淺談高三一輪練習講評課中數學核心概念的有效培養

☉浙江省天臺中學 余飛宏

淺談高三一輪練習講評課中數學核心概念的有效培養

☉浙江省天臺中學 余飛宏

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反應形式，是掌握數學基礎知識和提升運算能力、發展邏輯推理能力和空間想象能力的前提.從一定程度上講，學生學習知識主要是從客觀事實完成個體特征抽象出概念，再通過對概念的應用加深理解客觀事物之間的聯系.數學核心概念是指在整個高中數學學習過程中起到一個統領、主導作用的概念，也是學生提升數學學習力的關鍵所在，是高中數學學習的奠基石.因此，核心概念的學習就顯得至關重要.高三一輪復習是學生提升概念的理解，形成學生數學核心素養的一個關鍵時期.但我們的日常教學中，大部分時間淪為簡單的羅列知識點和大量重復習題的練習，并沒有從深層次挖掘數學概念的內涵，這樣復習達到的效果往往是學生對于數學概念的理解層次較淺，不能抓住核心概念，往往導致遇到“生題”無從下手，對數學核心素養的提升起不到任何效果.只有抓住核心概念這一解決問題的根本，學生在解決問題時才能將問題進行轉化，從而達到提升核心素養的效果.下面筆者在高三一輪練習講評課中，就如何引導學生從核心概念入手，思考和解決數學問題，進而使學生在解決問題的過程中提高數學思維能力，提升數學核心素養.

一、問題引導，挖掘概念內涵

高中數學課程標準指出：“數學教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解.”抽象化和形式化是數學概念的基本特征，在練習講評時可以嘗試以問題引領，將具體的數學問題與抽象的概念結合來深化學生對數學本質的認識，圍繞著問題所涉及的數學核心概念，巧設問，妙追問，來深化學生對數學核心概念的理解.

問題1存在函數f（x）滿足：對于任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

很多同學在求解時無從下手.教師在講評時引導學生關注題中提到的“存在函數”一詞，尤其是“函數”兩個字，啟發學生去深入挖掘函數概念的本質.通過問題指引的方式引導學生思考：

（1）函數的概念是什么？

（2）自變量x與函數值f（x）之間存在著怎樣的對應關系？

（3）這些函數的圖像有什么特征？

（4）怎樣的對應關系才是真正意義上的函數，你能得出什么結論？

二、逆向思考，深化概念外延

任何一個概念都有內涵和外延兩個方面，概念的內涵是指概念所反映對象的特性和本質屬性，而概念的外延是概念所反映對象的具體范圍.要掌握一個概念，必須要準確把握這個概念的確切含義和所指的對象范圍，而概念外延恰恰是概念應用的生長點，也是考查學生對數學概念理解的關鍵.

問題2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F是側面BCC1B1內的動點，且A1F∥平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值構成的集合是__________.

圖1

（1）根據所學知識，怎樣才能得到線面平行？

（2）怎樣理解“隨著F點的運動，始終有A1F∥平面D1AE”？

（3）過一個定點A1能作出無數條直線與平面D1AE平行，你能得到什么結論？

（4）F點在運動的過程中，它的軌跡又是怎樣的？

（5）如何作出這兩個平面的交線？

本題正是抓住線面平行這一概念的外延，逐步推進，探求本源，解決問題.在分析解決問題的過程中，通過師生互動，展示學生的思維心路歷程，逐漸暴露學生的知識上的思維斷點，引導學生主動思考，這樣的講評不僅拓展了學生的解題思路，更加訓練了學生的逆向思維.使學生能夠舉一反三，在解決類似問題時學會逆向思考的思維方式，深化對概念外延的理解.

三、思維展示，關注多元表征

高中生對數學概念脈絡的表征情況可以分為三類，第一類為知識點比較零散，知識之間的聯系斷裂，基本方法掌握較差，尚未形成體系；第二類為能對已學知識點形成體系，但基本是停留在書本層面，基本方法掌握較好，針對問題選擇方法的能力較差；第三類不僅有較為完善的知識體系，而且知識面寬，拓展能力強，基本方法掌握很好，針對具體問題選擇恰當方法的能力也很好.多元表征水平較好的學生中能夠形成較好的數學概念脈絡，較差的學生其概念脈絡不成體系；數學本身強調文字語言、圖形語言與符號語言之間的轉化.數學概念特別是數學核心概念，更是要通過多種形式進行表達.在核心概念的理解方面要注重選取多元素材，激發多元思考，引發多元聯系.通過多遠表征深化概念的理解與應用.

向量具有代數的嚴謹和幾何的直觀，有著“數”與“形”的雙重身份，平面向量的數量積是平面向量部分的核心概念，而且與三角、立體幾何等知識也有交匯.向量數量積的概念，有兩種形式：一種形式是a·b=|a||b|cos＜a，b＞，它的幾何意義是|a|與b在a方向上的投影|b|cos＜a，b＞的乘積，另一種是坐標形式a·b=x1x2+y1y2.以上是平面向量數量積這一概念的不同表征.在講評這道練習時讓學生展示自己的解題思路，展現不同的思維方式.

思路1：利用基底的意識.

又因為P在AB邊上，

所以0≤λ≤1，

思路2：利用向量的投影意識.

0

圖2

圖3

（2）P在線段P0A上，即0≤λ≤（*）時，在上的投影為-|，此時

圖4

思路3：利用坐標意識，以C為原點建立平面直角坐標系，可知A（1，0），B（0，1），P（λ，1-λ），

在學生介紹完自己的解題思路，教師適時講評，引導學生總結思考數量積的每一種形式，適用于什么條件；利用基底意識、坐標意識與投影意識解決向量問題又有什么區別.

進行練習講評時，如果在此基礎上能從不同角度去理解、感悟概念，并在講評之后加以歸納總結，相信會更有助于學生對核心概念知識的體系化.

四、科學評價，深化理解概念

數學概念的理解是一個逐步深化的過程，教師在課堂上通過練習針對性的講評可以深化學生對概念的理解，但是在整個教學過程不僅包含教師的“教”、學生的“學”，還有一個重要環節：通過相關的針對性練習反饋，對學生的掌握情況進行“評”.教師的教，促使學生對問題與概念的理解；學生的學，加深學生對概念的感悟；但只有通過具體的操作才能進一步提升學生的思維，形成數學素養.

我們在以上例題講解的基礎上不妨配合相應練習，提升學生對概念的理解與感悟.

例如，在問題3講評好之后可以在課堂上或課后做相關的練習.

練習1在?ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAC=60°，點M為AB的中點，點P在BC與CD上運動（包括端點），則的取值范圍是__________.

圖5

回歸教材，回歸數學核心概念，突出能力立意，是當今數學高考命題的方向.我們要在練習講評課中滲透對數學核心概念的講解，重視提煉數學核心概念的教育價值，培養學生從概念出發去思考、從概念出發來解決問題的習慣.教師只有在平時的數學教學過程中充分關注數學核心概念的滲透，才能逐步加深學生對數學核心概念的理解和把握，進而使學生在學習解決問題的過程中提高解決和分析問題的能力，提升數學核心素養.

1.宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升［J］.中學數學月刊，2013（5）.

2.方石.數學教學詮釋思維品質［J］.數學通訊，2014（4）.

3.柴賢亭.數學教學中的函數問題設計［J］.教學與管理，2012（10）.

4.鮑建生.數學概念教學研究兩例［J］.數學教學，2014（11）.