數學解題教學應落實問題的本質

☉湖北省黃石市第六中學 李 娟

數學解題教學應落實問題的本質

☉湖北省黃石市第六中學 李 娟

解題是高中數學學習中的一項重要內容，高考也通過解題來考查學生的綜合能力及核心素養，進而選拔優質生源.解題教學是我們每位數學教師都面臨的一項重要課題.解題教學是否到位，會直接影響到學生知識與經驗的積累、思維能力的提升、解題能力的培養等等.那么應如何進行課堂解題教學？怎么才能實現解題教學效果最大化？筆者認為，抓住問題本質的教學是最有效的解題教學方式.下面以引例及其變式予以說明.

引例如圖1所示，在棱長均為2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，點M是側棱AA1的中點，點P，Q分別是側面BCC1B1和底面ABC內的動點，且A1P平行于平面BCM，PQ垂直于平面BCM，則點Q的軌跡長度為_________.

圖1

此類動態立體幾何問題活躍在近年各省市的高考試題中，“動態”的點、線、面元素，給靜態的立體幾何問題賦予了新的活力，題意更加新穎，也使得問題的形式更加靈活，有效地考查了學生的空間想象能力.那么此類動態問題的命題視角在哪里？在問題的解答中我們應采取什么樣的策略？

“動中尋定”是處理動態幾何問題的重要策略，這也是命題人的初衷.點P為平面BCC1B1內的動點，且A1P平行于平面BCM，所以A1P在與平面BCM平行的平面內，因此構造平面A1EF與平面BCM平行（如圖2所示）.由題意易知，E，F分別為棱BB1與CC1的中點.從而先確定點P在線段EF上.

接下來的問題是如何確定點Q的軌跡.先尋找特殊位置，取BC的中點N，連接MN，當PQ與MN相交時，設交點為T，此時點Q落在AN上，只要確定點Q在AN上的位置，即可確定點Q的軌跡.

從幾何體中移出四邊形A1ANP，如圖3所示.

一、思路、方法要符合命題者的意圖

圖2

圖3

在△ABC中，過點Q作BC的平行線RS，分別交AB，AC于點R，S，即RS即為點Q的軌跡.由△ARS∽△ABC，得RS=

評析：尋找動點的特殊位置、空間問題平行化，進而利用平面幾何知識求解，是處理本題的重要策略.

二、問題探究的過程中要形成解題經驗

正確的解題方法與思路能夠讓學生形成解題經驗，進而提升學生的解題能力、培養數學核心素養.

變式1如圖4所示，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點E和F分別是棱BC與CC1的中點，點P是側面BCC1B1內的一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是（）.

圖4

解析：如圖5所示，取B1C1的中點M，取BB1的中點N，連接A1M，A1N，MN，由正方體的性質可得MN∥EF，A1M∥AE，所以平面A1MN∥平面AEF，即點P位于線段MN上.

圖5

在△A1MN中，有

所以當點P位于M，N時，A1P最大.

故正確選項為B.

評析：點P是側面BCC1B1內的一動點點，但A1P∥平面AEF，所以A1P在與平面AEF平行的平面內，因此準確構造出平面A1MN是問題順利求解的關鍵.

變式2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P1，P2分別為線段AB，BD1（不包括端點）上的動點，且線段P1P2∥平面A1ADD1，則四面體P1P2AB1的體積的最大值是（）.

解析：如圖6所示，過點P2作P2O⊥底面于O，所以OP2∥DD1，且點O在線段BD上，連接OP1.

因為P1P2∥平面A1ADD1，所以平面P1P2O∥平面A1ADD1，

所以OP1∥平面A1ADD1，OP1∥AD.

又因為P1P2?平面ABD1，所以P1P2∥AD1，

所以P1P2⊥AB.

在Rt△ABD1中（如圖7所示），易知AB=1，AD1=，BD1=，所以tanB=.設BP1=x，則P1P2=x，AP1= 1-x，所以S=·x（1-x）.

△AP1P2

圖6

圖7

故正確選項為A.

評析：因為動線P1P2平行于平面A1ADD1，則P1P2在與平面A1ADD1平行的一面內，因此找到這個平面，使問題順利求解.

通過上述深入本質的解題教學，學生很自然地將所學到的解題方法遷移到同種類型的問題中，從這個角度來講，深入本質的解題教學至關重要.

三、解題后的反思要形成解答一類問題的通法

正確的解題方法，不僅能夠解決該題，還能夠將其遷移，解決同類型的試題，進而形成解決一類問題的一種通法.

（1）尋找不變量——以不變應萬變.若動線與已知面平行，則動線在與已知平面平行的定面內.另外若定線與動線垂直，則動線在與定線垂直的定面內，找到這些定面即可使問題順利求解.

（2）尋找直線段——化曲為直求最值.在處理與折線段有關的最值問題時，“化曲為直”是行之有效的策略.

（3）尋找特殊位置——化一般為特殊.幾何體中的某種關系，若在一般情況下成立，則特殊情況中一定成立，因此可從特殊情況入手尋找問題的求解思路.

（4）尋找平面圖形——空間問題平面化.空間幾何體都是由平面圖形構成的，在處理某些問題時，熟悉平面幾何的相關性質，方可準確找到問題的切入點.

只要抓住上述幾個要點，即可找迅速找到解答動態立體幾何問題的求解思路.

滿足了上述幾點，對試題的講解才能揭示問題的本質，使學生形成系統的方法，進而有效提升其分析問題與解決問題的能力，實現會一題而通一類.否則，只能是就題論題，停留在試題的表面，無法實現學生解題能力的有效提升.