從高考試題研究教學導向

☉江蘇省蘇州第四中學 薛榮明

從高考試題研究教學導向

☉江蘇省蘇州第四中學 薛榮明

眾所周知，高考試題是經過許多專家、特級教師多次研究、反復推敲命制的結果，每一個原創考題的背后都有著大量的思考，匯聚了多個知識考查的整合.但是從現階段復習教學與高考導向來看，我們很多時候的數學復習工作都是無用功，即不少教師并不研讀考試大綱、不鉆研高考真題、不了解命題意圖、不思考真題的高等數學背景等等一系列問題，導致復習教學的效果多數時間是無用功.

某位命題專家說得好：研究高考真題可以獲得很多信息，比做一本無用的資料實在得多，可以反復做、變式做，會有很多體會的.筆者就近年選出部分真題與讀者一起分享，教學應該有如何的導向，不當之處懇請批評指正.

一、概念怎么考

數學概念在每份高考卷中都有體現，但是怎么考才能體現數學味？怎么考才能有區分？近年來概念考查愈來愈趨向知識的本質、注重概念的理解.以函數為例，函數考什么？函數是高中數學學習的基礎，對它的考查應該考最能體現函數本質的核心知識和思想方法.對于考查的形式應該是不拘一格的，應該有利于促進學生核心素養的形成、發展與應用，擺脫模式化的解題教學，同時也是能適度促進函數與平面向量、三角、不等式等其他模塊知識的融合與交匯，以區分學生對于概念的理解，增強選拔區分功能.

問題1存在函數f（x）滿足，對任意x∈R都有___________.

（1）（fsin2x）=sinx；（2）（fsin2x）=x2+x；（3）（fx2+1）=|x+ 1|；（4）（fx2+2x）=|x+1|.

函數概念視角分析：何為函數？自變量當取x0對應唯一的y0.深刻理解函數概念，才能對問題的解決有更深刻的理解.比如對（1）來說，不妨令x=0，得（f0）=0，再令x=，得（f0）=1，顯然對于同一個自變量而言，（f0）不唯一，這與函數定義相違背，因此（1）不滿足題意，其余類似.故（4）正確.這是從深度理解函數概念的視角進行了考查、辨析.

周期性質視角分析：f（sin2x）的內函數的周期是π，而sinx的周期是2π，（1）不符；f（sin2x）的內函數的周期是π，x2+x不具有周期性，（2）不符；f（x2+1）內函數是偶函數，而|x+1|不具有奇偶性，（3）不符.故選（4）.

評析：此題考查了函數的概念與基本性質，要求學生對概念與性質有一個深刻的認識才能快速高效地作出判斷.此題最關鍵的難點是題干敘述得非常數學化——數學符號語言——學生抓不住問題的核心.從本題看來，高考對于概念本質的考查愈來愈深入，對學生形式化理解的考查愈來愈追求核心，從而達到區分的目的.因此概念教學不能只停留簡單問題的表面，要深入了解概念內涵、本質，并運用于試題中.

問題2設函數f（x）=sin2x+bsinx+c，則f（x）的最小正周期與b______（填寫有關或無關），與c______（填寫有關或無關）.

分析：學生對于周期的理解主要是限于函數f（x）= Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），而且基本屬于背誦公式求周期，對周期的概念并沒有真正的理解.其實我們可以這樣思考，f（x）=sinx周期是2π，f（x）=sin2x周期是π，它們結合在一起，則函數f（x）=sinx+sin2x的周期必定受到影響，因此對于本題我們就理解哪個系數對于周期有影響了.由于（fx）=sin2x+bsinx+c=+bsinx+c.當b=0時，（fx）的最小正周期為π；當b≠0時，（fx）的最小正周期為2π.c的變化會引起（fx）圖像的上下平移，不會影響其最小正周期.

評析：本題主要考查三角恒等變換、三角函數的最小正周期等基礎知識，意在考查學生的分析問題和解決問題的能力.周期概念的理解，成為周期考查的新導向，不再拘泥于僅僅記憶周期相關的公式，從而提高了學生對周期概念的理解和認識.

二、背景怎么挖

數學是什么？數學是一種語言.我們日常的教學就是不斷地在將文字語言、圖形語言與數學符號語言之間化歸轉化.將我們不熟悉的語言環境通過我們自身的數學基礎，結合題目本身的要求轉化為熟悉的一個一個環節將問題串聯起來，挖掘試題的物理背景、幾何背景，將問題還原再解決.

（1）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

（2）①求F（x）的最小值m（a）；

②求F（x）在區間［0，6］上的最大值M（a）.

“max”與“min”是高等數學中的基本表述符號，對于高等數學而言，命題專家如何讓其在中學數學中體現落地？這很好地體現了高考命題的特點：題干簡潔明了，特別注重數學符號語言的應用.本題考查的主體是二次函數，涉及函數的基本考查點：單調性、最值.

