思教材，辨概念，觀素養(yǎng)
——《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》課例研究

☉浙江省湖州二中 費 凡 沈 恒

思教材，辨概念，觀素養(yǎng)
——《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》課例研究

☉浙江省湖州二中 費 凡［1］沈 恒［2］

近期，筆者參加了一次教師專業(yè)技能交流活動，課題為人教A版《必修4》1.3《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》第一課時.本課內(nèi)容單一、形式枯燥，筆者不禁在思考：《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》這節(jié)課的內(nèi)容能讓學(xué)生除了公式的應(yīng)用之外還能學(xué)到什么？將新知的學(xué)習(xí)能否上升到更高的層面？通過本課的演繹，產(chǎn)生點滴想法，與讀者交流.

《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》這一節(jié)課的教學(xué)重點在于如何讓學(xué)生學(xué)會將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到銳角的三角函數(shù)，而讓學(xué)生自己體會這個轉(zhuǎn)化的過程則是本節(jié)課的一個難點.剛進(jìn)入高中的學(xué)生對于抽象的數(shù)學(xué)問題較難理解，所以如何讓學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮?、難以理解的數(shù)學(xué)問題，用具體、形象的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行拆解分析是本堂課的一個難點.

在思考本課設(shè)計時，筆者參考了不少相關(guān)教學(xué)設(shè)計，發(fā)現(xiàn)大部分設(shè)計對于問題情境的切入簡單而直接，起到了引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探究欲望的作用，但在形式上過于單一，或者問題過于零碎、牽強(qiáng)，對三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的數(shù)學(xué)本質(zhì)揭示得不夠貼切，故不禁思索：

（1）一個好的引入可以成功引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，本課應(yīng)該選取一個怎么樣的適當(dāng)切口，既能符合學(xué)生的認(rèn)知程度，又能很自然地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)探究的方向？

（2）學(xué)生的探究活動應(yīng)該如何進(jìn)行？

（3）數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要一定數(shù)量與難度的習(xí)題來鞏固，而在課堂上何處放置例題，放置什么樣難度的習(xí)題則是一個考驗，因為過量的練習(xí)會讓一節(jié)本該是概念式教學(xué)的課程變形成解題式教學(xué)的模式，這也是新教師經(jīng)常容易會犯的錯誤，但是如果練習(xí)的量太少，則無法起到示范引領(lǐng)的作用.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》（之后就簡稱為“課標(biāo)”）要求：借助三角函數(shù)定義或單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式［1］.根據(jù)“課標(biāo)”要求，筆者深受啟發(fā)，知識的獲得和內(nèi)化必須符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并借助學(xué)生已有的經(jīng)驗對知識進(jìn)行自主性地構(gòu)建，故類比對數(shù)教學(xué)中的換底公式的引入，“如何計算出每個對數(shù)的具體數(shù)值”，引起學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知的不足，然后提出了一個將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化到自然對數(shù)和常用對數(shù)再通過查表的方式計算對數(shù)值的想法，從而將換底公式進(jìn)行合理導(dǎo)入.基于這節(jié)課，筆者想到了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的切入口也在于轉(zhuǎn)化，那么如何將學(xué)生的思維引導(dǎo)到“轉(zhuǎn)化”三角函數(shù)值上就成為這節(jié)課一個極好的導(dǎo)入方向.因此，筆者在課堂教學(xué)過程中運用了一定教學(xué)策略，通過讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)自身現(xiàn)有三角知識體系上的不足展開探究，幫助學(xué)生打開知識的大門，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模的思想解決問題，總結(jié)結(jié)論，促使教材內(nèi)容活化，升華學(xué)生對抽象知識的掌握、理解能力，筆者設(shè)計了如下教學(xué)：

一、過程簡錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，形成沖突，激發(fā)欲望

師：在之前一周的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對三角函數(shù)有了初步的了解，相比初中所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，我們做了哪些改進(jìn)？

生：將角從0°～360°推廣到了任意角，將銳角的三角函數(shù)推廣到了任意角的三角函數(shù).

