加強命題研究，明確備考方向
——以全國卷Ⅱ解析幾何命題為例

☉廣東省河源市廣州大學附屬東江中學 張 雷

加強命題研究，明確備考方向
——以全國卷Ⅱ解析幾何命題為例

☉廣東省河源市廣州大學附屬東江中學 張 雷

高考真題，對于高三備考來說，起著“指揮棒”的作用.加強對高考真題的研究是有效備考的重要途徑.研究高考真題，可使我們明確重要知識點的考查形式，進而研究相關問題的求解思路以及問題求解的具體方法.本文以解析幾何試題為例說明.

一、研究命題的結構、特征

近幾年新課標全國卷Ⅱ理科考查知識點對比：

從考查內容來看，可得出以下信息：直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的概念與性質以及直線與圓錐曲線的位置關系、直線與圓的位置關系是每年必考的重點內容，考查形式多樣，既有選擇題、填空題，也有解答題.一般以選擇題、填空題突出考查直線與圓的位置關系，圓錐曲線的概念與性質的應用，考查橢圓的離心率、雙曲線的離心率、雙曲線的漸近線等計算問題，以解答題重點考查直線與圓錐曲線特別是直線與橢圓、直線與拋物線的位置關系.題量一般為兩小（2道選擇題或選擇題、填空題各1道）一大（1道解答題），設置在壓軸題的附近.

通過此類問題求解，可以有效地檢測和提高學生的數學能力.

二、研究問題的求解策略

解析幾何的核心觀點就是用恰當運用代數的方法解決幾何問題，基本思想是數形結合思想，核心方法是坐標法.用解析法研究幾何圖形的性質，須先將幾何圖形置于坐標系中，讓“形”與“數”對應起來：把點轉化為坐標、把曲線轉化為方程，把題目中明顯的或隱含的解題所需要的一切幾何特征，用數式和數量關系表示出來，具體關系，如圖1所示：

圖1

（1）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；

（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

本題的實質是研究四邊形OABC的形狀是否可能為菱形？如果是，它的面積是多少？

由于只有當B為橢圓W的頂點時，四邊形才可能成為菱形，其他情況均不可能成為菱形，因而涉及兩種情況：

（1）特殊情況（B為右頂點）求菱形面積；（2）一般情況（B不是頂點）探究四邊形OABC是否可能為菱形.其中滲透了分類討論思想，考查了反證法、幾何特征的代數化、運算能力等.

策略研究：菱形幾何特征的選擇及其代數化，反證法，代數運算能力.特別是第（2）問，究竟選擇菱形的什么幾何特征入手對后續的代數運算有較大的影響.因此，在復習教學中，我們應當做好以下幾個環節：

（1）落實解析幾何的基礎知識：包括直線方程與斜率，圓與圓錐曲線的方程和性質，點、直線、圓和圓錐曲線之間的位置關系，等等.

（2）適當復習幾何圖形的幾何特征：包括角平分線的性質、直線垂直、線段平分、點共線、線共點、線段相等、面積相等、特殊四邊形的性質與判定等等.

（3）總結幾種題型的研究方法：包括弦長與面積等度量問題、探究問題、存在性問題、最值問題、定點問題、定值問題、共點問題、共線問題等等.

三、研究問題解答的方法、程序

此部分研究主要包括解法步驟的確定、相關公式的選擇、推演過程的優化.解析幾何問題的解答，主要涉及以下思想方法：

（1）坐標法：坐標法是解析幾何的基本方法，要能夠在具體問題中寫出相關點的坐標、直線的方程、圓的方程、圓錐曲線的方程，并用坐標與方程研究幾何問題.

（2）函數與方程思想：對于圓錐曲線上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯系、相互制約的量，從而使一些線段的長度及a、b、c、e之間構成函數關系，函數思想在處理這類問題時就很有效.從另一視角看，當題中獨立條件的個數少于未知數的個數時，所研究的問題就會轉化為某一個或幾個未知數的函數問題.

（3）分類討論思想：解析幾何問題中常涉及到直線的斜率是否存在、最值問題中某個參數是否為0，以及幾何背景中某一位置關系是否具有多種可能，等等.

（4）數形結合思想：解析幾何具有直觀的幾何圖形，解題中利用圖形的直觀性，可簡化解答過程.另外圓錐曲線和圓都具有對稱性質，有效利用這一性質，常可減少變量的引入，進而簡化計算.

（5）參數法：解析幾何問題的處理過程中，因直線的斜率、曲線方程、點的不確定性，常需引入適當的參數來刻畫點、直線或圓錐曲線的變化狀態，從而把所研究問題轉化為參數的函數、方程、不等式來求解.

（1）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；

（2）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍.

與橢圓方程聯立，消去y并整理得

（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0.

解得x=-2或x=-

與橢圓方程聯立并消去y得

利用弦長公式得

所以（k-2）·（k3-2）＜0，解得＜k＜2.

說明：根據已知定點所在的位置，可將直線方程設為y=k（x+），也可設為x=my-，解題中要靈活運用這兩種方程形式.聯立直線與橢圓方程，消元得含x或y的一元二次方程，則直線與橢圓相交，即此方程有兩個不同實根，其中一根已經確定，即x=-，故另一個根可利用韋達定理求得.在求出線段AM的長度后，線段AN的長度，可利用直線AM與AN斜率的關系進行代換，進而簡化計算.

綜上，對歷年高考真題的研究，是高三備考的重要內容.據此可使我們明確某一知識的命題視角、考查題型，進而研究解決相關問題的通性通法.解析幾何是高中數學主干內容，本文通過對近4年全國Ⅱ卷中解析幾何試題歸納，總結出命題規律，并探究問題求解的程序、通法，以期對學生備考有所幫助.