通用解法：數(shù)學(xué)解題教學(xué)的核心關(guān)注點(diǎn)
——以一道例題的教學(xué)為例

☉江蘇海門市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 徐標(biāo)

通用解法：數(shù)學(xué)解題教學(xué)的核心關(guān)注點(diǎn)
——以一道例題的教學(xué)為例

☉江蘇海門市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 徐標(biāo)

數(shù)學(xué)問題的解決方法很多，為了給學(xué)生多樣化的解題路徑，我們常會(huì)將“一題多解”問題作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.然而，解法的拓展還是要適度的，我們更多地應(yīng)將教學(xué)的重心放在一些通用方法上，因?yàn)椋@些方法才是學(xué)生最容易接受，在今后的問題解決中最容易被應(yīng)用的方法.在教學(xué)中，我們應(yīng)找尋出這些方法，并將其呈現(xiàn)給學(xué)生，讓他們?cè)趯?duì)比辨析中，實(shí)現(xiàn)解法的優(yōu)選，從而獲取問題解決的典型方法和常用套路.基于此，課前，教師應(yīng)充分準(zhǔn)備，對(duì)解題方法從多角度分析，找出與學(xué)生認(rèn)知匹配的典型解法；課上，應(yīng)認(rèn)真觀察、細(xì)致分析，努力發(fā)現(xiàn)學(xué)生給出的眾多解法中與預(yù)設(shè)相符的通用方法，適時(shí)將其在全班展示、共享.現(xiàn)呈現(xiàn)“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課一道例題的教學(xué)歷程，并談一些個(gè)人的思考，希望能給你帶來啟示.

一、例題簡(jiǎn)析及其教學(xué)歷程

1.例題及其簡(jiǎn)析.

在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn).設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AC、DE和DB，當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

簡(jiǎn)析：本題改編自陜西的一道中考題，為了突出對(duì)待定系數(shù)法、相似三角形等核心知識(shí)的考查，編題時(shí)，刪去了原題第（1）題“寫出這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸”.解答本題，可以根據(jù)A、B兩點(diǎn)的特點(diǎn)，先用“交點(diǎn)式”設(shè)出函數(shù)的解析式，再利用二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性將頂點(diǎn)D與E的坐標(biāo)表示出來，從而將兩個(gè)三角形的邊長表示出來，最后，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行充分的分類討論，求出解析式中的未知系數(shù)即可.

2.教學(xué)過程簡(jiǎn)錄.

學(xué)生自主解答，10分鐘后開始全班交流.

師：下面我們一起來交流一下這道例題的求解過程.

生1：根據(jù)題意，我設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x-1）（x-3），即y＝ax2-4ax＋3a.

師：你是怎樣想到這樣設(shè)的？

生2：這里給出的兩個(gè)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），正好是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，所以，我自然而然就想到交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x-x1）（x-x2）了，這是我們求二次函數(shù)解析式的常用方法.

師：是的，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，要結(jié)合所給點(diǎn)的特點(diǎn)從一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式中“優(yōu)選”.對(duì)于這道題，從交點(diǎn)式入手，回避了煩瑣的解方程組，節(jié)省了很多解題時(shí)間.接下來該怎么做呢？

生3：利用得到的y＝ax2-4ax＋3a，可以分別求出點(diǎn)C、D和E的坐標(biāo)，即C（0，3a）、E（2，0）、D（2，-a）.

師：求出這些點(diǎn)有什么用呢？

生4：可以將△AOC與△DEB的直角邊分別表示出來.

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)這里的直角三角形的？

生5：作圖，我將求出的這些點(diǎn)大致在圖1中標(biāo)出（C點(diǎn)也可以在y軸的負(fù)半軸上）.顯然，∠AOC＝∠DEB＝90°.這樣，我就找到了這對(duì)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)角，確定了一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

師：這一步叫什么？生（齊）：找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

師：很好！找到了一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，下面該做什么了？

生6：用對(duì)應(yīng)邊分類，共分兩類，AO與BE為對(duì)應(yīng)邊；AO與DE為對(duì)應(yīng)邊.根據(jù)“抓關(guān)系式求解”，由兩種情況可以分別列出，從而求出a的值.

圖1

師：你說得真好！“找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，用對(duì)應(yīng)邊分類，抓關(guān)系式求解”，是我們解決函數(shù)視角下的相似三角形問題的通用方法，這一方法在解答本題時(shí)，得到了很好的應(yīng)用.下面我們一起來看一下這道題的完整解題過程.