師：好！在上周的學(xué)習(xí)中，我們打破了以往銳角、直角、鈍角的角的體系，將其推廣到了任意角的范疇，并將三角函數(shù)的領(lǐng)域也拓寬到了任意角的三角函數(shù)，但是在推廣后同學(xué)們有沒有遇到什么問題？

生：對于部分銳角的三角函數(shù)值能夠熟練應(yīng)用，但是一旦推廣到了任意角的三角函數(shù)，有些數(shù)值就很難快速去判斷、解決.

師：對！部分銳角的三角函數(shù)值大家很熟悉，但是將其推廣到任意角的三角函數(shù)后，求其值就變得較難操作了，如果現(xiàn)在要解決這四個角的三角函數(shù)值，有什么辦法嗎？

生1：可以借助計算器、電腦.

生2：可以通過三角函數(shù)線，利用幾何知識求解.

師：非常好！老師學(xué)習(xí)的時候沒有電腦、計算器，靠著一本小寶典《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》，通過查表來解決.

生：“小寶典”里有0°到90°內(nèi)的所有角的三角函數(shù)值，那這本“小寶典”還是不夠用.

師：好！同學(xué)們觀察非常仔細(xì)，“小寶典”內(nèi)的角貌似不夠用.為什么“小寶典”內(nèi)只有銳角的三角函數(shù)值，是真得不夠用嗎？

生：應(yīng)該可以將任意角的三角函數(shù)都轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)！

師：很好！本課我們一起探究如何將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù).

2.生成問題，形成探究，助推生長

在課堂教學(xué)中學(xué)生對所探究問題的回答往往在不經(jīng)意中出現(xiàn)一些亮點，這正是他們深入思考后的頓悟和創(chuàng)新意識的萌芽，而教師要善于捕捉智慧的火花，形成探究生長點，然學(xué)生思維之花盡情綻放［2］.

師：先回憶上節(jié)課是如何定義任意角的三角函數(shù)的.

生：任意角的三角函數(shù)是以角為變量，角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù).

師：好！根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，研究三角函數(shù)的值從圖像上來看有什么啟發(fā)？

生1：只需要研究角的終邊就可以了.

生2：還知道角之間每相差2π的整數(shù)倍，其終邊就是相同的.

生3：終邊相同的角的三角函數(shù)值相同.

師：是的.將大家的表述小結(jié)一下，用數(shù)學(xué)的語言來

師：盡管不能一下子將這四個角的三角函數(shù)值的問題都解決，但是我們在應(yīng)用這組公式解決問題的同時是否能感受到這組公式的魅力，這組公式暗示了什么呢？

生：可以將任意角的三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為［0，2π］內(nèi)角的三角函數(shù)求值問題.

3.思考問題，尋求特征，精準(zhǔn)切入

師：好！盡管角的范圍非常的廣，但實際上“當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈時，同名的三角函數(shù)值是周而復(fù)始的，那么當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈時我們能尋找到一定的規(guī)律，那如果只旋轉(zhuǎn)半圈是不是也會有相應(yīng)的結(jié)論呢？

探究1：若角的終邊只旋轉(zhuǎn)半圈，那么旋轉(zhuǎn)前后的兩個角的三角函數(shù)有什么關(guān)系？

師：探究的關(guān)鍵在于研究角的終邊，那么結(jié)合所學(xué)知識，大家有什么好的研究方法.

生：我們可以利用三角函數(shù)線進(jìn)行探究.

師：好，結(jié)合三角函數(shù)線探究.如圖1所示，設(shè)α角的終邊OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°到OP1這個位置，則以O(shè)P1為終邊的角與角α的三角函數(shù)有何關(guān)系呢？

圖1

（給予充足時間讓同學(xué)們畫圖、討論）

生：通過圖形的對稱性發(fā)現(xiàn)兩個角的正弦線和余弦線具有相等或互為相反數(shù)的關(guān)系.

師：用數(shù)學(xué)語言如何表述？

4.適時點撥，嚴(yán)控方向，加強(qiáng)調(diào)控

問題1：這組公式的作用是什么？

生：它們可以將第三象限角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值求解.

