為教材做“注記”
——以“點到直線的距離”為例

☉浙江省義烏市第二中學(xué) 龔輝斌

為教材做“注記”
——以“點到直線的距離”為例

☉浙江省義烏市第二中學(xué) 龔輝斌

數(shù)學(xué)教材凝結(jié)著教材編寫專家的心血和智慧，受到教師們的普遍尊重，以教材為本是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本遵循.然而，由于形式化表達的特點，數(shù)學(xué)中的一些深層次東西并不容易在教材中自然地表現(xiàn)出來.限于篇幅，一些重要的數(shù)學(xué)思想和方法也未能獲得充分的顯現(xiàn).因此，立足教材理解，圍繞數(shù)學(xué)教育目標，一線教師對教材內(nèi)容進行自主的分析、加工和補充具有現(xiàn)實意義.有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教師習(xí)慣于把這些分析、加工和補充標注在教材的頁眉或頁腳位置（或其他空白處），以待有機整合在后續(xù)的備課活動中.我們不妨把教師的這種個性化活動稱為“為教材做‘注記’”.為教材做“注記”有哪些基本的視角？各自有著怎樣的教學(xué)意義？本文以高中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書的一段內(nèi)容為例，談?wù)劰P者的實踐和思考，拋磚引玉，與同行交流.

一、案例

人教A版數(shù)學(xué)2（必修）第三章“直線與方程”3.3.3“點到直線的距離”開門見山，通過“思考？”欄目提出問題：如圖1，已知點P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0，如何求點P0到直線l的距離？

圖1

教材給出了一種思路（下文簡稱“教材思路”）：首先，由PQ⊥l，以及直線l的斜率-，得l的垂線PQ的

00斜率為，從而求出垂線PQ的方程；接著，求出直線PQ

00與直線l的交點，即垂足Q點的坐標；最后，求出P0與Q間的距離|P0Q|，此即為點P0到直線l的距離.

教材指出，上述方法雖然思路十分自然，但具體運算較繁，因而采用下面的方法（下文簡稱“教材做法”）：

如圖2，設(shè)A≠0，B≠0，則直線l與x軸與y軸都相交.過點P0分別作x軸和y軸的平行線，交直線l于R和S，得R的坐標為），S的坐標為于是有

圖2

由三角形面積公式，得P0到直線l的距離

可以驗證，當A=0，或B=0時，上述公式也成立.

對于上述教材內(nèi)容，筆者給出了3點“注記”.

注記1，大致遵循“教材思路”，但不求垂足Q點的坐標，也能求出|P0Q|.

設(shè)垂足Q點的坐標是（x′，y′），則|P0Q|=

把x′-x0和y′-y0分別視為一個整體，建立關(guān)于它們的兩個關(guān)系式.為此，需要轉(zhuǎn)化已知條件.

因為Q在直線l上，所以Ax′+By′+C=0，變形為A（x′-x0）+B（y′-y）0+Ax0+By0+C=0（.1）

把（2）式代入（1）式，得

注記2：“教材做法”的核心是構(gòu)造一個位置特殊的直角三角形，其數(shù)學(xué)考慮包括：

第一步，聯(lián)想.從目標“點到直線的距離”出發(fā)，聯(lián)想到“三角形邊上的高”，進一步聯(lián)想到“三角形的面積”.

第二步，設(shè)想.設(shè)想構(gòu)造一個以P0為頂點的三角形，P0所對的邊在直線l上，設(shè)這條邊為SR（如圖3）.

第三步，表示.P0到直線l的距離d=△P0SR中SR邊上的高=

第五步，再特殊化.為使|P0R|和|P0S|的表示來得簡易，讓P0R∥x軸，P0S∥y軸（如圖2）.

圖3

圖4

注記3：“教材做法”的關(guān)鍵詞是“聯(lián)想”和“特殊化”.事實上，還有其他的“聯(lián)想”和“特殊化”.如聯(lián)想以下事實：在△ABC中，BC邊上的高hA=|AB|sin∠ABC，有以下方法（設(shè)直線l的傾斜角為α）：

過點P0作y軸的垂線交直線l于R，則點P0到直線l的距離d=|P0R|sinα.容易得到，|P0R|=，sinα=

二、思考

數(shù)學(xué)教材是一幅未竟的“畫”，一段待續(xù)的“情”.事實上，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)不是一件簡單的事，需要教材編者和一線教師的配合與協(xié)作.體現(xiàn)教材實踐者對于教材的能動性，使教材發(fā)揮最大的教學(xué)效益，是教師為教材做“注記”的出發(fā)點，必為教材編者所樂見.上文案例提供了為教材做“注記”的3個基本視角.

視角1，調(diào)整想法.這里的“想法”，指的是教材中處理具體數(shù)學(xué)問題的思路或意見.向教材學(xué)習(xí)是教師應(yīng)有的態(tài)度，但教材不是“圣經(jīng)”.借助于研究性閱讀，教師會發(fā)現(xiàn)教材的一些想法其實有著調(diào)整的空間.對此，汲取其合理成分，教師以“注記”的形式寫下調(diào)整的結(jié)果，不僅豐富了課堂教學(xué)資源，同時孕育了新的教學(xué)價值.

