“數學抽象”核心素養的養成途徑
——以數學概念教學為例

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 楊廣娟

“數學抽象”核心素養的養成途徑
——以數學概念教學為例

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 楊廣娟

最新的《普通高中數學課程標準》提出了數學學科的六大核心素養，其中“數學抽象”位居首位.“數學抽象”指的是舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.眾所周知，數學概念的獲得是在分析、綜合、比較的基礎上，抽取出事物本質屬性，舍棄其非本質屬性，使認識從感性的具體進入抽象的規定.由此可見，數學概念獲得的過程是最典型的數學抽象的過程.

一、數學抽象的起始點：聯系生活

數學抽象的一個重要特征從原型中選取某一特征（側面）加以抽象，從而獲得比原結構更廣的結構.對于數學概念來說，它最基本、最廣泛的“原型”就生活經驗.數學源于生活，數學與生活存在著千絲萬縷的聯系.課程標準更是強調數學與現實生活的聯系，教材編寫也基本以“生活情境—建立模型—解釋與應用”為主線展開.可以說，生活是發展數學抽象的基礎與載體，而聯系生活原型，提煉數學概念是最基本的數學抽象形式，這是發展數學抽象的起始點.

1.直接轉接

有些數學概念是生活現象與經驗的“直接轉接”，具有濃厚的“生活化”屬性.例如，“充要條件”是一個抽象的數學概念，它揭示了命題條件、結論之間的因果關系，同時它又是一個生活化概念，在日常生活、學習、工作中具有廣泛的應用，只不過在很多時候它處于“被人用而不被人識”的尷尬地位.比如，人們在制定招聘人員標準時，會考慮學歷、閱歷、身高、性別等條件，符合這些條件的可以參加應聘，這些條件對于“應聘者”來說是必須具備的“必要條件”，缺一不可；但在另外一些標準中，它不需要應聘者滿足所有的條件，而且還會特別注明“上述條件滿足一項即可”，如此一來，這些條件就成為了很多個相互獨立的“充分條件”.由此可見，“充要條件”的數學內涵與現實中的生活內涵是一致的.因此，對于這類數學概念的教學可以通過直接點撥的方式明確其本質屬性，再通過類比理解達成數學抽象的目的.

2.提煉共性

更多的數學概念是眾多生活現象的共性的體現與提煉，這類數學概念或多或少還保留著部分“生活的屬性”，符合生活的一般常識與規律.對于這類數學概念教學關鍵是通過分析大量的生活實例，尋找它們之間的共性，從而抽象出一般化的數學概念.例如，函數的概念教學，教材給出三個生活實例：“炮彈射高”、“臭氧空洞”、“恩格爾生活指數”，這三個實例分別展現了函數的三種形式：“解析式”、“圖像”、“列表”，提煉這三個實例的共性：三個實例變量之間存在著相互制約的某種關系，最后抽象出函數的定義——“集合說”.數學抽象的關鍵是從生活對象的眾多屬性中提煉出其本質屬性，然后加以歸納概括，這就是數學抽象的“特征分離概括化原則”.

二、數學抽象的著力點：類比拓展

數學抽象的另一種形式是通過引入新特征強化原結構來完成的抽象，其做法是在一個系統的對象之間引入某種新關系（某種映射、對應關系或運算），形成新的關系結構，并把新關系結構中某種性質作為特征加以規定，概括為一個更為普遍性質.這種抽象不需要從數學對象中抓住本質屬性，而是在已有數學對象的基礎上，通過類比的方式，拓展其新的屬性.比如，正方體的抽象是通過類比長方體的已有屬性，再添加“各邊長相等屬性”到長方體中；對數的抽象則是類比指數的定義，添加了“對數是指數的逆運算”規定.可以說，在數學概念教學中，類比添加是數學抽象的著力點，具體可以由下面兩個方面展開.

1.類比結構的相似

數學概念中存在著很多結構相似的概念.對于這類概念，首先通過提問引導的方式找到類比的“源問題”，即學生原有知識結構中的舊知識，然后類比概念結構的相似性，使學生快速準確地找到“有效的類比條件”，從而實現從舊知識拓展出新知識的過程.

案例1：弧度制概念教學.

2.類比方法的相似

數學作為一門基礎學科和工具學科，其研究方法在許多領域都有廣泛的應用.同樣地，在數學概念體系內，也時常運用研究方法上的相似性來進行類比，抽象出新知識.即先引導學生回顧已有數學概念的產生過程，探索研究的一般方法與規律，然后，按照相同的方法與步驟，抽象出新的概念.

案例2：復數概念教學.

先回顧數系擴充的途徑與規律，如圖1所示.不難發現：數系的擴充是通過“引入新數”與“新的符號”得以實現的.因此，實數的擴充也可以采用這樣的方法，于是定義“i2=-1”也就容易被學生接受.

圖1

當然，為了提高類比添加時數學抽象結論的可靠性，首先，前提盡可能多地確認兩個對象的相同屬性；其次，前提確認的相同屬性越是本質的、相同屬性與推出屬性越是關聯性強的，結論的可靠性程度就越大；再次，注意尋找與推出屬性相排斥的屬性，這樣可以有效防止不正確的結論出現.

三、數學抽象的生長點：再創造

數學抽象除了從現實中不斷提出新的概念，還不斷脫離現實，并在很大程度上通過理論的邏輯證明和新概念的建立構造而不斷得到鞏固與發展.因此，數學概念的再創造是數學抽象的另一種普遍形式，通常采用的方式是“定義概念B時用到概念A，或者證明定理B時用到定理A”，即先前已有的抽象概念成為理性創造的基礎，比如，從實數概念到虛數，再到多元數、維空間等概念，沿襲的就是上述的思路.

案例3：基本不等式的推廣［3］.

“再創造”是在原有的知識結構上快速建構起新的知識結構的過程，不僅產生了新的知識，而且在一定程度上強化了原有的知識與方法，它是數學抽象的生長點.因此，在數學抽象素養的形成過程中，教師應避免將各種規則、定律直接拋給學生，而是提供合適的載體，讓學生經歷“再創造”的過程.

數學的其他五個核心素養分別是：邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.但通過上述分析，我們不難得出這樣的結論：其他五大素養要么可以看成是“數學抽象”達成的手段，要么可以理解為“數學抽象”發展的結果.因此“數學抽象”是核心中的“核心”，是數學教學的重中之重.當然，數學抽象和其他事物的發展一樣，是在逐漸的、不顯著的量變的積累過程中，引發質的突變，因此，數學抽象素養的培養成是一個長期的系統工程.

1.呂增鋒.類比“解惑”，凸顯“自然”——再談“弧度制”教學.中小學數學［J］.2016（4）.

2.呂增鋒.基本讓你如此“精彩”.數學通訊［J］. 2016（4）.