問題2：在通過探究得到這組公式的推導(dǎo)過程中，思考成功的關(guān)鍵在于哪里？

生1：發(fā)現(xiàn)了一組全等的三角形.

生2：終邊是關(guān)于原點對稱的.

師：非常好！通過探討我們發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論的產(chǎn)生的本質(zhì)在于終邊的對稱關(guān)系，那之前探索的方向是終邊旋轉(zhuǎn)多少圈的問題，經(jīng)過這次探究的改進(jìn)，我們研究的方向就是研究終邊的一個對稱關(guān)系，那同學(xué)們想一想，對稱關(guān)系除了關(guān)于原點對稱以外，還有哪些對稱關(guān)系呢？

生：關(guān)于x軸對稱，關(guān)于y軸對稱.

師：接下來分為兩個小組，請同學(xué)們分別來探究下，終邊關(guān)于x軸對稱和關(guān)于y軸對稱分別能得到哪些結(jié)論？（分小組合作探究，詳細(xì)過程不贅述）

5.回顧過程，反思行為，揭示本質(zhì)

師：由此可以得到四組公式，通過這四組公式，我們可以將四個象限的角的三角函數(shù)都轉(zhuǎn)化成第一象限角的三角函數(shù)，這個過程可以看作一個角的誘導(dǎo)變換的過程，所以將這四個公式命名為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.回顧整個探究的過程，誘導(dǎo)公式的得到其實反映的本質(zhì)就是終邊的對稱關(guān)系，即在形的方面表現(xiàn)的是角的終邊的對稱性，在數(shù)的方面則就是今天得到的三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，這也進(jìn)一步說明了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要性，如圖2.

圖2

二、教學(xué)反思

《三角函數(shù)誘導(dǎo)公式》是本章節(jié)中具備承上啟下作用的重要內(nèi)容.它既從定義的角度研究了終邊具備一定關(guān)系的角之間的三角函數(shù)值關(guān)系，更從思想認(rèn)知的深層次上體會了轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，回顧本節(jié)課有幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

1.回顧復(fù)習(xí)，多元切入

2.合理設(shè)計，生生探究

本課重點研究了前四組誘導(dǎo)公式，其中公式的探究過程以生生探究為主實現(xiàn)，這里筆者以學(xué)案形式設(shè)計了一系列“圖形”為基本的探究，讓學(xué)生從三角函數(shù)線的角度探究、合作、交流，每一組學(xué)生代表清晰地表述了各公式的推導(dǎo)、理解過程.

3.關(guān)注本質(zhì)，巧妙記憶

《誘導(dǎo)公式》一課的常態(tài)教學(xué)往往是對公式的死記硬背，但筆者卻站在系統(tǒng)的高度優(yōu)化了這種記憶方式：其一，回顧公式與對應(yīng)圖形，從數(shù)形結(jié)合的角度體會“形”——終邊關(guān)系，“數(shù)”——誘導(dǎo)公式，將學(xué)習(xí)從知識技能層面上升到思想層面；其二，請多位學(xué)生觀察四組12個公式特征，通過思考總結(jié)出“函數(shù)名不變，符號看象限”的優(yōu)化記憶方式.

4.核心素養(yǎng)，靜待花開

2016年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（內(nèi)部）討論稿中提出了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)，對一線教學(xué)而言，在教學(xué)中如何讓核心素養(yǎng)落地成為教師關(guān)注、思考的重心.在《三角函數(shù)誘導(dǎo)公式》一課中，公式的推導(dǎo)過程正是體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)抽象”這一素養(yǎng)如何落地，一個“代數(shù)”公式用一種“幾何”手段完美詮釋；筆者對學(xué)生每一句表述的修正、每一個符號的交流恰讓“邏輯推理”素養(yǎng)嚴(yán)密落地；對例題、訓(xùn)練的實踐，并在這過程中優(yōu)化學(xué)生解決方案體現(xiàn)了程序化思想問題、形成一絲不茍的“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng).

