新問題新情境新視角
——2017年北京市海淀區(qū)七年級（上）期末測試特色試題賞析

☉北京中關(guān)村中學(xué) 楊愛青

新問題新情境新視角
——2017年北京市海淀區(qū)七年級（上）期末測試特色試題賞析

☉北京中關(guān)村中學(xué) 楊愛青

前不久剛剛結(jié)束的海淀區(qū)七年級（上）期末統(tǒng)一測試中，有不少優(yōu)秀的原創(chuàng)題，特別是其中的第23、26、27題，通過給基礎(chǔ)習(xí)題添加“新問題”，給基本模型創(chuàng)設(shè)“新情境”，給核心概念賦予“新視角”，為考生提供了一個發(fā)揮其創(chuàng)造能力的平臺.筆者把對考題的深入思考和解讀整理成文，與同行探討交流.

一、給基礎(chǔ)習(xí)題添加“新問題”

（2）若使求得的A的值與（1）中的結(jié)果相同，則給出的x、y的條件還可以是________.

賞析：把學(xué)生熟悉的常規(guī)問題作為第（1）問，在此基礎(chǔ)上增加了第（2）問，一個開放性的問題.對于第（2）問，由于代數(shù)式A的化簡結(jié)果為-6x+2y，因此，給出的x、y的條件可以是與題目（1）中不同的x、y的具體值，也可以直接給出x和y之間的關(guān)系-6x+2y=4或其等價形式.找與題目（1）中不同的x、y的具體值，可以先給出x（y）的一個具體值，然后代入-6x+2y=4，把問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程去求解.

第（2）問的開放性問題還可以如下設(shè)計：

這樣的設(shè)計可以幫助學(xué)生體會代數(shù)式求值的本質(zhì)含義，領(lǐng)悟代數(shù)式的結(jié)構(gòu)對其求值的影響，并通過對問題的解答，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新意識.

二、給基本模型創(chuàng)設(shè)“新情境”

考題2：（第26題）如圖1，由于保管不善，長為40米的拔河比賽專用繩AB左右兩端各有一段（AC和BD）磨損了，磨損后的麻繩不再符合比賽要求.

已知磨損的麻繩總長度不足20米.只利用麻繩AB和一把剪刀（剪刀只用于剪斷麻繩）就可以得到一條長20米的拔河比賽專用繩EF.

請你按照要求完成下列任務(wù)：

（1）在圖1中標(biāo)出點E、F的位置，并對如何確定點E、F作出簡要說明；

（2）說明（1）中所標(biāo)EF符合要求.

圖1

賞析：這道題以真實情景“拔河比賽用繩”為背景，貼近學(xué)生生活實際，圖文并茂符合初一學(xué)生的年齡特點.題目模型明確，難度適當(dāng)，在立足基礎(chǔ)的同時，著力內(nèi)容創(chuàng)新，考生只有具備了相應(yīng)的思維方法，才能應(yīng)對本題的新情境、新變化.圖2中的模型是本題考查的重點，它廣泛地蘊(yùn)含在教材的例、習(xí)題之中，因此本題給學(xué)生以親切感，題目的解題思路和方法在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中都有“本”可循.

圖2

試題入口較寬，思路多，不同能力層次的學(xué)生可以尋求到不同的解題思路.

對于第（1）問，首先，要找的“線段EF”需滿足兩個條件，一個是長度為AB的一半，另一個是無磨損，也就是說點E、F都要在線段CD上，其次，找“線段EF”的工具有限制，只能用麻繩AB和剪刀（剪刀只能用于剪斷麻繩）.用疊合法找AB的中點可以得到AB的一半，這一點學(xué)生非常熟悉，而怎么做到EF既是AB的一半又要點E、F在線段CD上呢？這時僅僅能熟練地做出見過的題目和題型就不夠了，要能靈活地運(yùn)用所學(xué)知識將其化歸為熟悉的問題來解決.這里解決問題的一個策略就是“兩個條件”一個一個地來，一般情況下我們先從容易的那個入手，按照這樣的思路解題有兩類方法，一類是“先剪拼再用疊合法找中點”，另一類是“先用疊合法找中點再剪拼”，具體的解法見方法1、方法2和方法3.

方法1：如圖3，剪下AC拼在AB的延長線上，使點A與點B重合，點C的落點為C′，對折得線段CC′的中點F，點E與點C重合.

方法2：如圖4，沿點C折疊，點A的落點為A′，剪下BD拼在AA′的延長線上，使點D與點A′重合，點B的落點為B′，再對折得線段B′D的中點F，點E與點C重合.

方法3：如圖5，對折得線段AB的中點M，剪下AC拼在AM的延長線上，使點A與點M重合，點C的落點為F，點E與點C重合.

方法1、方法2、方法3是“一個線段中點模型”的應(yīng)用，相對來講更容易些，從閱卷反饋來看也是絕大多數(shù)學(xué)生的做法.

除了上面的三種方法，還可以應(yīng)用“兩個中點模型”來解決問題，具體的解法見方法4、方法5.

圖3

圖4

方法4：如圖6，沿點C折疊，點A的落點為M，對折得線段BM的中點F，點E與點C重合.