（教師投影展示一名學(xué)生給出的通用解法，并讓學(xué)生對(duì)照調(diào)整）

二、教學(xué)過程簡(jiǎn)析

本題涉及的待定系數(shù)法和相似三角形都是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，這道例題的教學(xué)一方面要回顧這兩個(gè)知識(shí)，同時(shí)還要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用與這兩個(gè)知識(shí)相關(guān)的典型解法的意識(shí).案例中，學(xué)生首先交流了求二次函數(shù)解析式的歷程，將“優(yōu)選”的解法直接與全班同學(xué)作了分享；接下來，交流了用作圖將數(shù)向形轉(zhuǎn)化的過程，找出了數(shù)與形的結(jié)合點(diǎn)；最后，緊扣問題解決過程，對(duì)相似三角形的“找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，用對(duì)應(yīng)邊分類，抓關(guān)系式求解”的典型解法進(jìn)行了再梳理.語言的陳述和書面的展示，學(xué)生個(gè)體的展示實(shí)現(xiàn)了解法的共享，所有學(xué)生獲得典型解法的同時(shí)，還都能感受到這些方法在問題解決中的巨大價(jià)值.

三、幾點(diǎn)思考

1.例題教學(xué)應(yīng)突出通解、通法教學(xué).

通解、通法是解決數(shù)學(xué)問題的一般方法，在學(xué)生解題中是應(yīng)用得最多的方法.因此，例題教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)突出通解、通法的教學(xué)，力求讓學(xué)生掌握一類問題解答的一般套路或常用方法.本文中，教師所設(shè)計(jì)的例題，指向的正是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和基于函數(shù)圖像之上的相似三角形的求解常用套路——“找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，用對(duì)應(yīng)邊分類，抓關(guān)系式求解”.顯然，教師對(duì)例題的教學(xué)處置很好地將例題的教學(xué)核心凸顯了出來.僅就解法交流而言，教師選取了本題最為常用的解法進(jìn)行交流，弱化了“邊緣”解法，將例題需要交流的核心內(nèi)容推到了學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的最前沿，其教學(xué)成效還是比較顯著的.

2.例題教學(xué)應(yīng)重視思維過程展示.

例題教學(xué)除了解題方法的教學(xué)，還要關(guān)注學(xué)生思維過程的分享.教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該努力找尋學(xué)生中出現(xiàn)的具有示范意義的思路分析歷程，將這些具有代表性的思維歷程通過全班交流，實(shí)現(xiàn)共享，以全面提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.我想，本文案例中的老師可能正是基于這樣的思考才通過步步緊逼的追問，讓學(xué)生將自己獲得通解、通法的思維過程完整展示在全班同學(xué)面前，這樣的交流，不糾結(jié)于具體的解題步驟和解題結(jié)果，而是由學(xué)生陳述帶有明顯個(gè)性特征的分析問題和解決問題的思路獲得過程.這種來自于學(xué)生的思路交流，對(duì)于處于同一情境中的學(xué)生而言，是可以學(xué)習(xí)、可以借鑒，甚至是可以復(fù)制的.我想，在此過程中，每一名學(xué)生都能從中收獲到自己認(rèn)同的東西，不只是知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)可能更為重要.

3.例題教學(xué)應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想交流.

例題的通解、通法教學(xué)，除了上面所述的常用方法和典型思維過程，還應(yīng)包括基本數(shù)學(xué)思想的教學(xué).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想一直是最為重要的教學(xué)內(nèi)容.基于數(shù)學(xué)思想的可應(yīng)用性和可生長性，它理應(yīng)成為例題教學(xué)的“常客”，教師在教學(xué)時(shí)必須予以重點(diǎn)關(guān)注.我們還是回到本文中的例題上來，純文本的陳述并不代表不需要圖形，在解題時(shí)，學(xué)生5作出了圖1，而且用圖1很好地解決了問題，這就是數(shù)形結(jié)合的絕佳體現(xiàn)，其富有成效的陳述給全班學(xué)生作出了很好的示范，也讓數(shù)形結(jié)合思想再次深入到學(xué)生的心中；學(xué)生6能給出“兩種情形下的方程，正是其對(duì)分類討論思想的深刻認(rèn)知與反復(fù)應(yīng)用的自然生成，他的展示既是自身對(duì)分類討論思想的再度強(qiáng)化，同時(shí)還加深了其他學(xué)生的認(rèn)知……正是教師對(duì)數(shù)學(xué)思想的窮追不舍，一個(gè)個(gè)潛在的數(shù)學(xué)工具才逐步顯山露水?dāng)[放在學(xué)生眼前.這樣的成效，自然觸動(dòng)著每一名學(xué)生的“解題神經(jīng)”，思想的內(nèi)化應(yīng)用是遲早的事.