問題審視的幾個關鍵點

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 江 政

問題審視的幾個關鍵點

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 江 政

審題是解題的關鍵環節，問題的求解，都是從審題開始的.那么審題都審什么？

1.審條件

條件是題目直接給出的信息，是我們解題的依據，但這里的條件，不僅僅是直接給出的條件，還有隱含的條件，即由所給條件直接或間接得出的一些結論，都是條件，這些條件往往是我們解題的關鍵部分.

2.審結論

所求的結論是什么？結論與條件有什么關系？結論的求解有哪些方法？針對這一結論，哪一個方法才是最合適的方法？

下面以導數背景下的不等式恒成立問題為例，說明問題審視中的幾個關鍵點.

例1已知函數f（x）=lnx-a·sin（x-1），其中a∈R.

（1）如果曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率是-1，求a的值；

（2）如果f（x）在區間（0，1）上為增函數，求a的取值范圍.

一、通過審題明確問題的本質

導數是研究函數單調性的有力工具，利用導函數的正負可判斷函數的增減.本題第（2）中條件所給的是“f（x）在區間（0，1）上為增函數”，即“f′（x）≥0在區間（0，1）上恒成立”，則問題轉化為不等式恒成立問題.而不等式恒成立問題的求解，通常轉化為函數最值問題處理，即構造目標函數，求函數最值.本題已知函數關系式中含有三角式，則問題求解中要注意三角函數有界性的應用.

解析：（1）略.

（2）因為f（x）在區間（0，1）上為增函數，

所以對于任意x∈（0，1），

令g（x）=x·cos（x-1），

所以g′（x）=cos（x-1）-x·sin（x-1）.

因為x∈（0，1）時，sin（x-1）＜0，所以x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）在區間（0，1）上單調遞增，

所以0＜g（x）＜g（1）=1.所以a≤1.

故a的取值范圍是（-∞，1］.

評析：本題的求解中借助了“二次求導”，即提取函數解析式的一部分，再進行求導、求最值.

二、通過審題理解知識的發散性

上例的解答中對不等式恒成立問題的處理，關鍵環節是構造函數，對于較基礎的問題可通過移項、合并，直接構造.本題采用的是先分離參數，再構造函數，其中分離參數是問題求解的關鍵.但針對不同的問題，構造函數的方式往往不同，如：

例2設函數（fx）=xlnx.

（1）求證：（fx）≥x-1；

（2）若（fx）≥ax2+（a≠0）在區間（0，+∞）上恒成立，求a的最小值.

解析：（1）證明：要證f（x）≥x-1，只需證明g（x）= xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g（′x）=lnx+1-1=lnx.

當x∈（0，1）時，g（′x）＜0，g（x）在（0，1）上單調遞減；

當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調遞增.

故當x=1時，g（x）min=g（1）=1·ln1-1+1=0，

g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立.

所以（fx）≥x-1.

（2）不等式xlnx≥ax2+在區間在（0，+∞）恒成立，等價于lnx≥ax+在（0，+∞）恒成立，等價于h（x）=lnxax-≥0在（0，+∞）恒成立.

所以-e3≤a＜0，得到a的最小值為-e3.

評析：對于本題，要使xlnx≥ax2+在區間（0，+∞）上恒成立，無法分離出參數，若通過移項、合并，直接構造函數g（x）=xlnx-ax2+，求導得g（′x）=lnx+1-2ax，導函數的零點無法求出，不易判斷函數的單調性.事實上以ex，lnx為背景的導數綜合題是一類常見題型.如含有lnx的函數，若為分式結構，不論lnx在分子還是在分母的位置，導函數中依然含有lnx，這樣為導函數零點的求解帶來困擾.所以含有lnx的式子在等價變形時，要注意盡量將lnx分離出來，使lnx獨立成一項，這樣求得的導函數中不含lnx.相反，對于含有ex的函數，考慮導數乘法、除法的求導法則以及（e）x′=ex，在等價變形時，要注意綜合ex，使其他項與ex相乘或相除的運算作為一項.這樣求導后，可以提取公因式ex，它的符號恒正，再對余下多項式函數進行討論即可.

例3設函數（fx）=aex-x-1，a∈R.

解析：（1）因為ex＞0，所以（fx）=aex-x-1＞0恒成立，等價于a＞恒成立.

當x∈［0，+∞）時，g′（x）≤0，

所以g（x）在［0，+∞）上單調遞減，

所以x∈（0，+∞）時，g（x）＜g（0）=1.

設h（x）=ex-xe-1，x∈［0，+∞）.

三、通過審題關注思想的深刻性

導數背景下不等式恒成立問題的求解，關鍵是構造函數，但構造函數的方式，根據不同的題型，構造的方法可能是多種多樣.如例1采用的方法是分離參數后構造函數，例2采用的方法是分離lnx后構造函數，例3采用的方法是由對數不等式中提取出函數的方法.因此構造時，不要拘泥于某一類型，要具體問題具體分析.如：遇到形如不等式ex≥f（x）恒成立的類型，學生往往會采用作差比較法構造函數，即ex-f（x）≥0的形式，然后構造函數φ（x）=ex-f（x），再通過分情況討論，來逐步解決.但這種做法往往需進行較復雜的討論.

在學習不等式時，我們都知道：在證明不等式A＞B時，如果B＞0，可以考慮作商比較轉化為證明＞1成立.因此在研究不等式ex≥（fx）時，由于ex＞0恒成立，同樣也可以考慮作商比較把ex≥（fx）變形為≤1，然后構造函數φ（x）=，接下來只需保證函數φ（x）的最大值小于或等于1即可.

總之，在解題過程中要準確審視、合理利用條件，明確問題的求解類型，把握條件與結論之間的關系，正確選用合理的方法，實現問題的快速解答.