基于不同版本“導數概念”的比較研究
——以人教版和蘇教版的教科書為例

☉浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 沈金興

基于不同版本“導數概念”的比較研究
——以人教版和蘇教版的教科書為例

☉浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 沈金興

一、問題提出

自十多年前的課程改革開始，我國各省采用的高中數學教科書不再統一，于是除了人民教育出版社出版的教材（簡稱人教版）外，還同時出現了江蘇教育出版社出版的教材（簡稱蘇教版）及其他簡稱湘教版、滬教版等各類教材.這些教材都是在教育部制定的《普通高中數學課程標準》（簡稱課標）的要求下編寫的.雖然標準統一，但在具體內容的編寫過程中還是會采用不同的方式，因為編寫者對課標的理解和編寫理念還是有所區別的，這就導致了某些知識點甚至是概念的表述會處理得不同.為了能在教學中更好地設計某個知識的傳授，可通過比較不同版本教科書中的處理方式，然后再取長補短，作出最佳的選擇.筆者此次選取了人教A版（下稱人教版）與蘇教版這兩個版本的教材，就《選修2-2》中的1.1節“導數概念”的編寫作了一個比較，以觀察這兩個版本對“導數概念”是通過怎樣的例子來引入的？又是用何種方式來表征的？對一線教師的授課能帶來什么啟示？

二、課標的要求

課標首先對這一章作了大致的說明：“導數概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用.在本模塊中，學生將通過大量實例，經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，理解導數概念……通過該模塊的學習，學生將體會導數的思想及其豐富內涵，感受導數在解決實際問題中的作用，了解微積分的文化價值.”［1］

而對具體內容“導數概念及其幾何意義”的要求則更詳細：“①通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵.②通過函數圖像直觀地理解導數的幾何意義.”［1］

兩個版本都是嚴格按照課標的要求來編寫，但在實際處理時，對實例的選擇和內容先后順序的安排還是會不一樣的.下面以這兩個版本的教科書呈現的文本為基礎，從宏觀和微觀兩個層面建立框架來分析，以便清晰地考察兩個版本在同一內容上的異同點.

三、分析討論與比較

1.導數的起源簡述

為了有利于理解這兩本教材在對導數概念的引入和表征上的差異，有必要先對導數的起源有一個大概的了解.眾所周知，17世紀誕生了微積分，但導數的起源可追溯到更早的古希臘時期.它主要源于三個很古老的問題：光學問題中對于一般曲線的入射光是怎樣反射的？如何確定曲線運動的速度方向？如何來求兩條相交的曲線所構成的夾角？但要解決這三個不同問題，歸根結蒂卻都需要先解決同一個問題：那便是曲線的切線問題.［2］

正是由于這三個古老問題都迫切要求解決切線問題，故該問題成了17世紀上葉最核心也是最重要的問題之一.而此問題的解決就標志著導數的誕生.由此可見，切線問題與導數有著密不可分的關系，要講授導數概念，一定繞不開曲線的切線問題.

2.導數概念在兩個版本中的編寫比較

（1）宏觀層面：導數概念的呈現結構內容比較.

先從宏觀層面來考察人教版與蘇教版在導數概念引出方面的情況.人教版安排了3小節，蘇教版安排了2小節，具體呈現的結構內容見表1.

表1 宏觀層面：呈現導數概念的結構順序

從宏觀角度來觀察兩個版本，顯然在導數概念呈現的結構框架方面都遵循了課標的要求：通過大量實例來引入平均變化率，再到瞬時變化率，最后得出導數概念.所以其編寫的整體思路大致一樣：都是從特殊例子再到一般化，且在導函數概念的表征上也類似：先給出函數f（x）在某一點處可導，再“點點可導”得到導函數，也都沒有從極限的“ε-δ”語言定義和嚴格的連續性定義來描述，而是從實例與切線斜率出發，由形到數讓學生直觀形象地感受“以直代曲”的微積分思想后就立即得出概念，而這也符合中學生的認知水平.

