變溫度場中剛柔耦合功能梯度梁系統的動力學特性研究

黎亮　章定國　郭永彬

摘要：基于剛柔耦合動力學和熱力學建模理論，研究變溫度場環境下的旋轉柔性功能梯度梁系統的動力學問題。功能梯度梁由陶瓷和金屬兩種材料組成，假設梁的典型物性參數為梁厚度方向坐標的冪函數。設計兩種材料梯度分布規律，考慮功能梯度梁上任意位置附著集中質量，在梁縱向位移中計及由于橫向變形而引起的縱向縮短項，即非線性耦合變形量。考慮溫度梯度變化對系統動力學特性的影響，求解得到功能梯度梁沿厚度方向分布的溫度場，在功能梯度梁本構關系式中計及熱應變。采用假設模態法描述變形，運用第二類Lagrange方程推導得到系統的剛柔耦合動力學方程。仿真結果表明，集中質量位置和材料梯度分布規律的選取都將對系統動力學特性產生重大影響，第二種梯度分布規律下的功能梯度梁抗熱載荷沖擊性能優于第一種梯度分布規律下的功能梯度梁。

關鍵詞：多體動力學；功能梯度材料梁；剛柔耦合；溫度場

中圖分類號：0313.7；0322

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523（2017）01-0009-11

DOI：10.16385/i.cnki.issn.1004-4523.2017.01.002

引言

在航空航天領域中，結構的運動部件往往在高溫、高載的嚴酷工況下經歷大范圍運動，這使得航天器結構設計成為一個復雜、多學科交叉的問題。為滿足各種復雜工況，既保證結構耐高溫高熱又不影響結構的強度特性，需要設計出新型功能復合材料并建立相應復合結構的多物理場耦合動力學模型。

中心剛體一柔性梁系統是一類具有代表性的剛柔耦合系統簡化模型，有關該模型的動力學建模方法的研究以及剛柔耦合問題的研究工作已經日臻完善。近年來，學者們已經開始關注考慮熱效應的熱耦合動力學問題，并將上述研究工作推廣至溫度場下的柔性多體系統。劉錦陽和洪嘉振采用假設模態法針對溫度場下做大范圍運動的柔性梁剛柔耦合系統建立了一次近似耦合動力學模型，在本構關系式中計及熱應變，研究了低速轉動工況下柔性梁系統動力學的幾何非線性效應。劉錦陽等建立了帶中心剛體柔性曲梁的剛柔耦合模型，該模型結合了混合坐標法和絕對坐標法的特點，基于小變形假設，在應變能中計及熱應變，研究了溫度變化引起的曲梁的熱膨脹對系統動力學性態的影響。劉錦陽和崔麟采用虛功原理建立了適用于求解大變形問題的熱載荷作用的柔性梁的熱傳導方程和旋轉剛體一梁系統的剛柔耦合動力學方程，研究了熱流引起的溫度梯度對彈性變形和剛體轉動的影響及大變形情形下的幾何非線性效應。魏麟歡等利用一次近似耦合模型理論，采用廣義Ham-ilton原理推導得到了中心剛體一楔形梁一質點系統的動力學模型，研究了考慮熱沖擊效應的系統動力學響應規律。上述研究工作的研究對象都是局限于傳統均質材料柔性梁剛柔耦合系統，尚未推廣到應用日益廣泛的先進功能型復合材料梁剛柔耦合系統。文獻[18-20]關注并研究了含功能梯度材料（Func-tionally Graded Materials，FGM）的旋轉剛柔耦合系統的動力學特性，但相關的研究側重于系統動力學建模方法推廣，忽略了對FGM結構在實際溫度梯度環境下工作的動力學特性的分析。Oh等率先開展了溫度場下旋轉功能梯度材料渦輪機葉片的振動特性研究，但其研究工作忽略了對系統剛柔耦合動力學特性的分析。目前，考慮溫度場效應的功能梯度材料復合結構的研究并不完善，尚未建立基于熱力學和剛柔耦合動力學理論的功能梯度材料結構的熱剛柔耦合動力學模型。

本文以做大范圍旋轉運動的中心剛體-FGM梁一集中質量系統為研究對象，基于高次剛柔耦合動力學理論和熱力學理論進行動力學建模，推導獲得變溫度場環境下的旋轉柔性FGM梁系統的動力學方程。所考慮的變溫度場隨空間變化而不隨時間變化。假設FGM梁的各項物理特性沿著梁厚度方向按兩種不同冪律規律分布，通過泰勒級數展開法求解得到相應的梯度變溫度場。通過數值仿真算例研究了不同溫度場環境下兩種FGM梁做大范圍旋轉運動的動力學特性。