簡析：（1）由于a≥3，所以，

當x≤1時，（x2-2ax+4a-2）-2|x-1|=x2+2（a-1）（2-x）＞0；

當x＞1時，（x2-2ax+4a-2）-2|x-1|=（x-2）（x-2a）.

所以，使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為［2，2a］.

第（1）問給我們搭建的平臺切入點還是很適合的，主題解決三個層面的問題：遇到絕對值問題應該怎樣處理？分類討論后是二次問題，我們處理的通性通法是什么？處理好定性分析與定量計算的關系以及先后順序.大量的問題出現在對于當x≤1時，處理的手段是有限與呆板的——解不等式，缺乏先定性分析，再定量計算的策略儲備，要充分利用好已知條件：a≥3與隱含條件：函數過定點（2，2）.

所以，由F（x）的定義知，m（a）=min｛f（1），g（a）｝，

②當0≤x≤2時，F（x）≤f（x）≤max｛f（0），f（2）｝=2= F（2），

當2≤x≤6時，F（x）≤g（x）≤max｛g（2），g（6）｝= max｛2，34-8a｝=max｛F（2），F（6）｝.

第（2）問在函數圖像上，運用單調性分析的方法找到產生最大值與最小值的點，最后比較大小找到字母的分界點.最后還要認識到M（a）是含有字母a的表達式，而不是再用一次求最值的策略剩下常數.明確字母a是給定范圍內的任意一個常數，就已經是常數了，不需要再求最值.

評析：重視思想，意蘊深刻.本題涉及到了數學中最常用的“函數與方程、數形結合、轉化與化歸、分類討論”的數學思想方法，其意蘊豐富而又深刻.高中數學教學要回歸教材，養成挖掘教材試題的本質與背景的習慣，要重視思維的啟迪，重視問題的研究，克服“滿堂灌、重訓練”的現象，在培養學生的思維能力.

三、創新怎么辦

高考問題之所以難，還有一個重要因素是高考問題的原創性.學生在復習教學中往往訓練的模擬問題是延續一定的套路性，但是高考為保障公正公平恰恰將這種套路性的問題一一去除，以更為公平的背景設計考題，因此高考導向暗示復習教學需要一定的獨特性，不能總是一層不變的按照老套路復習.

（1）f（x）≥1-x+x2；

分析：在大量研究二次函數、絕對值函數、三次函數求導的今天函數教學中，某省以這樣的壓軸函數試題設計，遠遠超出教師與學生的預想的，是一種大膽的創新，問題設置向思維靠攏——以證明題的形式面世.但問題的落腳點還是基于通性通法——比較大小要回歸作差法或者構造，出現（1+x）（fx）≥1-x+x2，g（x）=（1-x+x2-x3），或g（′x）=-（-1+2x-3x2），g（′x）=入口比較容易，對學生的思維能力和解題能力提出了非常的要求.證明題的要關注小問之間的關聯性；出現（fx）≥1-x+x2或1-x+x2=不等式的證明著眼于放縮：令（fx）=g（x）+1-x+x2，（fx）max≤g（x）max+（1-x+x）2max，（fx）min≥g（x）min+（1-x+x）2min，g（x）∈或（1-x+x）2

四、教學怎么辦

“高考考什么，怎么考”永遠是高中教學的風向標，命題風格，數學的本質以及高考中學生答題出現的問題是教師改進教學的重要依據.從高考命題的方向來看，一味大訓練量的復習教學已經不適合當下的數學復習教學了.不少教師往往對高考導向沒有深入的思考，從而將復習教學變得既無效又耗時.

其一，加強概念教學的深刻性.從上述函數概念、周期概念的考查來看，在不少中學數學重要概念的復習中還有進行有效挖掘，比如圓錐曲線的概念、平面向量基本定理的概念等，近年來也有不少高考亮題出現，教師復習教學要多多關注.

其二，復習教學要緊緊靠攏高等數學.很多高考真題都是大學專家命制的，必然具備了一定的高等數學背景，教師教學要多思考這些背景，更要多看看相關專業雜志，獲取更多的知識背景.

最后是關注思想方法的滲透，比如原創性問題必定依靠常見的數學思想而編制，有了思想問題的解決幾乎是必然的，這是教學的主要導向.以問題4為例，其第一小問只需要利用作差即能解決，這是多項式比較的最基本解題思路.

后續教學要多思考這些環節，在模擬套路試題的訓練上適可而止，這樣的教學才是有效的、有指導意義的.

1.柴賢亭.數學教學中的思維啟發設計［J］.教學與管理，2014（10）.

2.鄭毓信.解題教學理論的必要發展［J］.中學數學月刊，2014（1）.