激活學生思維的幾點感悟
——以“導數”情境教學為例

☉山東省鄒城市實驗中學 李現勇

激活學生思維的幾點感悟
——以“導數”情境教學為例

☉山東省鄒城市實驗中學 李現勇

情境教學是指教師根據教學目的需要，從教學內容出發創設問題情境，通過體驗情景、思考、質疑，學生自覺地發現問題、提出問題；在合作討論、感知努力和教師適時誘導、鼓勵下，解決問題；在課堂練習應用的基礎上，實現對所學知識的鞏固與提升.本文以導數教學中的情境創設為例加以說明.

一、情境導入，引起“認知沖突”

情境1對于基本初等函數的單調性，我們都非常熟悉，如指數函數或對數函數，當底數大于1時，在定義域內單調遞增；在底數小于1時，單調遞減.那么對于一個初等函數，如（fx）=x3-2x2-5x+1，我們如何來判斷它的單調性？

一次函數（fx）=kx+b是我們非常熟悉的函數，其單調性可由k為確定：當k＞0時，函數單調遞增；當k＜0時，函數單調遞減.

在這里斜率k起到了關鍵的作用.那么對于其他的函數，我們能否找到一條與函數單調性有關的直線，利用其斜率判斷該函數的單調性呢？

在這里學生自然想到了曲線的切線，如圖1和圖2所示.

圖1

圖2

由圖1和圖2我們不難發現：若一個函數為增函數，則在該函數圖像上任一點的切線的斜率均大于0；若一個函數為減函數，則在該函數圖像上任一點的切線斜率均小于0.

那么反向思考，欲判斷一個函數在某一區間內的單調性，若在該區間內任取一點（x0，f（x0）），如果我們能夠判斷在該點的切線斜率的正、負，是不是就可以判斷此函數的單調性了？

二、探索新知，啟發“感悟發現”

直線AB與函數圖像有兩個交點，相對于切線來說，我們不妨稱之為割線，那么接下來我們看看切線與割線有什么關系？

如圖3，設切線與割線有一個公共點B，什么情況下割線就會變成切線呢？不難發現：當點A向點B靠近，即x1無限接近x2時，兩直線重合.

圖3

從而引出教材中的導數定義：

設函數y=f（x）在x0及其附近有定義，當自變量在x=x0附近改變量為Δx時，函數值也相應地改變，即Δy=f（x0+ Δx）-f（x0）.

函數f（x）在點x0的瞬時變化率，通常稱為f（x）在點x0處的導數，記作f′（x0），即f′（x0）

情景3我們要想利用切線的斜率來判斷一個函數的單調性，只求函數圖像在某一點處的切線斜率能實現嗎？

例1求拋物線f（x）=x2在x=1處的導數f′（1）.

例2已知f（x）=x2，求f′（x）.

例3求函數f（x）=x2的單調區間.

解析：由例2知，f′（x）=2x.

當x＞0時，f′（x）＞0；當x＜0時，f′（x）＜0.

所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間為（-∞，0）.

三、應用拓展，鼓勵“質疑問難”

教材例題節選：

例4求拋物線y=x2在點（1，1）處的切線斜率.

解析：由例1可知，拋物線在點（1，1）處的切線斜率是2.

情景4如果已知條件所給的點（a，b）不在函數曲線f（x）上呢？即求曲線過某一點的切線，如何處理？生：設切點坐標為（x0，f（x0）），可求得切線的斜為k=f′（x0）.①

又因為切點也在切線上，可得

聯立式①②，即可求出切點坐標，從而求出切線斜率及方程.

由例3可知，拋物線在點（x0）處的切線斜率為2x0.

故切點為（2，4），（3，9），

所以切線方程為y=4x-4，y=6x-9.

四、規律發現，培養“自我反思”

某些基本初等函數的導數公式，在高中范圍內是無法利用導數的定義求出，因此可利用歸納推理的辦法，由學生自行得出，從而使新知識的引入更順暢、自然.

例6已知函數f（x）=x3，求f′（x）.

由例2得（x2）′=2x，思考一下，有何規律？能否得到（xn）′=？

不難得出冪函數的求導公式，即（xn）′=nxn-1.

由此引出其他基本初等函數的求導公式及運算法則（略）.

解析：求導得f′（x）=x2-4x-5=（x+1）（x-5）.

令f′（x）=0，得x=-1，x=5.所以，

當x＜-1或x＞5時，f′（x）＞0，所以f（x）單調遞增；

當-1＜x＜5時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減.

所以函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（5，+∞）；單調遞減區間為（-1，5）.

綜上，對于一個新知識點的學習，如何讓學生接受起來更自然？毫無疑問，從學生熟悉的知識入手是行之有效的策略.因此在新知識的學習之初，教師要善于從學生熟悉的角度創設情境，在問題情境中，引發學生獨立探究、發現問題、提出問題，通過學生的合作討論、教師的適時誘導，學生自主建構知識，形成師生和諧互動的教學氛圍，使學生輕松、主動的學習，使不同能力的學生獲得成功的體驗，接受和諧文化環境陶冶，感受人文關懷，不斷提升自主學習能力和創新意識，使學生順利實現新、舊知識的過渡.本文以導數教學為例，從問題情境設置的角度入手，層層遞進，展開新知識點的教學.