圖7和8分別給出了梯度分布2（N=1），三種溫度場環境下FGM梁末端軸向變形圖和軸向速度響應圖。比較圖3和7可知，同等溫度載荷作用下，梯度分布2的FGM梁末端的軸向變形幅值小于梯度分布1的，其軸向變形的振蕩現象較梯度分布1的FGM梁的更為平穩。比較圖4和8發現，兩種FGM梁末端的軸向速度響應相差不大。圖9和10分別為梯度分布2（N=1），三種溫度場環境下FGM梁末端橫向變形圖和橫向速度響應圖。從圖9可以看出，無論是受恒溫度載荷還是梯度變溫度載荷作用，梯度分布2的FGM梁末端橫向變形均與未受熱載荷時的橫向變形曲線基本重合。圖10中，受熱載荷作用的FGM梁的橫向速度響應除了在大范圍運動角速度展開過程中有較為明顯的振蕩外，在穩態勻速轉動過程中已經無明顯振蕩，且與不考慮熱載荷作用的無振蕩速度曲線基本重合。比較圖5和9以及圖6和10可以發現，同等溫度載荷作用下，梯度分布2的FGM梁末端的橫向變形幅值和橫向速度響應幅值均小于梯度分布1的FGM梁的橫向變形幅值和橫向速度響應幅值，后者速度響應的振蕩幅度明顯高于前者。由此可見，同等幾何參數下的兩種FGM梁，在保持相同體積分數指數及質量的前提下，梯度分布2的FGM梁的抗熱沖擊載荷性能大大優于梯度分布1的FGM梁。

圖11和12分別給出了不考慮非線性耦合變形量與考慮非線性耦合變形量情形下FGM梁末端軸向變形和橫向變形響應情況。顯然，隨著。的增大，無耦合模型計算結果趨于發散，而耦合模型計算結果仍保持收斂，說明本文模型具有更廣泛適用性，其計算結果精度更高。

圖13和14分別給出了溫度場下兩種FGM梁（N=0.5）末端軸向及橫向變形響應隨著集中質量位置變化的影響情況。從圖中可以看到，FGM梁的變形響應幅值隨著集中質量位置趨向梁末端而逐漸增大。溫度場對梯度分布1的FGM梁的動力學響應的影響明顯強于對梯度分布2的FGM梁的影響。

3.2系統大范圍運動未知

研究外部驅動力對中心剛體FGM梁一集中質量系統的動力學特性的影響，此時系統的大范圍運動規律是未知的。設作用在中心剛體上的驅動力矩為Fr=5exp（-120t），系統物理參數與上一小節相同，仍然考慮上述三種溫度場環境。

圖15（a）和（b）分別給出了受溫度場影響，梯度分布1情況計算得到的中心剛體的角位移與角速度響應圖。從圖中可以看出，熱載荷也會導致中心剛體的大范圍角位移產生高頻振蕩，梯度變溫度場（T1=10-OK）下剛體位移、速度響應要比恒定溫度場（T1=10K）的偏小且更加穩定。圖16（a）～（d）分別給出了梯度分布1情況下FGM梁末端的變形與速度響應圖。顯然，梁末端的軸向和橫向變形均能觀察到熱致振蕩現象。圖17（a）和（b）分別給出了受溫度場影響，梯度分布2情況計算得到的中心剛體的角位移與角速度響應圖。圖18（a）～（d）分別給出了梯度分布2情況下FGM梁末端的變形與速度響應圖。分別對比兩種梯度分布情況下系統動力學響應圖，第2種分布情況下相應的剛體部件和柔性梁附件的位移（變形）響應幅值均遠遠小于第1種分布情況，而相應的速度響應卻相差不大。

4.結論

本文建立了中心剛體-FGM梁一集中質量系統在變溫度場作用下的動力學方程，研究了溫度載荷對大范圍運動已知和未知情形下的系統動力學特性的影響，得到如下結論：

（1）大范圍運動已知情形，當FGM梁受熱載荷沖擊時，其末端軸向變形和速度響應均呈現高頻振蕩。溫度場對FGM梁橫向變形的影響較對軸向變形的影響偏弱。FGM梁的變形響應幅值隨著集中質量位置趨向梁末端而逐漸增大。由于非線性耦合變形量的計人，系統動力學響應在大范圍轉速為高速情況下的數值計算結果較無耦合模型的結果更為精確。

（2）大范圍運動未知情形，梁末端的軸向和橫向變形均能明顯觀察到熱致振蕩現象，熱載荷也會導致中心剛體的大范圍角位移產生高頻振蕩。

（3）同等幾何參數下的兩種FGM梁，在保持相同體積分數指數及質量的前提下，梯度分布2的FGM梁的抗熱沖擊載荷性能大大優于梯度分布1的FGM梁。

（4）梯度變溫度場對系統動力學響應的影響要弱于恒定溫度場，熱載荷導致的振蕩現象可通過設計柔性FGM梁的材料梯度分布規律得到一定程度抑制。