對一道期末考試題的研究與拓展

☉浙江紹興市柯橋區平水鎮中 沈岳夫

對一道期末考試題的研究與拓展

☉浙江紹興市柯橋區平水鎮中 沈岳夫

對試題的研究是教師在教學和復習中經常做的一件事，通過研究把蘊含其中的數學思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質屬性.不但可以提高學生的空間想象能力、邏輯思維能力、分析和解決問題的思維技能，優化數學思維品質，而且可以培養學生探索創新的能力.本文以嵊州市2016學年第一學期期末學業成績調研測試八年級數學試題第26題（壓軸題）為例，作一些探索.

一、試題呈現

題目：已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點D是邊BC上的一個動點（不運動至點B、C），點E在BC所在的直線上，連接AD、AE，且∠DAE=45°.

（1）若點E是線段BC上一點，如圖1，作點D關于直線AE的對稱點F，連接AF、CF、DF、EF.

①求證：△ABD≌△ACF；

②若BD=1，DE=2，求CE的長.

圖1

圖2

此題以直角三角形為依托，全面考查全等三角形、軸對稱圖形及勾股定理等知識點，綜合性較強.在中考復習時，筆者選擇此題作為家庭作業，結果在批閱時大大出乎我的意料，發現第（2）題“卡殼”現象較嚴重，不少學生無從下手.那么該題如何解？有何規律？筆者愿以此文與各位同仁探討.

【評析】這是一道典型的兩邊相等的大角夾其半角的試題，即兩個圖形中同一個頂點上的兩個角有倍半關系，且倍角的兩鄰邊相等.只要抓住變中不變的本質，就會使題目的證明迎刃而解.三個問題難度由淺入深，層層遞進，學生的思維需要拾級而上，三個問題所表現的功能涇渭分明，清晰可見，問題之間確立的關系起承轉合，水到渠成.第（1）題中的第①問謂“起”，問題的起源，起點低，容易上手，激發了學生進一步探究的信心；第②問謂“承”.承上啟下，把第①問中的證明三角形全等過渡到計算線段長度，為第（2）題的設置作好鋪墊；第（2）題謂“轉”.峰回路轉，問題考查的能力、基本思想和呈現方式都發生了很大變化，在求解時需積累感悟第（1）題的求解經驗：先畫出∠DAE=45°，作出對稱圖形，然后分類思考，即點E在點D的左側與右側的情形，這是破解第（2）題的關鍵.當然這些念頭其實是由第（1）題遷移而來，是一種順勢而為，是一種經驗的“噴薄”.

二、對第（2）題的研究與拓展

波利亞在《怎樣解題》中指出“當我們的問題比較困難時，我們可能很有必要進一步把問題再分解成幾部分，并研究其更細微的末節”.所以，研究幾何圖形，一個基本的方法就是認真分析條件，尋找與之相關的基本圖形，并利用這個基本圖形的暗示作用來獲得或推理相關的結論.

就第（2）題而言，通過閱讀題中條件，容易讓我們想到熟悉的“半角”模型.何謂“半角”模型？如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=，這樣的圖形我們叫“半角”模型.

圖3

“半角”模型是幾何中的一個常見圖形，因為“半角”模型便于遷移，并且結論異彩紛呈，涉及的解決問題的方法靈活多樣，因此，它常常是各地命題者追逐的對象和日常教學研究的對象.

1.“半角”模型的特殊圖形探究.

（1）如圖4，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，求證：EF=BE+DF.

圖4

圖5

圖6

簡析：解決該問題的常規思路是截長補短法，如果我們從圖形變化的角度來思考會更有數學的味道.思路1：如圖5，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG，再證△AEF≌△AGF，進而求證.思路2：如圖6，把△ADF沿AF對折，點D落在D′處，連接ED′，可證△ABE≌△AD′E，進而求證.以上給我們提供了解決“半角”模型的常用方法和思路.

（2）如果我們再連接對角線BD，交AE、AF于點M、N，如圖7，求證：MN2=BM2+DN2.

圖7

圖8

簡析：如圖8，把△ABM繞點A逆時針旋轉90°到△ADM′，連接NM′，易證△ANM≌△ANM′，因為△NM′D為直角三角形，利用勾股定理進而求出關系，這里也可以選擇軸對稱思路來分析，此處不再贅述.

如果我們再把上述圖形抽取變形，就可建立下面的基本模型：

（3）如圖9，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M、N在邊BC上，且∠MAN=45°，求BM、MN、NC之間的數量關系.

圖9

圖10

簡析：如圖10，我們依然把△ABM把繞點A逆時針旋轉90°得到△ACD，可以證得△AMN≌△ADN，把線段BM、MN、NC轉化到了△DCN中.由于∠DCN=∠ACD+∠ACB=45°+45°=90°，所以由勾股定理，可得DN2=CD2+ CN2，即MN2=BM2+NC2.這樣我們就得到了“半角”模型的又一個基本結論.

（4）如圖11，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB= AC，點D在邊BC上，點E在邊BC的延長線上，且∠DAE= 45°，求DE、BD、CE之間的數量關系.

