巧思“辯”解回歸本質

☉江蘇省白蒲高級中學 楊雪梅

巧思“辯”解回歸本質

☉江蘇省白蒲高級中學 楊雪梅

解題教學的初衷是教會學生用知識解決數學問題，但是越來越多的試題、不加思考的訓練讓教學很少有時間思考我們的教學是否需要做到“回頭一瞥”！回顧近年來各地高考真題，我們不難發現不少優秀試題都在呈現一種信息：盡可能選拔出思維出眾，而讓通過大量做題獲得熟練度而得到高分的學生不占優勢.現階段有一種不良的教學習慣：不少教師用大量解題訓練替代思維訓練，用教輔資料提供的答案給予學生，讓機械成為學習數學的主流，讓思維漸漸鈍化.這種教學方式是要不得的.因此筆者以為回顧數學解題，教師更要教會學生巧思“辯”解，回顧本質.

一、返璞歸真，追尋本質

基本知識和基本技能的考查總是以不同的方式呈現出來，有些能一眼看出想考查的是什么，有些則看著讓人有些摸不著頭腦.我們要一層一層撥開迷霧，發現問題的本質和考查的目標.

問題1已知遞增數列｛a｝n，Sn為數列｛an｝的前n項和，S7＞7，S9＜18，則a8的取值范圍是__________.

答案：1＜a8＜5.

744數列得a8＞a4＞1.從S9＜18，可得a5＜2，但無法將它和a8的范圍直接聯系起來.”

不少初學者在等差數列里面，利用性質和公式不斷地嘗試，都不能很快地得到結果.當我們思路不清時，不如尋找該知識點最本源的一些東西，比如定義、定理等.

學生一看到這一組式子恍然大悟，原來考查的是運用線性規劃求范圍.

給出基本問題，請學生再思考：已知函數f（x）=ax2+ bx-1（a＞0）有兩個零點，其中一個零點在區間（1，2）內，則a-b的取值范圍是__________.（答案：（-1，+∞））.

二、巧思過程，呈現本質

學生做完題，總是有這樣的想法，做出來了就萬事大吉了，一般不會再回頭去看看、研究研究，總是盯著那些自己做錯的題目.而將錯題訂正對了以后，也不關心為什么原來錯了，后來訂正的方法是不是最好的呢，有沒有更好的呢？為什么這樣的方法是最適合這個問題的？學生很少有這方面的想法，所以有很多題目雖然做過了，訂正過了，但是再做時還是會錯.學生也很困惑，不得其解.教師要引導學生對題目過程的回顧，從回顧比較中得出最優的方法，更重要的是得到題目的精髓，在這樣的細致回顧和研究中才能提升學生的能力.

問題2已知函數f（x）=ax2+lnx（x＞0），g（x）=x3+（a-2e）x2+（a+e2）x（其中e為自然對數的底），試討論函數H（x）=f（x）-g（x）的零點的個數.

分析：這個題目是某綜合練習的最后一題的第二小題，大部分學生只進行了部分的計算，在令H（x）=0后得到等式：lnx-x3+2ex2-e2x-ax=0，繼而學生選擇了不同的路徑來處理這個方程解的問題.

圖1

圖2

學生丙的方法：采用變量分離，將lnx-x3+2ex2-e2xax=0整理成：a=-（x-e）2.

max

學生丁的方法：將lnx-x3+2ex2-e2x+ax=0整理成=（x-e）2+a，然后和學生乙采用兩個函數交點個數的方法得到零點的個數.令兩個函數μ（x）=和ν（x）=（x-e）2+ a.由于μ′（x）=則可以清楚地判斷出μ（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，μ（x）=μ（e）=.結合

max圖像2判斷出結果.

學生評價：同學甲的方法最難實施下去，后三位同學雖然都得到了正確的結果，但是同學丁的方法最簡潔，計算量最小.請學生思考：如果你是命題者，怎樣才能命制出我們研究的這道題目呢？

再復雜的問題也是通過簡單的基礎知識進行轉化和包裝得到的，只要將這層層包裝打開，就能看到問題的本質，其實它們也許很簡單.我們要善于挖掘出命題者的真實意圖，這樣做題才能有針對性，才能化繁為簡，從內在提升學生的解題能力.

三、“辯”解計算，思考本質

解析幾何問題側重的是運算能力的考查，但是運算能力的考查也不是一味的死算，其中也必有算理和算法！筆者發現，學生在問題解決過程中并未能找到恰當的算理算法，而是一味的死算，導致陷入計算的泥潭！下面是典型的一例：

圖3

圖4

分析：本題是一道非常優秀的解析幾何小題.但是從學生思考的角度來看，很少有學生能思考問題的本質.原因在哪里呢？我們不妨先看下標準答案提供的解答：

標準解答：設直線AF1斜率為k（k＞0），則直線AF1方程為y=k（x+），聯立橢圓x2+3y2=3，得

辨析：參看標準解答，我們不難發現，這樣的解答方式并不是我們想要的，也不可能在短短的應試中完成的.究其原因：第一，解答過程違背了解析幾何求解的第一原則——“設而不求”，求點坐標是解析幾何萬不得已的方式，是問題解決的大忌，如此煩瑣的運算和呆板的算理，筆者認為學生基本是放棄的.那么教師要引導學生思考本題考查的到底是什么呢？到底要在哪里體現解析幾何考查的本質呢？讓我們靜心回想下橢圓中這兩條線段所呈現的關系？

師：拋開這個問題，我們回想下，橢圓本身具備何種對稱性？與過焦點的直線相交，這種對稱關系還具備嗎？

生：橢圓具備中心對稱和軸對稱，過焦點的直線具備了中心對稱的性質.哦！我發現了，只要利用中心對稱的性質，如圖4，將線段BF2對稱到B1F1，問題迎刃而解！

故點A的坐標是（0，±1）.

通過本題的分析與解，我們發現本題其實考查了橢圓中最基本的一個性質——中心對稱性！可以這么說，這是橢圓第一課時就向學生介紹，所有師生都非常熟悉的一個基本性質，但是在問題掩蓋的背后，還有多少學生能想到問題所要考查的本質呢？所以筆者以為，解題不能一味參看標準解答，要多思考問題背后所呈現的教材中的基本知識和基本性質，這才是數學學習的意義所在！對教輔資料而言，筆者想說盡信其不如無書！巧思“辯”解，回顧本質，才是教學需要面向的！

1.董成勇.一類解析幾何問題的解決［J］.數學通報，2014（4）.

2.羅增儒.解題反思二則［J］.中學數學教學參考（上旬刊），2011（12）.

3.王志峰.從導數運算的一題多解中思考［J］.數學教學研究，2015（2）.