點P到直線l的距離，本質(zhì)上是“點與點之間的距離”，即點P與直線l上的一個特殊點之間的距離.分析這個特殊點（垂足Q）的幾何性質(zhì)（在直線l上，與點P的連線垂直于直線l），然后轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系（坐標滿足直線l的方程，與點P的連線的斜率等于直線l的斜率的負倒數(shù)），體現(xiàn)了“聚焦核心對象→分析幾何性質(zhì)→進行形數(shù)轉(zhuǎn)化”這一解析幾何的基本思想和研究套路，教學(xué)意義不言而喻.從問題目標出發(fā)，通過“設(shè)而不求”、“整體代入”等數(shù)學(xué)技能的運用，注記1有效調(diào)整了教材想法（實際上改進了教材思路）.將之運用于課堂教學(xué)，等于給予學(xué)生一次踐行解析幾何思想、提高分析問題能力、發(fā)展重要數(shù)學(xué)技能的良機.

注記1可以避免教學(xué)“入寶山而空返”的尷尬，同時有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.在學(xué)生的心目中，數(shù)學(xué)教材是“高大上”的學(xué)習(xí)材料，因而課堂上教師拋出問題“不求垂足Q點的坐標也能求出嗎？”時，學(xué)生的內(nèi)心會充滿疑惑.以注記1指導(dǎo)學(xué)生的嘗試，讓他們親歷峰回路轉(zhuǎn)的時刻，看戰(zhàn)術(shù)的改變?nèi)绾问菇滩乃悸穯景l(fā)了新的生機.學(xué)生將感受到：獨立自主的思考和積極的行動嘗試，是多么的可貴！從而增強學(xué)生自我發(fā)展的信心.

視角2，詮釋做法.教材展現(xiàn)給人的是邏輯嚴密的問題解決流程，背后的思維活動往往被“雪藏”了“.注記”的一個重要方面是化“隱”為“顯”，從幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思維的角度重拾生動活潑的思考過程.

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)的重要方法，但在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中并不多見，學(xué)生感覺其“妙”易，理解其“意”難.事實上，一個代數(shù)式或空間圖形的構(gòu)造，往往不是隨性而起、一拍腦袋而成的，而是一連串數(shù)學(xué)考慮的結(jié)果“.教材做法”構(gòu)造了一個三角形，背后的思維活動是“聯(lián)想”和“特殊化”.即由“點到直線的距離”聯(lián)想到“三角形邊上的高”；圍繞“如何求出三角形的高”，采取了兩次特殊化行動.具體地說，點到直線的距離三角形邊上的高直角三角形斜邊上的高兩條直角邊分別垂直于x軸和y軸的直角三角形斜邊上的高.聯(lián)想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的源泉，特殊化則反映了數(shù)學(xué)科學(xué)的特點，即“追求簡單（包括簡單的過程和簡單的結(jié)果）”．“注記2”詮釋了圖2的來龍去脈，可以使學(xué)生真切體會聯(lián)想和特殊化在數(shù)學(xué)構(gòu)造中的意義和作用，“構(gòu)造”這一抽象的數(shù)學(xué)思想由此變得生動起來．

視角3，補遺方法．數(shù)學(xué)思想是一種策略性知識，是數(shù)學(xué)的精髓．策略性知識的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者的親身實踐和具體方法的支撐不可或缺．因此，對于教材反映的重要數(shù)學(xué)思想，教師有必有趁熱打鐵，給予學(xué)生強化體驗的機會．一條自然、經(jīng)濟的途徑是引導(dǎo)學(xué)生從教材做法反映的數(shù)學(xué)思想出發(fā)，嘗試重新解決教材提出的問題，讓學(xué)生借助改進或創(chuàng)新的數(shù)學(xué)方法來推進自己對數(shù)學(xué)思想的理解．教師以“注記”的形式寫下有關(guān)數(shù)學(xué)方法的補遺，正是為了有效地指導(dǎo)學(xué)生的這種實踐活動．

“注記2”可以使學(xué)生感受“聯(lián)想”和“特殊化”在數(shù)學(xué)構(gòu)造中的作用，可它畢竟屬于接受性學(xué)習(xí)．引導(dǎo)學(xué)生展開新的聯(lián)想，鼓勵學(xué)生嘗試新的特殊化，可以促成學(xué)生運用聯(lián)想思維和特殊化方法進行數(shù)學(xué)構(gòu)造的直接經(jīng)驗．“注記3”為學(xué)生的這一活動提供了強力支持，避免數(shù)學(xué)思想（構(gòu)造思想）教學(xué)淺嘗輒止的現(xiàn)象．

總的來說，抓住數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的契機，聚焦數(shù)學(xué)思想的闡釋和應(yīng)用、數(shù)學(xué)方法的改進和創(chuàng)新，3個視角開啟了深化教材理解、發(fā)展教材資源的窗口．當然，從數(shù)學(xué)內(nèi)容和教材編寫的實際出發(fā)，上述視角應(yīng)有所側(cè)重，并采取一定的審慎態(tài)度．如，教材想法確有調(diào)整的必要嗎？如何使教材做法的詮釋更到位？補遺的數(shù)學(xué)方法符合學(xué)生的知識經(jīng)驗和認知水平，并能促進學(xué)生的思維發(fā)展嗎？在筆者看來，同一備課組老師經(jīng)常就“注記”的具體內(nèi)容展開討論，是保證“注記”準確、深刻、全面的必要舉措．

1.人民教育出版社·課程教材研究所·中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修2（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2010．

2.王麗娟，殷玉波．復(fù)盤“點到直線的距離”說課［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（7）．