圖11

圖12

簡析：如圖12，我們先把△ADE沿AE翻折得到△AD′E，易知△ADE≌△AD′E，從而可證△BAD≌△CAD′，進而知∠ACD′=45°，∠BCD′=90°，BD=CD′，所以把線段DE、BD、CE轉化到了△CD′E中.由于∠D′CE= 90°，所以由勾股定理，可得D′E2=D′C2+CE2，即DE2=BD2+ CE2.這樣我們就得到了“半角”模型的一個變式.

（5）如圖13，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC的延長線上，且∠DAE=45°，EA的延長線交CB于點F.求DF、BD、CF之間的數量關系.

圖14

圖13

簡析：如圖14，我們先把△FAD沿AE翻折得到△FAD′，則FD=FD′.由題意可證△BAD≌△CAD′，進而知∠ACD′=45°，∠BCD′=90°，BD=CD′，所以把線段DF、BD、CF轉化到了△CD′F中，由于∠D′CF=90°，所以由勾股定理，可得D′F2=D′C2+CF2，即DF2=BD2+CF2.這樣我們就得到了“半角”模型的又一個變式.

上述問題是直角夾45°這一特殊的“半角”模型，我們由特殊延伸到一般，又會怎樣呢？

2.“半角”模型的一般圖形探究.

（6）如圖15，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點M、N在邊BC上，∠MAN=，BM=x，NC=y，MN=z，求x、 y、z的數量關系.

圖15

圖16

在這里我們依然可以采用旋轉變換的方式，如圖16，把線段x、y、z轉化到△DCN中，利用三角函數，可得到一般化的結論：z2=x2+y2+2xycosα（有興趣的老師可以證一下，這里不再贅述），從而，α=90°其實就是“半角”模型的一種特殊情況，這也是問題的本質所在.

3.第（2）題的解題思路.

當點E在點D的左側時，可仿照圖9、圖10的思路，求得CE=3；當點E在點D的右側時，可仿照圖11、圖12的思路，求得所以CE=3或

4.“半角”模型的鞏固提升題.

鄭毓信教授曾說過：“知識求連，方法求變.”變則靈動，變則鮮活，變出智慧，變出情趣，“變”打開了學生獲取解題方法的有效通道.進行有效試題“變式”可以鏈接不少中考試題，進一步感悟、理解問題的本質、數學思想方法，提升分析、思考、研究問題的思維能力.

1.（2011年咸寧市）（1）如圖17，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數.

（2）如圖18，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M、N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADH的位置，連接NH，試判斷MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由.

圖17

圖18

圖19

（3）如圖19，在圖17中，連接BD分別交AE、AF于點M、N，若EG=4，GF=6，求AG、MN的長.

2.（2016年淄博市）如圖20，正方形ABCD的對角線相交于點O，M、N分別是邊BC、CD上的動點（不與點B、C、D重合），AM、AN分別交BD于點E、F，且∠MAN始終保持45°不變.

（2）求證：AF⊥FM；

（3）請探索：在∠MAN的旋轉過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結論，并加以證明.

圖20

三、三點感悟

1.關注方法，為學生夯實知識保駕護航.

基本數學思想是貫穿數學問題的一條隱線，對解題起著高屋建瓴的指導作用.正如羅增儒教授認為的，題目的結論告訴我們向何方前進、預告需知，并引導解題方向.弄清了結論就等于弄清了行動目標，也就隨身帶了糾正偏差的指南針.上述題目的解法由結論的特殊形式能夠想到勾股定理和直角三角形，這需要廣泛的聯想（即轉化的前提）；再通過變換思想（翻折和旋轉）將共線的三線段轉化到一個三角形中，最終達到優化圖形結構、整合圖形信息的目的.這些都需要學生積極參與、獨立思考、合作交流，才能逐步感悟.

2.立足模型，為學生能力提升鋪路搭橋.

幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是提高學生數學素養的重要標志.此文所舉的試題及相關問題題設中通常含有兩邊相等的大角夾其半角的特征，解法幾乎都適用.因此，在平時的教學中，應緊緊抓住高效的中考題，努力挖掘試題的價值，不斷引導學生對自己的解題過程進行反思、聯想、總結，將高效的中考題發散，層層深入，化題為型，凝題成鏈，結題成網，讓這類試題成為學生鞏固知識、探究問題、發展能力、掌握思想方法的重要渠道，真正實現由“明一理”到“通一類”的飛躍，為學生的能力提升鋪路搭橋.

3.問題領路，為學生思維升華拓展空間.

學起于思，教學活動的主線是解決問題.因此，教學過程應注重問題引導學生，圍繞知識的核心，以數學知識再發現為線索，精心設置問題串，引導學生獨立思考和探索，積累數學思維經驗.筆者通過這些拾級而上、環環相扣的問題，在以方法、策略為主線，按由特殊到一般的順序逐次展開的同時，激發學生的參與意識.同時，在循序漸進的設問和釋問的過程中，使學生的思維逐漸駛入縱深處，使得課堂更加精彩.

1.葉紀元.解決一類中考題的利器：旋轉、軸對稱［J］.中學數學教學參考（中），2013（6）.

2.曹嘉興.挖掘隱含結論提升解題能力［J］.中學數學（下），2013（2）.

3.沈岳夫.巧用45°特殊角妙解綜合試題［J］.中國數學教育（初中版），2011（7/8）.

4.沈岳夫.對2014年浙江省紹興市中考第23題的研究與拓展［J］.中國數學教育（初中版），2015（5）.