方法5：如圖7，沿點C折疊，點A的落點為A′，沿點D折疊，點B的落點為B′，M為線段A′B′上任意一點，對折得線段AM的中點E，對折得線段BM的中點F（方法4是點M與點A′重合時的特殊情況）.

方法1至方法4相對來說操作簡單，更接近學(xué)生現(xiàn)階段的思維水平，而方法5相對前面4種方法更具一般性.

針對第（1）問不同的“操作方法”，第（2）問都有相應(yīng)的證明方法與之對應(yīng)，這里就不一一贅述了.

圖6

圖7

三、給核心概念賦予“新視角”

考題3：（第27題）在數(shù)軸上，把表示數(shù)1的點稱為基準(zhǔn)點，記作點.對于兩個不同的點M和N，若點M、點N到點的距離相等，則稱點M與點N互為基準(zhǔn)變換點.例如：圖8中，點M表示數(shù)-1，點N表示數(shù)3，它們與基準(zhǔn)點的距離都是2個單位長度，點M與點N互為基準(zhǔn)變換點.

圖8

（1）已知點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點A與點B互為基準(zhǔn)變換點.

①若a=0，則b=_______；若a=4，則b=_______；

②用含a的式子表示b，則b=_______.

（3）點P在點Q的左邊，點P與點Q之間的距離為8個單位長度.對P、Q兩點作如下操作：點P沿數(shù)軸向右移動k（k>0）個單位長度得到P1，P2為P1的基準(zhǔn)變換點，點P2沿數(shù)軸向右移動k個單位長度得到P3，P4為P3的基準(zhǔn)變換點，……，依此順序不斷地重復(fù)，得到P5、P6、…、Pn.Q1為Q的基準(zhǔn)變換點，將數(shù)軸沿原點對折后Q1的落點為Q2，Q3為Q2的基準(zhǔn)變換點，將數(shù)軸沿原點對折后Q3的落點為Q4，……，依此順序不斷地重復(fù)，得到Q5、Q6、…、Qn.若無論k為何值，Pn與Qn兩點間的距離都是4，則n=_________.

賞析：這道題為整卷的最后一題，在此題的解決過程中體現(xiàn)了濃厚的數(shù)形結(jié)合思想.試題著眼于學(xué)生已有的“絕對值、相反數(shù)及線段和線段中點”的經(jīng)驗，讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識基準(zhǔn)變換點，探求互為基準(zhǔn)變換點的兩個點的坐標(biāo)規(guī)律，解決簡單問題，解決綜合問題的過程，并通過這樣的過程，讓學(xué)生在潛移默化中種下數(shù)形結(jié)合的種子.

試題的三個問題逐層深入，前一個問題是后一個問題的鋪墊，第（1）問是引導(dǎo)學(xué)生閱讀，幫助學(xué)生理解“基準(zhǔn)變換點”，為第（2）問、第（3）問利用“基準(zhǔn)變換點”解決問題作必要的準(zhǔn)備.第（1）問、第（2）問比較簡單，這里就不再贅述了.第（3）問，一方面可以由前面得到的互為基準(zhǔn)變換點的兩個點的坐標(biāo)規(guī)律“和為2”，從“數(shù)”的角度找尋P、Q兩點的變換規(guī)律；另一方面，由“基準(zhǔn)變換點”的概念可知：基準(zhǔn)點為連接互為基準(zhǔn)變換點的兩點所得線段的中點，因此還可以從“形”的角度找尋P、Q兩點的變換規(guī)律，其解決問題的思維過程大致如下.

思路1：設(shè)P點表示的數(shù)為p，則Q點表示的數(shù)為p+8.

由于無論k為何值，Pn與Qn兩點間的距離都是4，因此有：

所以n=4或12.

思路2：

P點：

圖9

圖10

同理：

圖11

由于無論k為何值，Pn與Qn兩點間的距離都是4，因此有：

圖12

所以n=4或12.

從上面的思維過程可以看出，第（3）問的解決要依賴于學(xué)生對問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，靠記住一些結(jié)論、生搬硬套顯然是行不通的.

題目的一些拓展延伸：

在數(shù)軸上，點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點A與點B不重合.

（1）若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0；

（2）若A、B兩點互為基準(zhǔn)變換點，則a+b=2；

……

（3）若A、B兩點到點C（表示數(shù)c）的距離相等，則a+ b=2c.

實際上，這里的（1）、（2）是數(shù)軸上中點坐標(biāo)公式的特殊情況，后面還可以把這里的中點坐標(biāo)公式進(jìn)行推廣，從而得到平面上的線段中點的坐標(biāo)公式.

四、一點感悟

給基礎(chǔ)習(xí)題添加“新問題”，給基本模型創(chuàng)設(shè)“新情境”，給核心概念賦予“新視角”，這樣的試題，一方面它們源于教材，其解題思路和方法在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中有“本”可循；另一方面，它們又打破了命題的模式，在考查基礎(chǔ)的同時，較好地考查學(xué)生的開放性思維、問題解決能力和創(chuàng)新能力，符合當(dāng)前考試改革“新”“寬”“活”的趨勢和要求，對我們的教學(xué)有著積極的導(dǎo)向.