例析動態立體幾何問題的處理策略

☉江蘇省海安縣立發中學 季小冬

例析動態立體幾何問題的處理策略

☉江蘇省海安縣立發中學 季小冬

動態立體幾何中的最值問題，是學生學習的難點，也是高考命題及模擬考試命題的熱點.最值問題的求解，通常有兩種類型：

1.構造目標函數，將問題轉化為函數最值問題，再利用配方法、均值不等式、三角換元、導數方法等求解.

2.通過準確認識題目所給圖形中點、線、面的位置關系，明確取得最值的條件，利用轉化與化歸思想結合平面幾何圖形的相關性質求最值.

本文針對第2種類型舉例說明.

題目（2016年北京高三期末理）在空間直角坐標系O-xyz中，正四面體P-ABC的頂點A，B分別在x軸，y軸上移動.若該正四面體的棱長是2，則點O，P之間距離的取值范圍是（）.

本題以特殊幾何體——正四面體為背景，雖然只是一道選擇題，但綜合程度較高，能有效考查考生靈活運用所學知識解決問題的能力.此類問題因其動態、可變性，有助于學生空間想象能力及綜合能力的培養.解題訓練中要多方著力、合理轉化、準確構造，找到最值取得的條件.

下面通過對此題的解答，探索解決動態立體幾何的基本策略.

一、準確認識圖形關系

正四面體是最基本的立體幾何圖形之一，若在平面中直觀作出正四面體的圖形，其幾何性質不易體現出來.因此我們常借助于正方體，即把正四面體還原到正方體中，如圖1.

圖1

借助于圖1我們可清楚地認別題目中的幾何圖形的本質.

除此之外，在平行、垂直關系判定問題中，準確構造特殊的幾何體，可快速解題，如：

變式1已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是（）.

A.l∥β，l?α?α∥β

B.l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β

C.l∥m，l?α，m?β?α∥β

D.l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m=M?α∥β

解析：如圖2所示，構造長方體ABCD-A1B1C1D1，在該長方體中AB∥CD，則AB∥平面DCC1D1，AB?平面ABCD，但是平面ABCD與平面DCC1D1不平行，所以選項A錯誤.

圖2

取BB1的中點E，CC1的中點F，則可證EF∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD.EF?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，但是平面ABCD與平面BCC1B1不平行，所以選項B錯誤.

由長方體的性質可證得AD∥B1C1，AD?平面ABCD，B1C1?平面BCC1B1，又平面ABCD與平面BCC1B1不平行，所以選項C錯誤.

很明顯，選項D表述的是面面平行的判定定理，所以D正確.

故正確選項為D.

二、由特殊入手，空間化平面

將A、B置于正方體的兩個頂點處，即先將點A、B固定，建立空間直角坐標系，隨著點P的移動，|OP|隨之變化.

空間問題平面化，是處理立體幾何問題常用策略.由前面分析可知，點P的運動過程，即等邊三角形PAB的變動，當點P運動到平面OAB內時，有如圖3、4兩種情況.

如圖3所示，因為OA=OB，且三角形PAB為等邊三角形，故OP垂直平分AB.設OP交AB于點M，易求得OM=1，PM=，所以|OP|=1+

圖3

圖4

由圖4所示，因為OA=OB，且三角形PAB為等邊三角形，連接PO并延長，交AB于點M，易知PM垂直平分AB，又PM=，OM=1，所以|OP|=-1.

圖5

圖6

在△PAB中，由余弦定理可得

PB2=PA2+AB2-2PA·ABcos∠PAB

三、探究一般情況，比較見真知

通過以上的探究，其實我們已經得出了正確選項，那么接下來的問題是-1與+1是否就是最小值和最大值呢？

接下來我們再對一般情況進行探究，即當頂點A，B分別在x，y軸上移動時，O、P兩點間距離的變化情況.

當點A，B在x，y軸上移動時，

（1）如圖7所示，由三角形性質：兩邊之和大于第三邊可知，|OP|≤+1；

（2）如圖8所示，由三角形性質：兩邊之差小于第三邊可知，|OP|≥-1.

圖7

圖8

綜上，正確選項為A.

變式3如圖9，空間直角坐標系O-xyz中，正三角形ABC的頂點A，B分別在平面xOy和z軸上移動.若AB=2，則點C到原點O的最遠距離為（）.

圖9

圖10

解析：如圖10，連接OA，取AB的中點E，連接OE，CE.因為Rt△AOB中，斜邊AB=2，所以OE=1AB=1.又因為2正三角形ABC的邊長為2，所以CE=AB=

觀察圖形知，當A，B分別在面xOy和z軸上移動時，可得當O、E、C三點共線時，C到原點O的距離最遠，且最遠距離等于+1.

故正確選項為C.

數學因運動、變化而精彩紛呈.動態問題的引入使立體幾何的命題更加豐富多彩，以動態幾何問題為基架而精心設計的考題題目靈活多變，動中有靜、動靜結合，能夠在運動變化中發展學生空間想象能力和綜合分析能力.