基于課堂教學(xué)改革下活動(dòng)單的教學(xué)
——“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”教學(xué)案例

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 潘丹丹

基于課堂教學(xué)改革下活動(dòng)單的教學(xué)
——“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”教學(xué)案例

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 潘丹丹

函數(shù)是高中的核心內(nèi)容，學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們分別研究了函數(shù)的三要素、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的圖像、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等內(nèi)容，并且從數(shù)與形兩個(gè)方面進(jìn)行了研究.通過(guò)在高二的新知學(xué)習(xí)，我們充分利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題，這就是本節(jié)課我們所研究的內(nèi)容——導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用.

首先看基礎(chǔ)自測(cè)：

活動(dòng)一、基礎(chǔ)自測(cè)

2.函數(shù)y=x+2sinx在區(qū)間［0，π］內(nèi)的極大值是___________，最小值是___________.

3.設(shè)（fx）=4x3+mx2+（m-3）x+n（m，n∈R）是R上的單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________.

4.已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是___________.

5.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（-1）=2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為_(kāi)__________.

處理方式：以小組為單位，多屏展示答案，學(xué)生思考知識(shí)點(diǎn)及方法.上課后投影，學(xué)生回答簡(jiǎn)要過(guò)程、方法及知識(shí)依據(jù).

通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)回答，教師與學(xué)生共同梳理知識(shí)點(diǎn).

要點(diǎn)梳理：（板書(shū)）

導(dǎo)數(shù)：

1.函數(shù)的單調(diào)性

f′（x）＞0?f（x）單調(diào)遞增；

f′（x）＜0?f（x）單調(diào)遞減.

f（x）在區(qū)間A上單調(diào)遞增?f′（x）≥0在區(qū)間A上恒成立；

f（x）在區(qū)間A上單調(diào)遞減?f′（x）≤0在區(qū)間A上恒成立.

2.函數(shù)的極值和最值

求導(dǎo)，令f′（x）=0，列表.

3.函數(shù)的零點(diǎn)，不等式恒成立問(wèn)題

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

通過(guò)課堂的教學(xué)，學(xué)生能在基礎(chǔ)自測(cè)中提出自己的想法，例如第4題，學(xué)生講解時(shí)提出了直接研究和參變分離的想法，學(xué)生在第5題提出構(gòu)造新函數(shù)g（x）=f（x）-2x在R上單調(diào)遞增時(shí)，立刻有學(xué)生補(bǔ)充提出可以特殊化處理，例如構(gòu)造函數(shù)f（x）=3x+5，充分展現(xiàn)了學(xué)生思維的發(fā)散性.

設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)層次出發(fā)，通過(guò)基礎(chǔ)自測(cè)讓學(xué)生在知識(shí)層面上認(rèn)識(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值、最值，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，不等式恒成立問(wèn)題，而這些問(wèn)題都以函數(shù)單調(diào)性的研究為中心，進(jìn)而提出如何利用導(dǎo)數(shù)把握函數(shù)的單調(diào)性呢？并引入活動(dòng)二.

活動(dòng)二、典型例題

處理方式：學(xué)生投影并簡(jiǎn)述過(guò)程及方法.（學(xué)生提出補(bǔ)充，質(zhì)疑，讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)提煉）

生1：解：定義域?yàn)椋?，+∞），

（1）當(dāng)a-4≤0，即-2≤a≤2時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）當(dāng)a2-4＞0，即a＞2或a＜-2.

①若a＜-2時(shí)，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.

則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x1）和（x2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x1，x2）.

綜上可知，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x1）和（x2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x1，x2）.

（學(xué)生自我總結(jié)）

總結(jié)：本題在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，方式是通過(guò)求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)f′（x）的符號(hào)，其本質(zhì)是判斷二次函數(shù)在（0， +∞）上的符號(hào)，首先考慮它的根“定”與“不定”，“定”指的是能因式分解，“不定”則依據(jù)判別式進(jìn)行討論，分Δ≤0和Δ＞0兩種情況研究，然后抓住二次函數(shù)的圖像利用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究根是否在定義域內(nèi).

