問題導學，探究生成，自然構建*
——兩角和與差的正余弦公式教學設計

☉陜西省三原縣北城中學 廉萬朝

☉陜西省涇干中學 吳清軍

問題導學，探究生成，自然構建*
——兩角和與差的正余弦公式教學設計

☉陜西省三原縣北城中學 廉萬朝

☉陜西省涇干中學 吳清軍

一、教材分析

本節選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修4）》（北師大版），第三章《三角恒等變換》的第二節“兩角和與差的正、余弦公式”（第一課時）.本節課是在學生學習了任意角三角函數、平面向量及解析幾何初步等知識后來進行的，主要是學習兩角和與差余弦公式的推導及公式的簡單應用.本節課的設計基于以下考慮：一是兩角和與差的三角函數公式是誘導公式的進一步擴充，即將cos（π-β）中的角π擴充為任意角α，因此可利用誘導公式的推導思路，表示出相應的角，角的終邊與單位圓交點的坐標，尋求角的終邊之間的關系，發現誘導公式.類比這種發現思路，探索兩角和與差的三角函數公式.二是兩角和與差的正、余弦公式也是學生學習二倍角公式、半角公式、輔助角公式的前提與依據，因此兩角和與差的三角函數公式是三角變換中“公式”之本，起著承上啟下的作用，既是之前所學公式的推廣，又是之后要學公式的延伸，所以兩角和與差的三角函數公式的推導直接影響著本章內容的學習，顯得至關重要.三是從學生的認知與思維構建的角度來看，符合“類比歸納”、“由特殊到一般”的認知規律.教材之所以將本節課放在平面向量和解析幾何初步之后學習，一方面在兩角差的余弦公式推導時，入口更寬廣，方法更靈活，如平面向量的數量積、兩向量相等、平面內兩點間距離等；另一方面讓學生進一步體會知識之間的聯系，并體現更多的數學思想方法，如數形結合的思想方法，分類討論的思想方法，類比推理的方法等.

二、學情分析

本節課是在高一第二學期進行的，之前學生學習了任意角三角函數、誘導公式、解析幾何初步及平面向量，但由于教材設置的模塊化，學生往往忽略了知識之間的聯系.在平時的教學中，經常有教師反映學生的知識遷移能力差，前學后忘的情況.其原因就是學生沒有充分經歷知識的發生、發展過程，沒有認識到知識之間的聯系，因此本節課對兩角差的余弦公式推導的教學設計，就是讓學生充分認識知識之間、方法之間的聯系，以及數學思想方法的滲透.

三、教學目標

結合本節課在教材中的地位及學生的學情，可將本節課的教學目標定位如下：

1.通過角的表示、角的終邊與單位圓交點的坐標與三角函數定義之間的關系、角的終邊上點的坐標與向量的關系、圖形幾何性質與相應的坐標之間的關系等，讓學生能說出它們之間的關系，并用數學語言加以表示.

2.依據角的表示、圖形中的幾何性質、向量關系，能推導出兩角差的余弦公式.

3.通過類比、遷移等思想方法，建立圖形語言與數學語言的關系，體會數形結合的思想方法、分類討論的思想.

依據本節課的教學目標可將本節課的重點和難點定為：

重點：圖形語言與數學語言之間的轉化，兩角差的余弦公式的推導.

難點：用向量推導兩角和與差公式.

四、教學設計

（一）提出一個既熟悉又具有啟發性的問題，激發學生探索的欲望

前面學習了任意角的表示及三角函數的定義，根據角的表示，認識到α，-α，π±α，2π-α等角的終邊之間的關系，再結合三角函數的定義得到相應的誘導公式.

問題1：類比上述思路，我們能否建立角α，β與α-β，α+β之間的關系，進而得到相應的公式呢？

設計意圖：設計一個學生既熟悉，又具啟發性的問題，運用類比的方法，按照誘導公式的推導思路去尋找它們之間的聯系.問題設計很開放，思路很開闊，既體現知識之間的聯系，又能激發學生的思維，也是目標1的體現.

