一道高考題的解法引發(fā)的教學(xué)思考

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 成倩文

一道高考題的解法引發(fā)的教學(xué)思考

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 成倩文

平面向量是高中數(shù)學(xué)課本中的一個(gè)重要內(nèi)容，與諸多內(nèi)容廣泛聯(lián)系，錯(cuò)綜復(fù)雜.向量兼?zhèn)浯鷶?shù)與幾何雙重形式，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，其中最精彩的當(dāng)屬“向量的數(shù)量積”，這也是歷年高考中的必考內(nèi)容.本文就以2016年高考江蘇卷第13題為例，談?wù)劰P者對(duì)此題的分析以及一些常見解法和特殊解法，再借助新穎特例強(qiáng)化向量的數(shù)量積的基本方法，最后再回歸到平時(shí)的課堂教學(xué)過程中，進(jìn)一步完善教學(xué)方法.

一、分析高考題，賞析多種解法

圖1

對(duì)于向量的數(shù)量積問題，一要掌握數(shù)量積的定義及數(shù)量積的公式，二要理解數(shù)量積的幾何意義，三要熟練數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，四要會(huì)借助一組基底靈活“拆”、“分”一個(gè)向量.而本題沒有（或不易求出）所求向量的長(zhǎng)度，所以只能利用向量坐標(biāo)法和基底法解決問題了.具體方法如下：

評(píng)注：同樣是基底法，方法一比較常見，選擇一組基底表示向量，則整個(gè)問題相當(dāng)于轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)未知數(shù)（基底），較為簡(jiǎn)便地解決了問題.方法二則比較新穎，更換基底并用新的基底表示，再把向量都化為這組基底，體現(xiàn)了逆用思想.

方法四：建系之特殊化（△ABC視為等腰三角形）.

由題意知，點(diǎn)B，C關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，故可令A(yù)B=AC，即△ABC為等腰三角形，以BC邊所在直線為x軸，BC邊的中垂線所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C（a，0），B（-a，0），A（0，b），則=（a，b）·（-a，b）=b2-a2=4.

評(píng)注：同樣是建系，這種方法卻很優(yōu)越.對(duì)于填空題而言，特殊化是最簡(jiǎn)潔、最快捷、最有效的方法，同時(shí)也是學(xué)生最喜歡、最樂于接受的一種“懶惰”方法.

方法五：中間結(jié)論法（極化恒等式）.評(píng)注：此方法利用向量的極化恒等式：a·b=（a+

b）2-（a-b）2］，它來源于蘇教版必修4課本P81習(xí)題2.4第5題的變式，幾何意義是向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和的對(duì)角線”與“差的對(duì)角線”的差的，在三角形中，它可以用三角形的中線表示：a·b=它揭示了三角形的中線與邊長(zhǎng)的關(guān)系.很多這方面的試題用此法解決更快捷，更準(zhǔn)確！

二、結(jié)合新題型，加強(qiáng)基本方法

圖2

此題也是向量的數(shù)量積問題，同樣不能利用數(shù)量積的定義和幾何意義解題，只能利用基本方法：坐標(biāo)法和基底法.不過本題坐標(biāo)法對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)就一時(shí)難以想到，相對(duì)于能力稍強(qiáng)些的同學(xué)更容易聯(lián)想到，也更容易操作一些，而基底法則更難以想到，對(duì)靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力要求高一些.

方法一（坐標(biāo)法）：以A為原點(diǎn)，過點(diǎn)A且與直線m，n平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（a，-1），C（b，-3），所以=（a+b，-4），

以上兩題均主要考查了向量數(shù)量積的基本方法：坐標(biāo)法和基底法.也有一些題會(huì)考查平面向量的數(shù)量積的定義和幾何意義，但作為高考題，向量題如果放在第10題之前，則可能偏向于考查向量的基本定義、向量基本坐標(biāo)運(yùn)算和模的運(yùn)算，比如2015年江蘇卷則將向量放置在第6題，就只考查了向量坐標(biāo)之間的運(yùn)算；若向量題放置在第10題之后，相比來說更需要學(xué)生能夠靈活分析，將向量間的知識(shí)綜合運(yùn)用起來.

三、研究新課程，優(yōu)化課堂教學(xué)

鑒于此，在以后平面向量知識(shí)的教學(xué)方面，教師除了要將向量基本定義和運(yùn)算讓學(xué)生熟練化，更需要引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生尋找題中的關(guān)鍵詞，構(gòu)建向量模型，利用基底法和坐標(biāo)法來解決問題.在復(fù)習(xí)階段，教師在加強(qiáng)向量基本知識(shí)訓(xùn)練的同時(shí)，更要突出向量與其他知識(shí)交匯處的復(fù)習(xí)，從而使學(xué)生面對(duì)新穎靈活題型時(shí)，“臨危不亂”，能夠迅速分析問題，正確解決問題.為此，加強(qiáng)有效課堂教學(xué)勢(shì)在必行，可從以下三個(gè)環(huán)節(jié)入手：

1.聯(lián)系實(shí)際生活，創(chuàng)設(shè)問題情境，激活學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣

向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)新生內(nèi)容，學(xué)生比較生疏，難以理解.所以在向量這個(gè)課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，多費(fèi)心思，創(chuàng)設(shè)問題情境激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)；充分準(zhǔn)備，提升學(xué)生自主參與課堂探究問題的意識(shí).

2.小組討論學(xué)習(xí)，培養(yǎng)合作精神，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用

向量題型靈活，必須及時(shí)掌握、鞏固與練習(xí)，它們是下一步學(xué)習(xí)順利開展的基礎(chǔ).教師提出問題，小組展開討論，先由各位組長(zhǎng)根據(jù)題目講解思路，其余三人進(jìn)行回答或補(bǔ)充.這樣一方面有利于發(fā)展學(xué)生交流、表達(dá)和思辨能力；另一方面有利于營(yíng)造寬松、民主、和諧的教學(xué)氛圍，促使學(xué)生互相學(xué)習(xí)、互相幫助，體驗(yàn)集體榮譽(yù)感和成就感，發(fā)展合作精神.讓學(xué)生積極參與課堂，自主理解和掌握新授知識(shí)，能舉一反三.

3.例題立于基礎(chǔ)，由易到難，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性

備好課才能上好課，老師在選取知識(shí)應(yīng)用方面的例題時(shí)，先以教材中提供的例題為基礎(chǔ)，然后再根據(jù)課標(biāo)的要求以及新知識(shí)的推廣，進(jìn)行適當(dāng)變式，由易到難的變化引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維的培養(yǎng)，盡可能地出現(xiàn)一題多解，并引導(dǎo)學(xué)生分析各種方法之間的優(yōu)劣，提高學(xué)生解題能力的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行精煉和簡(jiǎn)化，提高解題效率，培養(yǎng)其創(chuàng)造性思維.

總之，教師一定要抓住新課程下的三維目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化教學(xué)，組織和設(shè)計(jì)合理的課堂導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過深入淺出的問題鏈，激發(fā)學(xué)生的求知欲，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程的重要性；豐富討論形式，增強(qiáng)生生互動(dòng)，創(chuàng)設(shè)好的學(xué)習(xí)氛圍；積極備好課，選好例題，以少勝多，重在學(xué)生的主體參與和師生互動(dòng).