同時(shí)在黑板上畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)的圖像，并讓學(xué)生提出質(zhì)疑與想法：

當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x1）和（x2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x1，x2）.

在利用導(dǎo)函數(shù)圖像判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)后，提出思考：

思考1：如果定義域變?yōu)椋?，+∞），結(jié)合圖像如何認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性呢？

學(xué)生遇到的困惑就是如何解決導(dǎo)函數(shù)的根與（1，+∞）的關(guān)系，結(jié)合圖像，發(fā)現(xiàn)f′（1）=2-a.當(dāng)a＞2時(shí)，f′（1）=2-a＜0，所以x1＜1＜x2，從而得出結(jié)論：

當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（x2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，x2）.

剛才求導(dǎo)后通過(guò)抓基本初等函數(shù)的圖像來(lái)加以判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，還有其他的形式嗎？

在此題的基礎(chǔ)上看變式1.

h′（x）＞0，得x＞1；h′（x）＜0，得0＜x＜1，所以h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），所以h（x）在x=1取得極小值，也是最小值.h（x）min=h（1）=3＞0，則g′（x）＞0.

所以g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.

總結(jié)：通過(guò)對(duì)剛才的問(wèn)題分析，我們可以體會(huì)到在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)常常研究的方式有：

（1）在基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上抓其圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)而研究；

（2）非基本初等函數(shù)下通過(guò)兩次求導(dǎo)進(jìn)一步研究函數(shù).

給學(xué)生1分鐘時(shí)間自主梳理，提出思考2.

思考2：在基本初等函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性，那你能畫(huà)出原函數(shù)的大致圖像嗎？（學(xué)生上黑板）

學(xué)生畫(huà)圖時(shí)遇到的問(wèn)題是：當(dāng)a＞2時(shí)，圖像與x軸的交點(diǎn)，通過(guò)學(xué)生的思考與認(rèn)知，學(xué)生能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)（f1）=-a＜0，而（fx）在（1，x2）上單調(diào)遞減，所以（fx2）＜0，進(jìn)而得到原函數(shù)的大致圖像，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)到畫(huà)圖像時(shí)的注意點(diǎn)是對(duì)大致走勢(shì)、漸近線、特殊點(diǎn)的把握.

在此基礎(chǔ)上看變式2.

處理方式：在變式1的基礎(chǔ)上充分利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖像研究，學(xué)生將其解題思路展示在黑板上.而學(xué)生解決時(shí)遇到的困難有分類(lèi)討論的層次以及在計(jì)算上存在問(wèn)題，充分利用函數(shù)的圖像加以分類(lèi)討論進(jìn)而得到解決.過(guò)程如下：

解：當(dāng)a≤2時(shí)，（fx）在［1，2］上單調(diào)遞增，

minmax

當(dāng)a＞2時(shí)，

minmaxln2+2-2a；

min0max2a.

在此基礎(chǔ)上，請(qǐng)進(jìn)一步探究：

通過(guò)對(duì)上述變式的研究，結(jié)合函數(shù)的圖像可知，

本題除了這種方法之外，還可以從參變分離的角度研究：

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)二從思維層次出發(fā)，利用例題研究函數(shù)的單調(diào)性，解決如何利用導(dǎo)數(shù)把握函數(shù)的單調(diào)性，從局部和整體角度，充分利用了基本初等函數(shù)的圖像.在此基礎(chǔ)上，并通過(guò)對(duì)定義域的改變和變式1再次體會(huì)如何利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而總結(jié)出從基本初等函數(shù)的圖像和兩次求導(dǎo)兩種方式進(jìn)行研究函數(shù)的單調(diào)性.在單調(diào)性的基礎(chǔ)上提出思考2，讓學(xué)生畫(huà)出原函數(shù)的大致圖像，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步引出變式2和變式3，體現(xiàn)出思維層次的遞進(jìn)性.

本節(jié)課利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，圍繞函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值借此研究了方程有解問(wèn)題，實(shí)際上圍繞函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值還可以研究不等式的恒成立問(wèn)題或證明不等式問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題我們留著后面再研究.