三、過程感悟

葉圣陶先生說：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機(jī)誘導(dǎo).”因此在探究式教學(xué)過程中，教師通過創(chuàng)設(shè)情境，在教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生已有認(rèn)知之間創(chuàng)設(shè)一種“矛盾”，讓學(xué)生置身于一種探索問題的情境中，產(chǎn)生對新知識的渴望，從而引發(fā)其學(xué)習(xí)的興趣和欲望，而如何充分運用教材，從教材中獲得靈感設(shè)計問題的情境則是對一名教師的考究.筆者通過本堂課的實錄，細(xì)細(xì)回憶、反思：對于一節(jié)公開課、一節(jié)示范課，難在如何展現(xiàn)問題，難在如何讓學(xué)生主動投入其中，難在如何為學(xué)生開辟一條適合的學(xué)習(xí)之路.對于學(xué)生來說：教師要在課堂上關(guān)注學(xué)生的“經(jīng)驗”，關(guān)注學(xué)生的“問題”，關(guān)注學(xué)生的“活動”，關(guān)注學(xué)生的“再創(chuàng)造”.

相比以往，筆者認(rèn)為本堂課的突破在于：

（1）“探索式”的引入.本堂課的引入不同于一般教學(xué)中，開門見山或者生活情境式的切入，而是在引發(fā)學(xué)生認(rèn)知“矛盾”的同時給予學(xué)生探索的方向，讓學(xué)生自己在觀察、發(fā)現(xiàn)中感悟數(shù)學(xué)中“轉(zhuǎn)化”的魅力.波利亞就曾提出數(shù)學(xué)教與學(xué)的最佳動機(jī)原則，如果學(xué)習(xí)者缺乏活動的動機(jī)，就不會有所行動；相反，學(xué)習(xí)者能經(jīng)歷用已有知識無法解決的問題，就會激發(fā)其學(xué)習(xí)探究的興趣，讓其主動投身于學(xué)習(xí)中［3］.

（2）回歸數(shù)形結(jié)合的“本質(zhì)”.“課標(biāo)”指出：高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)；應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，而本節(jié)課《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》中，在逐步對問題展開探索的過程中，教師先是探索了終邊繞整圈和繞半圈的情況，發(fā)現(xiàn)了公式一和公式二，在此之后進(jìn)行歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)生成公式的本質(zhì)在于終邊的對稱性，進(jìn)而以終邊不同的對稱情況逐一進(jìn)行探索，終得到了四組誘導(dǎo)公式.回顧生成誘導(dǎo)公式的探究過程，實際上誘導(dǎo)公式就是角的終邊對稱關(guān)系的另一種表現(xiàn)形式，即在形的方面表現(xiàn)出來的是角的終邊的對稱性，而在數(shù)的方面表現(xiàn)出來的就是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.而本節(jié)課在逐步探究，解決問題的過程中就讓學(xué)生感知到了“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的美.

（3）培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言.“課標(biāo)”指出：“數(shù)學(xué)語言具有精確、簡約、形式化等特點，能否恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)學(xué)語言及自然語言進(jìn)行表達(dá)與交流也是評價的重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)的建構(gòu)過程就是用數(shù)學(xué)語言刻畫研究對象或問題的過程.”本節(jié)課就是要將終邊對稱性的自然語言用“三角函數(shù)”這一數(shù)學(xué)語言進(jìn)行刻畫，在學(xué)習(xí)如何表述的過程中一定程度上也是對學(xué)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)化和鞏固，利于形成自然、合理、流暢的教學(xué)過程，產(chǎn)生簡約有效的教學(xué)效果［4］.

在應(yīng)試教學(xué)為主導(dǎo)的今天，筆者嘗試著回歸數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，追尋如何把數(shù)學(xué)概念演繹得清晰、易懂，如何把概念的外延、內(nèi)涵滲透到學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，通過概念教學(xué)的“前世”、“今生”豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，靜待花開.

1.中華人名共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.方志平.高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)問題的探究引導(dǎo)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2016（7）.

3.王克亮.從教材中尋找創(chuàng)設(shè)問題情境的靈感［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2016（3）.

4.沈恒.采菊東籬下悠然見南山——課堂教學(xué)行走在“兩極”之間［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（5）.