APQ是直角三角形？

生4：設△APQ的面積為S，求S關于t的函數解析式.當t為何值時，S最大？最大值是多少？

......

【評析】本節課重點解決正方形中的動點問題的探究，包括單動點和雙動點.上述片段是在授課教師引導學生解決了5個較為簡單、基礎的小問題作思維鋪墊之后，設計的元問題，旨在引導學生自主提出在正方形背景下的典型問題，包括特殊三角形形狀問題、面積問題等，讓學生在提出問題、分析問題和解決問題的過程中思維充分拓展，而且是向不同角度、不同背景、不同層面進行延伸與拓展，追求思維發散點.

5.讓元問題創設在思維整理時，找準思維回歸點.

當學生通過學習活動得到了比較豐富的經驗，且對經驗有了自己獨特的體驗后，教師需要及時啟發學生做好舉三反一的工作——思維整理.沒有思維整理的環節，這些學習經驗都只是一條一條的、成散亂狀態存在的.而經過思維整理，就可以將其融合、凝練，達成有序思維.元問題的創設可以有效引導學生自主進行思維的整理，找到問題的本源，挖掘問題的本質，從而找準思維回歸點.

【案例6】在浙教版九上“3.3垂徑定理（1）”課堂教學的最后階段，教學片段如下所示.

先解決課本中的例2：一條排水管的截面如圖5所示.排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，求截面圓心O到水面的距離OC.

師：如果把線段OC向兩邊延長，與圓相交，如圖6，我們還能求圖中的哪些線段？

（學生能輕松解決該問題）

元問題：圖6中，是否有可能，知道其中的兩條線段（所有的半徑或直徑算一條），也能像我們剛才那樣，能求出其他所有線段呢？

請同學們自己來嘗試編題，編好后向全班同學展示并共同解答.

生1：已知OC=3，OE=5，求其他所有線段.

生2：已知OC=3，OB=5，求其他所有線段.

生3：已知OC=6，AC=8，求其他所有線段.

圖5

圖6

生4：已知OC=6，BC=8，求其他所有線段.

生5：已知OC=6，AB=16，求其他所有線段.

生6：已知OE=5，AC=3，求其他所有線段.

生7：已知DE=10，AB=6，求其他所有線段.

生8：已知OB=10，CD=4，求其他所有線段.

生9：已知BC=4，CD=2，求其他所有線段.

【評析】上述片段是在學了垂徑定理，并解決了例題之后所進行的教學環節.通過教師元問題的創設，不僅讓學生弄清了本題圖中各線段之間的本質聯系，而且以課本例2作為題根進行探究，教會了學生思考問題就應該從問題的本源出發，進一步深入挖掘本質通法，并最終回歸到問題本源的思維發展程序，大大提升了學生分析問題、提出問題和解決問題的能力.

三、結束語

新課標強調學生學習數學的過程是一個親身經歷、動手實踐、主動探究的過程.因此，在課堂教學中，給學生提供探究的時間和空間就顯得尤為重要，這也是初中數學慢教育的體現.教師在整條教學思維主線上所創設的元問題，能引導學生進行自主變式探究，在這一過程中，學生發現問題和提出問題的能力得到提升，這是“生本課堂”的核心訴求.需指出的是，本文中所涉及的整條學生發展思維主線，并非一定在同一節課中實現，而是可以在同一類知識點的學習或復習體系中形成.并通過引導和組織學生進行自主變式探究來挖掘問題本質，尋求解題通性、通法.當然，該教學策略還處在不斷的嘗試和實踐階段，相信在今后的經驗不斷總結中，能得到進一步完善和提升.

1.李庾南.預設與生成——“初中數學自學·議論·引導教學法35年探索實踐”成果報告［J］.未來教育家，2014（6）.

2.姜曉翔.合理創設元問題自主變式探生成［J］.中國數學教育（初中版），2015（12）.

3.姜曉翔.基于“自主變式”引發“生本探究”［J］.中國數學教育（初中版），2016（10）.

4.酈興江.致力打造“生本課堂”，智慧推進自主學習［J］.中學數學（下），2016（11）.