刪繁就簡凸顯本質(zhì)，退回原點推導公式
——以一道坐標系中旋轉(zhuǎn)難題為例

☉浙江寧波市曙光中學 王海燕

刪繁就簡凸顯本質(zhì)，退回原點推導公式
——以一道坐標系中旋轉(zhuǎn)難題為例

☉浙江寧波市曙光中學 王海燕

最近一次的中考復習模考卷中，我們選用了2016年河南省中考把關(guān)題，該題的最后一問有一定的難度，雖然也有少數(shù)學生解答出來，但是解法單一，且該解法對原題中的直角三角形有較大的依賴作用，備課組內(nèi)幾經(jīng)討論仍然沒有生成較好的、更為自然的解法，后來大家求助網(wǎng)絡，在某初中數(shù)學大群里開展研討，得到不少有益的提示，使得我們對該題最后一問有了更為深入的認識，并且總結(jié)出坐標系中某一個點旋轉(zhuǎn)前后對應點坐標之間的關(guān)系.本文梳理這次研討，并針對命題與教學作出一些必要的反思.

一、寫在前面

（1）求拋物線的解析式；

（2）當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；

（3）如圖2，將△BDP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC，當點P的對應點P′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標.

圖1

圖2

思路解析：

（2）常規(guī)思考：要確定點P的位置（一般要進行分類），按點P在BD上方或下方，在y軸左側(cè)或右側(cè)可確定三種不同情況：①點P在y軸右側(cè)且在BD上方；②點P在y軸右側(cè)且在BD下方；③點P在y軸左側(cè).然后再有序解決問題：由△BDP是等腰直角三角形可知BD=PD，由點P′D′B的坐標分別表示出BD和PD的長，由BD=PD建立方程模型，從而求出m值，即得到PD的長.上面的思路可以看成是在黑暗中的摸索，當思路稍顯明確之后，我們把上述思路簡化表述：

簡化思路：首先由△BDP為等腰直角三角形解讀出PD=BD，設P用含參數(shù)m的式子表示PD、BD，得化為兩個一元二次方程解得

另解突破：如果深刻認識到△BDP為等腰直角三角形，可直接讀出直線BP的解析式為y=x-2或y=-x-2，把這兩條直線的解析式分別與拋物線聯(lián)立，得方程組

（3）常規(guī)思考：先分類思考點P的位置，可按點P在y軸左側(cè)或右側(cè)，旋轉(zhuǎn)后點P′落在x軸或y軸,分為三種情況（如圖3～5）：①點P在y軸左側(cè)且點P′只能落在x軸上；②點P在y軸右側(cè)且點P′落在x軸上；③點P在y軸右側(cè)且點P′落在y軸上.接著嘗試構(gòu)造相似或全等的直角三角形，利用相似或三角函數(shù)建立方程突破.具體解析如下：

圖3

先解讀兩個特殊角的三角函數(shù)值.由OA=3，OC=4，得AC=5.又∠PBP′=∠OAC，則sin∠PBP′=另外，還要記住在上一問中我們就已得出的PD=

①如圖3，當點P′落在x軸上時，過點D′作D′N⊥x軸于N，交BD于點M，∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，ND′-MD′，注意后者對應的圖形是圖4.

圖4

圖5

②如圖5，當點P′落在y軸上時，過點D′作D′M⊥x軸交BD于點M，過點P′作P′N⊥y軸，交MD′的延長線于點N，∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，P′N=BM，即

解后反思：上述解法過分依賴△BPD，而問題的本質(zhì)卻只是線段BP繞點B旋轉(zhuǎn)后的探究.可簡化如圖6所示

刪繁就簡，簡化問題：在平面直角坐標系xOy中，點P是拋物線動點，該拋物線與y軸交于點B（0，-2），將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α角后，得到線段BP′，若tanα=當點P′落在坐標軸上時，求點P的坐標.

簡化思考，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)：如圖7，在平面直角坐標系xOy中，若將P（x，y）繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ角得到點P′（x′，y′）.

圖7

圖6

圖8

在圖8中，構(gòu)造矩形OBCD，設OP=OP′=r，則：

成果擴大，歸納性質(zhì)：我們可延續(xù)上述方法，推導并總結(jié)出平面直角坐標系中點的旋轉(zhuǎn)公式如下：任意點A（x，y）按旋轉(zhuǎn)中心（a，b）逆時針旋轉(zhuǎn)θ角得到點A′（x′，y′），則A′（x′，y′）的坐標計算公式為：

x′=（x-a）·cosθ-（y-b）·sinθ+a，y′=（x-a）·sinθ+（y-b）· cosθ+b.

二、關(guān)于命題和解題教學的相關(guān)思考

1.命題時應該盡可能追求解法多樣，滿足不同學生的思維風格.

在我們研討該題時，老師們多數(shù)認為第（3）問解法思路窄化，由常規(guī)思路不易切入，且對第（2）問中的直角三角形有一定的依賴，如果懂得及時刪減無關(guān)線條的，反而會丟失必要的輔助工具（輔助直角三角形），使得問題的求解陷入僵局.而在考場上再去推導、演算出上面我們總結(jié)出來的旋轉(zhuǎn)點坐標之間的規(guī)律或公式，則時間上往往并不能保證.我們認為，命題組在預設這類考題時，不能出于個性化的喜好，而以窄化的思路切入問題，對不同思維風格的學生要兼顧，也即命題人心中要時刻裝著學生，時刻預設學生可能會怎樣想，怎樣想會更自然.

2.解題教學時要重視引導學生看清問題本質(zhì)，傳遞“以退為進”策略.

解題教學時我們針對較為復雜的習題，常常要求學生懂得排除干擾，凸顯問題本質(zhì)，上面我們也是在這樣的思考下開展的凸顯本質(zhì)圖形（如圖6）.然而根據(jù)圖6，會失去原考題中那個直角三角形BPD的幫助，反而不利于構(gòu)造處理.這時如果不能果斷后退，退到圖7，構(gòu)造圖8來輔助思考出旋轉(zhuǎn)前后對應點的坐標關(guān)系式，則思路難以接通.所以，解題教學時，我們要向?qū)W生傳遞“以退為進”的策略，正所謂“解題要善于退，退到最簡單的地方，再迎上去.”也想起那句著名的禪詩《插秧詩》，摘錄如下，作為本文的結(jié)束：

手把青秧插滿田，低頭便見水中天.六根清凈方為道，退步原來是向前.

1.王友峰.專業(yè)自主增設內(nèi)容，回看陳題洞察結(jié)構(gòu)—九年級“探究四點共圓”教學設計與解讀［J］.中學數(shù)學（下），2016（12）.

2.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數(shù)學（下），2016（7）.

3.羅增儒.數(shù)學的領(lǐng)悟［M］.鄭州：河南科學技術(shù)出版社，1997.

4.章建躍.“題型+技巧”的危害［J］.中小學數(shù)學（高中版），2010（11）.

5.鄭毓信.多元表征與概念教學［J］.小學數(shù)學教育，2011（10）.