師：請同學們在同一直角坐標系中，作出角α，β，αβ，且α，β∈（0，π），α＞β，并標出它們與單位圓交點的坐標.

生1：如圖1，角α，β，α-β的始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓的交點分別為P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos（α-β），sin（α-β））.

圖1

圖2

生2：如圖2，角α，β的始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓的交點分別為P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），則∠P1OP2=α-β.

師：誘導公式中，通過作出相應的角，發現角的終邊有對稱關系，從而得到誘導公式，那么，上述圖形中，你能發現怎樣的關系？

設計意圖：通過作出相應的圖形，從圖形中發現其中的關系，問題具有發散性，又有探索性，也是目標1、2的具體體現.

生1：∠P1OP2=∠P3OP0=α-β.

生2：只有∠P1OP2=α-β，沒發現什么等量關系.

（二）依據圖形特點，建立等量關系

上述兩個圖形中，都體現了角α，β以及α-β，這是我們發現其中存在等量關系的基礎，類似于生1的思路，若能尋找出它們之間的等量關系，就可將圖形語言轉化為數學語言，從而實現這些角之間的聯系.

問題2：結合我們學習過的解析幾何中的相關知識以及平面向量的知識，如何將圖1中的∠P1OP2=∠P3OP0用相應的坐標表示？圖2中真的找不到等量關系嗎？

設計意圖：在“解析幾何中的相關知識以及平面向量的知識”的提示下，如何用角的終邊與單位圓交點的坐標刻畫∠P1OP2=∠P3OP0，就是問題的突破口.目的是讓學生盡可能想到更多的方法，同時挖掘圖2中的等量關系，也是目標1、2、3的體現.

生1：因為∠P1OP2=∠P3OP0，所以|P1P2|=|P3P0|.

整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生3：因為∠P1OP2=∠P3OP0，

所以cos∠P1OP2=cos∠P3OP0.

即1×cos（α-β）+0×sin（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：這兩個思路都很好，只要能建立其中的等量關系，并坐標化，都可得到角α-β的三角函數值與角α、β的三角函數值之間的關系.圖2中真的不能建立等量關系嗎？

即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：圖2中除了利用向量建立關系外，能否類似于生1的方法，通過距離建立關系？

生4：若以O為坐標原點，OP2為x軸建立新的坐標系x′Oy′，在新坐標系中，P2（1，0），P1（cos（α-β），sin（α-β）），無論是在原坐標系還是在新坐標系中，|P1P2|保持不變，

即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：在這兩個圖形中，是否還有其他的解決途徑？請同學們課后繼續探索.

設計意圖：還可以通過平面向量基本定理建立其中的聯系.

（三）角的推廣，兩角和與差的正、余弦公式的形成

問題3：上面兩個圖形所畫的角都在（0，π）內，而且α＞β，那么對于任意的角α，β，上述公式是否成立？

設計意圖：對所涉及的角進行推廣，使公式的得出具備一般性.（目標3的體現）

生5：當α＜β時，因為cos（α-β）=cos（β-α），所以，當α，β都在［0，π］范圍內時，公式也成立.

師：結合三角函數誘導公式，當角α，β在（π，2π］時又怎么辦？

設計意圖：問題很具體，就是通過誘導公式對所得公式中的角進行推廣，也是目標2的體現.

生6：當α∈（π，2π］，β∈（0，π］時，2π-α∈（0，π］，由誘導公式可得cos（α-β）=cos［2π-（α-β）］=cos［（2π-α）-（-β）］=cos（2π-α）cos（-β）+sin（2π-α）sin（-β）= cosαcosβ+sinαsinβ，即公式也成立.

同樣地，β∈（π，2π］，α∈（0，π］時也成立.

生7：當α∈（π，2π］，β∈（π，2π］時，2π-α∈（0，π］，2π-β∈（0，π］，于是cos（α-β）=cos（β-α）=cos［（2π-α）-（2π-β）］，再結合誘導公式可得

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：我們還得驗證當α，β大于2π時，公式是否成立？

生8：由于cos（2kπ+α）=cosα，sin（2kπ+α）=sinα，k∈Z，所以對于α，β大于2π時，公式也成立.