當然，所不同的就是導數的幾何意義安排的順序有區別.人教版是先給出f（x）在x=x0處的導數概念，然后再說明它的幾何意義就是x=x0處的切線斜率；蘇教版是先理解曲線上某一點處切線概念，然后從切線斜率、瞬時速度等歸納出f（x）在x=x0處的概念.就這個編排順序的不同反映了編寫者們對導數概念的不同傳授角度.人教版的編者是嚴格按課標要求的順序來寫的：先知道在x=x0處的導數概念，再進一步從函數圖像去直觀理解該概念的意義，從而加深學生對概念的認識.但蘇教版的編者卻對調了課標中安排的順序，打了一個“時間差”，這說明了蘇教版編者的不同視角，他們以歷史發生原理為依據［2］，認為講授導數就應該遵循歷史上發現導數的時間順序，即數學家們是先弄清楚了曲線的切線問題后才得到導數的.這就體現了兩版本的編寫者對數學知識傳授的不同理念.

（2）微觀層面：導數概念的引入與表征比較.

①導數概念的引入比較.

從微觀層面觀察，人教版與蘇教版在導數概念引出之前的具體細節處理上還是有些不同.雖然都遵循課標的要求：從日常生活中的例子來引入，以突出導數概念的實際背景，但對實例的選擇是各不相同的.人教版選擇了氣球的膨脹率和運動員高臺跳水來引出平均變化率，然后一直圍繞著這兩個例子來說明瞬時變化率；而蘇教版則選擇了日常生活中“天氣熱得太快了”這個實例來說明氣溫“陡增”的數學意義，繼而又例舉了嬰兒周歲的體重變化與虹吸管容器中水的變化量來說明，然后又用了數學中的二次函數、一次函數來計算平均變化率.

第一節的實例是為了得出x=x0處的概念而作鋪墊的.人教版只用了生活中的實例，沒有數學本身的例子，給人的印象是導數就是為了解決生活中的實例而誕生的，并沒有數學本身的內在需求，有點“去數學化”的嫌疑，這樣會使學生產生誤解，因為歷史事實并非如此.相比較蘇教版則要處理得全面些.既有生活中的例子，也有數學本身的例子，兩者兼顧，讓學生明白導數既是解決實際生活中的需要也是數學本身發展的需求而誕生并完善起來的，這樣也更符合課標中“通過大量實例”的要求.

②導數概念的表征比較.

人教版對導數概念的得出分了三步.第一步是由瞬時變化率得出y=f（x）在x=x0處的導數：f′（x0）第二步借助信息技術演示圖1中PPn的動態變化，讓學生理解在x=x0處的導數就是曲線在點P處的切線PT的斜率k，第三步才給出描述性的導數概念：當x=x0時，f′（x0）是一個確定的數.這樣，當x變化時，f′（x）便是x的一個函數，稱它為f（x）的導函數（簡稱導數），記作y′，即f′（x）=y′=

圖1

蘇教版在得出導數概念時也分了三步.第一步是詳細講述曲線上一點處的切線.先把點P附近的曲線可視為直線，如圖2，引出“以直代曲”的思想；然后探究過曲線上一點P的割線如何通過逼近最后得到切線，教材上安排了一個動畫鏈接，如圖3；最后給出切線斜率的描述性定義：當無限趨近于0時，無限趨近于點P（x，（fx））處的切線斜率.第二步又通過瞬時速度、瞬時加速度給出了函數在某一點處的導數：設函數y=（fx）在區間（a，b）上有定義，x0∈（a，b），若Δx無限趨近于0時，比值無限趨近于一個常數A，則稱（fx）在x=x0處可導，并稱該常數A為函數f（x）在x=x0處的導數，記作f′（x0），隨后指出f′（x）0的幾何意義就是曲線y=（fx）在點P（x0，（fx）0）處的切線斜率.第三步才給出導數概念：若（fx）對于區間（a，b）內任一點都可導，則（fx）在各點的導數也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數，該函數稱為（fx）的導函數，記作f（′x）.［4］

圖2

圖3

從微觀角度看，除了都通過信息技術來幾何直觀地說明“以直代曲”的極限思想外，兩版本對導數概念的表征處理得明顯不同.首先人教版已采用了高等數學里的導數表示形式，用高度抽象的符號“”來表述，盡管沒有嚴格解釋“”的數學意義，但已解釋了“趨近于0的極限”這個含義；而蘇教版一直沒有出現“”這個數學符號，并一直用文字表達“無限趨近于0”.其次人教版是通過“映射說”的角度來定義f（′x）是一個函數；而蘇教版是從“變量說”角度來定義f（′x）是一個函數.最后在導數概念得出前的條件也不一樣，人教版處理得比較模糊，只是用“從求函數（fx）在x=x0處導數的過程可以看到，…”；而蘇教版則借鑒了高等數學中的表示：“若（fx）對于區間（a，b）內任一點都可導.”