師：綜上所述，對于任意的α，β，都有cos（α-β）= cosαcosβ+sinαsinβ成立，這就是兩角差的余弦公式.

（四）搭建平臺，建立聯系

問題4：有了兩角差的余弦公式，能否由此出發得到兩角和的余弦、兩角和與差的正弦等公式？

設計意圖：有了上面對兩角差的余弦公式的推導，以及通過誘導公式對其進行一般化推廣，得到其他公式已經不存在問題，讓學生進行推導，一方面進一步熟悉公式之間的聯系，另一方面也是記憶公式的一個好方法.

學生通過自主推導，或者小組合作，得到兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式.

問題5：利用兩角和與差的正、余弦公式來驗證誘導公式.

如sin（π+α）=-sinα，cos（π-α）=-cosα等.

由此可見，兩角和與差的正、余弦公式以及誘導公式之間都存在著必然的聯系，誘導公式是兩角和與差的三角函數公式的特例，兩角和與差的三角函數公式都可以由兩角差的余弦公式變化而得.

（五）練習鞏固，熟悉公式

問題6：兩角和與差的三角函數公式都可以解決哪些問題？

設計意圖：通過公式的應用，進一步認識公式的特點，明確公式所能解決的問題.先讓學生說出所能解決的問題，這樣在解決問題時，應用公式就得心應手.

設計意圖：第①題是讓學生能直接應用公式解決問題，第②題是公式的逆向應用，第③題是考慮如何選擇公式，是對公式的進一步應用.

（六）歸納小結，形成體系

問題7：通過本節課的學習，你是怎樣發現兩角差的余弦公式的？學會了什么思想方法？

設計意圖：通過小結回顧，要得到兩角差的余弦公式，就必須先表示出相應的角，尋找這些“量”之間的關系，才能發現關系，得出公式，目的是讓學生進一步熟知公式發現的過程和所采用的思想方法.

問題8：通過兩角和與差的三角函數公式能解決哪些問題？

設計意圖：對于公式、定理的學習，其目的就是為了解決問題，只有讓學生熟知所能解決的問題，應用公式才能更直接，更快捷.

五、教學反思

本節課針對教材內容設計問題，讓學生經歷“觀察—發現問題—分析問題—解決問題”的過程.通過學生熟知的誘導公式的發現思路，采用類比的方法，“我們能否建立角α，β，α-β之間的關系，進而得到相應的公式？”學生表述出角α，β，α-β以及角的終邊與單位圓交點的坐標，就為發現它們之間的聯系奠定了基礎，這是發現問題的關鍵，只有發現問題，才能在此基礎上，結合已有知識去探索問題，尋求解決問題的方法，如生1～4的方法，而且這些方法的得出既自然，又易于掌握.更重要的是教給學生一種探索問題的方法，表示出相應的“量”，尋找“量”之間的關系，并進行數學化，即可得到公式.如圓錐曲線的標準方程的得出，正弦、余弦定理的得出都是這種思路的體現.同時，在對公式中的角進行推廣的過程中，通過設計相應的問題串，結合學生的知識基礎，一步步使公式得以完善.整個過程看似學生在探索，其實是問題引導下的結果，有問題才有發現，有思考才有創新，正是這種以問題引導的思維課堂，才使公式的得出自然和諧，學生應用公式解決問題也才會得心應手.但本節中教師干預依然太多，學生的主體地位體現還不夠，課堂中問題設計還不夠緊密，要不斷在課堂中尋找學生在自主學習過程中所存在的問題，不斷優化問題，只有這樣才能更好的發揮學生的主動性，讓課堂的效率更高.

1.廉萬朝.高中概念教學中“問題導學”的案例研究［J］.中學數學（上），2016（3）.

2.廉萬朝，崔莉.“問題導學”讓課堂更生動［J］.高中數學教與學，2016（9）.

*本文系咸陽市名師科研課題“高中數學教學中“問題導學”的實踐研究”（課題編號：XYXMKT16004）的研究成果之一.