筆者作為一線教師，認為這兩個版本對導數概念的表征各有優缺點.人教版采用極限的符號“”還是可取的，因為作為高中生，適當介紹一下高度抽象的符號還是有必要的，再說既然兩版本都沒有用“ε-δ”語言來嚴格說明極限的數學意義，那又有何必總用通俗化的語言“無限趨近于0”去描述呢？還不如直截了當用數學符號來表示.但在導數給出前的條件還是蘇教版處理得清晰，通過“區間（a，b）內任一點都可導”來得出.至于是用“映射說”還是“變量說”去解釋導函數，關系并不大，因為學生都已學過，都能理解.

四、結論與建議

1.結論

（1）兩版本在宏觀層面的呈現結構上具有相似性.

從宏觀視角看，兩版本都按課標的要求來執行，呈現的結構路徑相似：在概念引入前安排大量實例，并由平均變化率再到瞬時變化率.編排理念都是從特殊到一般，符合學生的認知規律.函數f（x）在某點處導數也都與切線的斜率相聯系，并都借用信息技術通過幾何直觀來刻畫“以直代曲”的導數思想及幾何意義.

（2）兩版本在微觀層面的細節處理上具有差異性.

人教版在實例的選擇上是更傾向于實際生活，而蘇教版除生活實例外還兼顧數學本身的例子；人教版是先有f（x）在x=x0處導數概念后再理解其切線斜率的幾何意義，而蘇教版則直接先引出切線斜率作為數學實例之一，再歸納出f（x）在某一點的導數概念，這樣處理更符合數學史上導數的歷史發生順序；而兩版本在導數概念表征的處理上也具有差異性.

2.教學建議

經過上述的分析討論得出的相關結論，就可以得到一些教學啟示.作為一線教師，在備課時就能各取所長，把兩版本的優點集中起來，從而設計出更符合學生認知規律的教案.

（1）導數概念的引入可兼顧生活化與數學化.

由于人教版的導數概念引入更多地側重于生活化例子，缺少數學內在發展需要的例子，因而可借鑒蘇教版的處理方式，既有貼近學生日常生活的例子，也可加入純數學中的例子，使兩者相得益彰.

（2）導數概念的表征可兼顧通俗化與符號化.

對導數概念的表征形式可綜合兩版本的表述，即先用蘇教版易理解的通俗化語言：“函數y=（fx）在區間（a，b）上有定義，x0∈（a，b），”接下來把“無限趨近于0”改變成人教版采用的符號“來表示，這樣取長補短后，既有通俗化的數學語言又有高度抽象的符號化語言，體現了數學的簡潔美與形式美.

（3）曲線的切線問題在導數概念前后引入皆可.

不管蘇教版把切線安排在導數概念前，作為引入的例子來介紹，還是人教版作為導數的幾何意義來說明，都有道理，可以說“仁者見仁，智者見智”，所以如何處理可由教師決定.不過筆者認為，從HPM視角看，基于歷史順序的編排可能更符合學生的認知特點［2］，即像蘇教版那樣，把解決曲線的切線問題作為導數概念的引入.

總之，研究同一個知識點在不同版本教科書中的處理方式，目的就是要比較出各自的優缺點，然后揚長避短，吸取各自之精華，博采眾長，從而使該知識點的教學設計更合理、更科學，也更適合學生的學習.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2006.

2.汪曉勤.數學文化透視［M］.上海：科學技術出版社，2013，1.

3.中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書：數學（選修2-2）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.普通高中課程標準實驗教科書：數學（選修2-2）［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.